2025年高考数学复习大题题型归纳：解三角形（解析）

专题02解三角形

1.在①四=百，②csin力=3,③c=百6这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形

存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=gsinB,C=g?

6------------------

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】详见解析

【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设

出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】［方法一］【最优解工余弦定理

由sinA=V3sinB可得：：=V3,不妨设a=V3m,b=m(m>0),

则：c2=a2+b2-2abcosC=3m2+m2-2xV3mXmX=m2,即c=m.

若选择条件①：

据此可得：ac=V3mxm=V3m2=V3,m=1,此时c=m=1.

若选择条件②：

II-..r,―zpt.b2+c2—a2m2+m2—3m21

据此可得r：cosA=—--=-—

2bc2mz2

则：sinA=-（一J=争此时：csinA=mxj=3,贝！］：c=m=2A/3.

若选择条件③：

可得：=%=1,c=b,与条件c=8b矛盾，则问题中的三角形不存在.

bm

［方法二］:正弦定理

由C=［A+B+C=n,得人="一8.

66

由sinA=V3sinB,得sin—B）=V3sinB,即:cosB+日sinB=V3sinB,

得tanB=g由于OVBVm得B=U.所以b=c,A=^.

363

若选择条件①：

由崂=’7,得3=二，得2=V3c.

smAsinesi咤-sin-

解得c=b=l,a=V5.所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

若选择条件②：

由csinA=3,得csin与=3,解得c=2百，则b=c=2疗.

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2g.

若选择条件③：

由于c=^b与b=c矛盾，所以，问题中的三角形不存在.

【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得a,b,c的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题

的通性通法,也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A,可求出角B,从而可得b=c,A=勺,B=C=£

再根据选择条件即可解出.

2.在锐角△48C中，角B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin力一“a=0.

（I）求角B的大小；

（II）求coM+cosB+cosC的取值范围.

【答案】（I）B=%（II）（等

【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；

（II）方法二：结合（I）的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形

为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.

【详解】(D

［方法一］:余弦定理

由2bsinA=V3a,得sin2A=(票)=焉,即1—cos2A=张.

结合余弦定COSA=b,

2bc

.(/b2+c2—a2\^_3a2

即4b2c2—b4—c4—a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2,

即a4+b4+c44-a2c2-2a2b2—2b2c2=0,

BPa4+b4+c4+2a2c2—2a2b2—2b2c2=a2c2,

即(a?+c2-b2)2=(ac)2,

・••△ABC为锐角三角形，Aa2+c2-b2>0,

a2+c2—b2=ac,

所以cosB=?苹—b=

2ac2

又B为△ABC的一个内角，故B=］

［方法二］【最优解工正弦定理边化角

由2bsinA=V^a,结合正弦定理可得：2sinBsinA=V3sinA,sinB=

△ABC为锐角三角形，故B=］

(ID［方法一］:余弦定理基本不等式

因为B=或并利用余弦定理整理得b2=a2+c2-ac,

即3ac=(a+c)2—b2.

结合acW(半丫，得等＜2.

由临界状态(不妨取人=权可知等=百.

而△ABC为锐角三角形，所以9＞国.

b

由余弦定理得COSA+cosB+COSC=P啜—a+；+a?JC,

2bc22ab

b2=a2+c2—ac,代入化简得cosA+cosB+cosC=1(半+1)

故cosA+cosB+cosC的取值范围是(当之|].

[方法二]【最优解工恒等变换三角函数性质

结合(1)的结论有：

1/如\

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cosI———Al

A1.V3..1V3.,1,1

=cosA——cosAH---sinAA+-=——sinAA+-cosAA+-

222222

=sin(A+»*

由可得：汴A^U＜A+汴泉

2

则sin(A+§e仔斗sin(A+9+江(嘤|].

即cosA+cosB+cosC的取值范围是(当

【整体点评】（1）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得a?+c2-b2=ac,

运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（U）的三

种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，

简洁明快，确定为最优解.

3.在平面四边形2BCD中，乙4DC=90。，乙4=45°,AB=2,BD=5.

（1）求cosZ-ADB；

（2）若DC=2V2,求8C.

【答案】（1）~（2）5.

【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到黑=-^^，求得sin/ADB=4，结合角的范围，利用同角三

sinZAsinZADB5

角函数关系式，求得COS/ADB=J1-£—?；

（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos/BDC=sin/ADB=f,在ABCD中，根据余弦定理即可求出.

【详解】（1）［方法1］：正弦定理+平方关系

在AABD中，由正弦定理得代入数值并解得sin/ADB邛.又因为BD>AB,所以/A>/ADB,

即/ADB为锐角，所以cos/ADB=?.

［方法2］：余弦定理

在AABD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADCOS45°,BP25=4+AD2-2x2xADxy,解得：AD=&+何，所以,

2__

(加+旧)+25-4_后

cosZADB=2x(V2+V23)x5-5

［方法3］：【最优解】利用平面几何知识

如图，过B点作BE1AD,垂足为E,BF1CD,垂足为F.在R3AEB中，因为NA=45。，AB=2,所以

AE=BE=V2.在RtABED中，因为BD=5,贝ljDE=VBD2-BE2=52-(V2)2=V23.

所以cos/ADB=平.

［方法4］：坐标法

以D为坐标原点，玩为x轴，位为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略).

设NBDC=a,则B(5cosa,5sina).因为BA=45。,所以A(0,5sina+夜).

从而AB=J(0-5cosa)2+(5sina+V5-5sina)2=2,又a是锐角，所以cosa=f,cosZADB=sina=Vl-cos2a=.

(2)［方法1］：【通性通法】余弦定理

在ABCD,由(1)得，cos/ADB=亨，BC2=BD2+DC2-2BD-DCcos(90°-ZADB)

=52+(2V2)2-2x5x2V2sinZADB=25,所以BC=5.

［方法2］：【最优解】利用平面几何知识

作BF1DC,垂足为F,易求，BF=V23,FC=V2,由勾股定理得BC=5.

【整体点评】(1)方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于

通性通法；

方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；

方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算.

方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现.

(2)方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法.

方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算.

4.A/8C的内角力、B、C的对边分别为a、b、c,已知A/BC的面积为工

3sirii4

(1)求sinBsinf;

⑵若6cosBcosC=1,a=3,求△NBC的周长.

【答案】(l)sinBsinC=|(2)3+V33.

【详解】试题分析：(1)由三角形面积公式建立等式JacsinB=I，再利用正弦定理将边化成角，从而得

23smA

出sinBsinC的值；(2)由cosBcosC=，和sinBsinC=|计算出cos(B+C)=-1,从而求出角A,根据题设和

余弦定理可以求出be和b+c的值，从而求出^ABC的周长为3+V33.

试题解析：⑴由题设得＜acsinB=工，即沁inB=三.

23smA23smA

由正弦定理得JsinCsinB=5吟

23smA

故sinBsinC=1.

(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=一；,，BPcos(B+C)=—

所以B+C=g,故A=]

12

由题设得-beasinA=----，即be=8.

23sinA

由余弦定理得b?+c?-be=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

故八ABC的周长为3+V33.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公

式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见

的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所

对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函

数关系式，如y=Asin(3x+隼)+b,从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值

直接利用余弦定理和给定条件即可.

5.在△力BC中，内角N,B,。所对边的长分别为a,b,c,且满足bcos^=asinB.

⑴求

(2)^a=V19,BA-AC=3,4D是△力BC的中线，求4D的长.

【答案】⑴A=g

【分析】(1)由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.

(2)由丽•宏=3可得be=6,根据无="通+前)以及余弦定理即可求出所|.

【详解】(1)cos^=cos(^-y)=sinp

所以bsing=asinB,

由正弦定理得：sinBsin?=sinAsinB,

A

vsinBHO,・••sin-=sinA,

2

・•・sin-=2sin-cos-,,:A6(0,nY-G(0,-).•・sin-0,

2222

<cos^=|,艮吟=%

A2K

・•・A=—.

3

(2)BA-AC=3,

・•.bccos(n—A)=3,得be=6,

由余弦定理得:b24-c2=a2+2bccosA=13,

AD=1(AB+AC),

|AD|2=](AB+AC)2=-^(c24-b2+2bccosA)=]

所以|而|=?,

即AD的长为

6.在△力BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2近,b=5,c=g.

(I)求角C的大小；

(II)求sinA的值；

(III)求sin0力+：)的值.

【答案】(I)C=:(II)sinA=—；(III)sin(2A+-)=—.

413\4/26

【分析】(I)直接利用余弦定理运算即可；

(II)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先计算出sinA,cosA,进一步求出sin2A,cos2A,再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】(I)在△ABC中，由2=2企4=54=旧及余弦定理得

「a2+b2-c28+25-13V2

COSC=---------——=-------7=r-=—,

2ab2x2v2x52

又因为ce(0,兀)，所以c=9

4

^2

(II)在△ABC中，由C=；,a=及正弦定理，可得sinA=吧更=纪箸■=今叁；

4cV1313

(III)由aVc知角A为锐角，由sinA=^可得cosA=V1—sin2A=^

进而sin2A=2sinAcosA=―,cos2A=2cos2A—1=—,

1313

后匚［、］.I冗、•QA11I*-7112V25V217V2

所以sin(2A+-)=sin2Acos-+cosQ2Asin-=—x----1——x—=------.

44413213226

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学

运算能力，是一道容易题.

7.在锐角三角形力BC中，角45C的对边分别为a,b,c,而为不在荏方向上的投影向量，且满足2csin8=

V5|CD|.

(1)求cosC的值；

(2)若b=百,。=3ccosB,求ABC的周长.

【答案】(唠

(2)273+V2

【分析】(1)依题意可得|而|=bcosC,即可得到2csinB=V^bcosC,利用正弦定理将边化角，即可得到

2sinC=V5cosC,再由平方关系计算可得；

(2)利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及(1)的结论得到sinB=4cosB,从而求出sinB、cosB,

再由正弦定理求出c,即可求出a,从而得解.

【详解】(1)由而为瓦在而方向上的投影向量，则而|=bcosC,

又2csinB=V5|CD|,即2csinB=V5bcosC,

根据正弦定理，2sinCsinB=V5sinBcosC,

在锐角ABC中，Be®]),贝!JsinB>0,Bp2sinC=V5cosC,

由CW。,：)，则cos2C+sin2c=1,整理可得cc^C+jcos2c=1,解得cosCug(负值舍去).

(2)由a=3ccosB,根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在^ABC中，A+B+C=n,则sin（B+C）=3sinCcosB,

所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB,所以sinBcosC=2sinCcosB,

由（1）可知cosCnlsinC=A/1—cos2c=贝!JsinB=\/^cosB,

cosB=f

由siMB+COS2B=1,则5cos?B+cos2B=1,解得，禽（负值舍去）,

•T-JV30

sinB=——

6

根据正弦定理，可得々=三，则c=嗯b=&,a=半c=V3,

sinBsmCsmB

故^ABC的周长〃ABC=a+b+c=2V3+V2.

8.在△力BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。在边上，BD=CD,AD=2.

4

（1）若BD=可3求c；

（2）若a=2V2,求小力BC的面积.

【答案】（l）c=2+V1U或c=2+当

（2）4或3—倔

【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得b,从而求得BD,即可得到结果；

（2）根据题意，由正弦定理化简得cos。=sin（乎-2。），再由正弦定理即可得到c,结合三角形的面积公

式即可得到结果.

在AACD中NA=]AD=2,CD=BD=fb,由余弦定理得，

兀

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosA=22+b2-4bcos-=4+b2-2同

4

.•.停=4+b2-2V2b,化简得2b2-9夜b+18=0,

解得b=3近，或b=誓.

,-.BD=^b=^x3V2=V10,或BD=^b=^x%=^.

333322

.-.C=AB=AD+BD=2+V10,或c=AB=AD+BD=2+乎,

综上可得C=2+V1U,或c=2+乎.

(2)在^BCD中BD=CD,设NB=ZBCD=0,贝此BDC=n-20,

'.'a-2V2,由正弦定理得七=累，.,.CD=二.

sm20sinOcosO

在AACD中，NADC=2。，NACD=$2。,

巫

由正弦定理得号=法，即2cose

~~K-

sin-

sin传-2。)4

化简得cos0=sin(乎-20

si由n(合0=sin管—28),•••0＜0＜夕.•.0＜10＜泉—汴斗—20＜掌

,•/-020或1-0+y-20=7T,解得6=:或6=自

当。=:时，ZACB=pAC=BC=2V2,.•.△ABC为等腰直角三角形,

得到△ABC的面积为SAABC=Tx2鱼x2近=4；

当9=摄ZACB=TT-^-J=y

在AABC中由正弦定理得熹=小

・a.2V2V3、0

••c=-----sinCr--/=-•—=2v3

sinAV?2

/.△ABC的面积为ZABC=7x2V2x2V3xsin^-=2V6x生丝=3-V3,

2124

综上可得4ABC的面积为4或3-百.

9.已知/O)=sin3K(3>0),其图象相邻对称轴间的距离为与若将其图象向左平移工个单位得到函数y=

g(x)的图象.

(1)求函数y=g(x)的解析式及图象的对称中心;

(2)在钝角△ABC中，内角的对边分别是a,b,c,若/'《)=9©—巳)，求胃+三的取值范围•

bcos/l

【答案】(l)g(x)=sin+y,o)(kez)

(2)[4V3,5V2)

【分析】(1)根据f(x)的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出3,再根据图像平移得到y=g(x),由对称

中心公式求得结果；

(2)由碟)=g^-得出A,B,C三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简系+烹，再利用导数求函

数单调区间得出结果.

【详解】(1)已知Kx)的图象相邻对称轴间的距离为全则T=TT.

由周期公式得，T=M=TT,3>0,

所以3=2,f(x)=sin2x,

g(x)=sin[2(x+=sin(2x+等，

令2x+^=kn,所以x=一居+9

6122

故函数y=g(x)的对称中心为(—+葭,0)(k6Z)

(2)由题意得，f(|)=sinB,g管—?=sin[2(A3+1=sin(A+3,

所以sinB=sin(A+g).

所以8=人+彳或人+8=1(舍)，

所以C=]—2A.

因为在钝角△ABC中，所以。<A<：,O<C<5

所以0<A

4

则空+工=刚£+工

bcosAsinBcosA

2cos2A52(2COS2A—1)+53

=-------——I-------=-------------------------=4cosAH--------

cosAcosAcosAcosA

令t=cosA,(p(t)=4t+；,tE(j,1),cp(t)=4—

当孝Vxv]时,cp(t)>0；当?<xVl时，cp(t)>0；

可得(p(t)在停苧单调递减，在停,1)单调递增.

所以当t=手，即人=狎，<p(t)有最小值4百；

<p(y)=5V2,(p(l)=7,所以<p(t)<5V2

故仔H---G[4A/3,5V2).

DCOSA

10.在锐角△力BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且a=6,2sin(A+C)+2bsin(8+C)=7B.

⑴求角B的大小；

(2)若前=3反，BD=V37,求c的值.

【答案】(1)B=:

(2)9

【分析】(1)由sin(A+C)=sinB,sin(B+C)=sinA,代入2sin(A+C)+2bsin(B+C)=7遥得2sinB+

2bsinA=7V^,再由正弦定理得出bsinA=6sinB,即可求出sinB,结合△ABC是锐角三角形即可得出角B

的大小；

(2)由配=3玩得AD=2DC,设ZBDA=。，CD=x,贝ljAD=2x,AC=3x,由余弦定理得出coszBDA,

coszBDC和coszABC,整理得出关于c的方程，求解即可得出c的值.

【详解】(1)在△ABC中，因为sin(A+C)=sinB,sin(B+C)=sinA,

所以2sinB+2bsinA=7百，

由正弦定理，知且a=6,则bsinA=6sinB,

sinAsinB

所以2sinB+12sinB=7百，解得sinB=y,

又因为△ABC为锐角三角形，故B=?.

(2)因为通=3灰，所以点D在线段AC上，且AD=2DC,

设NBDA=e,CD=x,则AD=2x,AC=3x,

071AY2_r2

在ABDA中，由余弦定理，知COSNBDA=cos。=吆胃产①，

4V37x

在^BDC中，由余弦定理，知coszBDC=COS(TT-0)=—cosO=37+^—36@,

2V37x

由①+②，整理得6乂2+39—©2=0,即x2=g券③，

在△ABC中，COSNABC=36+cf=工,即36+c2-9x2=6c④，

12c2

将③代入④，整理得c2+12c—189=0,解得c=9或c=—21(舍去)，

故c=9.

11.如图，在AABC中，AB=AC=yBC,点。在4B延长线上，S.AD=^BD.

BD

⑴求衰怒

（2）若△力BC面积为百，求CD.

【答案】（1与

【分析】（1）设BC=gt（t>0）,利用余弦定理求得A=g,再在AACD和△BCD中两次利用正弦定理即

可求出比值.

（2）利用三角形面积公式即可求出（1）间的t值，再利用余弦定理即可.

【详解】(1)因为AB=AC=?BC及BC=Kt(t>O)4!]AB=AC=t,

由余弦定理得cosA=竺芸券=等券=—也因为AC（0,2,

ZAD,ALNtN

所以A=WNABC=NBCA屋,NCBD=m

在^ACD中,由正弦定理得AD=CDsinzACD-C-D-si-nz左AC一D=——2V3CDsinzACD,

sinAsin号3

CDsinzBCDCDsinzBCD

在八BCD中,由正弦定理得BD.5n=2CDsinzBCD,

sinz.CBDsm—

o

因为AD=qBD,所以---CDsinz.ACD5

2CDsinzBCD2

整理得sinzACD5V3

sinzBCD

(2)由AD=|BD得AB=|BD,

由(1)得|t?si吟=封所以t=2,

在小BCD中,BC=V3t=2V3,BD=-AB=-,zCBD=—,

336

由余弦定理得

CD=VBC2+BD2-2BC-BDcoszCBD

=J(2V3)2+g)2-4V3xix(-^)

12.在①(26-c)cosA=acosC,②asinB=V3bcosA,③acosC+V3csin71—b+c,这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，并完成解答.

问题：锐角△4BC的内角/,B,。的对边分别为a,b,c,已知.

⑴求力;

(2)若b=2,。为48的中点，求CD的取值范围.

【答案】(l)A=g

(2)[V3,2)

【分析】(1)由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；

1

23

-+

(2)利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得ce(1,4),再得而24由二次函数

的单调性计算即可得出结果.

【详解】(1)若选①，(2b—c)cosA=acosC=>2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

,:A、B、Ce(0弓)，•••sinBH0ncosA=：nA=全

若选②，asinB=V3bcosA=sinAsinB=V3sinBcosA,

VA>B、C6(°片)，sinBW0=sinA=V3cosA=>tanA=V3=A=g；

若选③acosC+V3csinA=b+c=sinAcosC+V3sinCsinA=sinB+sinC

=>sinAcosC+V3sinCsinA=sin(A+C)+sinC=V3sinCsinA=sinC(cosA+1)

,:A、B、Ce(of,sinCW0=>V3sinA-cosA=1=2sin(A—，

，・A7T/兀兀\■7L7T■7t

而A—6(—=>A—=-=A=-.

6\63/663

如图所示，设屈=?斤=6,则配=己-芭[c|=cjbl=b,b-c=c,

—~”，(AB-BC=c-(b-c)=c-c2<0

：△ABC是锐角三角形，，一一一二；0ce(l,4),

(AC-BC=b-(b-c)=4-00

CD-|c-b^CD2=ic2-b-c+b2=](c—2尸+3e[3,4),当c=2时取得最小值，故|而|€[V3,2).

13.在AABC中，内角43,。对应的边分别为。3,64大]屈11。+5亩(3-4)=&$吊24.

⑴求角4的取值范围；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求b的值.

①sinC=曰,c=2同②B=H+%c=b；③siin4=gC>B,4C边上的中线长为“+1；

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴Ae(0用

(2)答案见解析

【分析】(1)应用两角和差公式结合正弦定理可求得正弦值范围，最后求出角的范围；

(2)由正弦定理结合余弦定理边角转化求出边长即可.

【详解】(1)在△ABC中，C=n—(A+B),所以，sin(A+B)+sin(B—A)=&sin2A.即，2sinBcosA=

2V2sinAcosA.

又因为A行，所以cosA/),所以sinB=«sinAe(O,l],由正弦定理得，b=&a,所以A为锐角，所以

sinAe(0,y],所以Ae(0,：].

(2)选①因为sinC*,Ce(O,TT),所以C=；或与，

当C=：时，A=H-：-B=)-B,sinB=V^sinA=V而in律-B)=cosB+sinB,所以cosB=0,即B=g,

所以由正弦定理得《=上，所以b=2逐；

V/sin-

22

当C=午时,A=TI—空一B=；-B,sinB=V2sinA=V2sin-B)=cosB—sinB,所以cosB=2sinB,

所以sinB=£,所以由正弦定理得等=强所以b=等；

~2~

选②B=A+：,sinB=V2sinA=V2sin(B—：)=sinB—cosB,所以cosB=0,

即B=%所以由正弦定理得卷二上，所以b=V^

2irsin-

72

选③因为sinA=，，由⑴知Ae(0,4，所以A建,sinB=&sinA=¥，所以B=；或B=曰,且C>B

所以B=：,C=L台冲各

又因为b=V^a,由余弦定理得：

(V3+I)2=a2+1a2—2xax-^ax—^―»解得a=2,所以b=V^a=2鱼.

14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知△力BC的面积为5=手缶？+/一©2),c=2百.

(1)若B=p求a；

(2)。为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值.

条件①：CD为NC的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴乃+或

(2)3

【分析】(1)根据题意，由余弦定理即可三角形的面积公式即可得到C=$再由正弦定理即可得到结果；

(2)若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由2而=或+而，再结合余弦定理与

基本不等式即可得到结果.

【详解】(1)因为S=f(a2+b2—c2),

由余弦定理可得：a2+b2—c2=2abcosC,所以S=3•2abcosC,

4

由三角形的面积公式可得S=|absinC,所以，,2abcosC=|absinC,

所以tanC=B,又Ce(O,ir),故C=]

C

由正弦定理得，之sinC，

且sinA=sin(B+C)=sin§=sincos4-cossin=企:吗

所以债r=等,故有a=V^+V^・

-4-T

(2)选择条件①：

在aABC中，由余弦定理a?+b2—c2=2abcosC,得a?+b2-12=ab,

即(a+b)2=12+3ab<12+3(-j,故a+bW4百，

当且仅当a=b=2日时，等号成立，

又因为SACDA+SACDB=SAABC

所以CD=.=空迪匕a

a+b3(a+b)

=1((a+b)一篇一磊)=3

故CD的最大值为3.

选择条件②：

由题2而=CA+CB,平方得4|CD|2=CA2+CB2+2CA-CB=b2+a2+2abcosC=a2+b2+ab,

在△ABC中，由余弦定理得a?+b2-12=ab,

即(a+b)2=12+3ab<12+3(-j,所以(a+b)2<48.

当且仅当a=b=2百时，等号成立，

222222

故有4|CD|=a+b+ab=(a+b)—ab=(a+b)-一"=|(a+b)+4<36,

从而|CD|W3,故CD的最大值为3.

15.在△ABC中，B手C,sinB+sinC=cosB+cosC.

(1)求4

(2)若在△ABC内(不包括边界)有一点Af,满足CM=2M4=2MB,且乙4MC=9。。，求tanz•力CB.

【答案】（I）A=5

【分析】（1）运用辅助角公式化简后解方程即可.

（2）在AMBC中运用正弦定理得。与<p关系式，在RtAMBC中求得sin。与cos。的值，两者联立求解即可.

【详解】（1）因为sinB+sinC=cosB+cosC,

所以sinB—cosB=cosC—sinC,

所以V^sin（B—2=V2sin一C）,即sin（B—：）=sin一C）,

又0<B,C<TT,则一三<B—N<%,-任<N—C<3

444444

故=C或（B_：）+（：_C）=it,

又因为B—f+g—C=B—C=TT不合题意，

44

故B-；=g—C,

44

所以B+C=],

所以A皂.

（2）由（1）知,A=p

设NACM=e,又MA=MB,则NMAB=NMBA=e,

设NACB=（p,贝!UABC=；—<p,如图，

c

1

在AMBC中，由正弦定理得s-in^J-。（p-ejsin（（p-0）

又因为MC=2MB,

所以2sin（（p-0）=cos（（p+0）,

即2（sin（pcos0—coscpsinO）=coscpcosO—sincpsinO®,

由MC=2AM,ZAMC=90。得，sinO=看cos6=专，

代入①式整理得，V5sin（p=^coscp,则tancp=

故tanzACB=1.

16.已知锐角三角形48c的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,sinB+cosC=亚尹，cosB+sinC遍+3/

441

⑴求4

（2）若a=g,求三角形ABC的周长.

【答案】（l）A=g

通+2遍+3夜

(2)2

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式求解;

(2)利用两角差的正弦、余弦公式可解得sinB=亨，sinC=叱?2进而利用正弦定理即可求周长.

【详解】(1)由sinB+cosC=恒3，cosB+sinC=—+^,

44

可得siMB+cos2C+2sinBcosC==学=；+

COS2B+sin2C+2cosBsinC==|+乎@,

加②可得，

sin2B+COS2B+cos2C+sin2C+2(sinBcosC+cosBsinC)=2+V3,

即2+2sin(B+C)=2+但所以sin(B+C)=y,

所以sin(B+C)=sin(Ti—A)=sinA=与

因为AG„所以A=1

(2)因为sinB+cosCB+C=Ti-A=y,

所以sinB+cosC=sinB+cos管-B)二①:弋

BP(V3+2)sinB-cosB="③;

又因为cosB+sinC=渔±逋，B+C=n-A=—,

43

所以cosB+sinC=cosB+sin(g—B)=

BP(V3+2)cosB+sinB="去④;

联立③④解得，sinB=cosB=y,

代入sinB+cosC=遍十夜,cosB+sinC=匹艺£

44

ATJ4日•rV6—V2

解得sinC=-------，cosCr=-------，

44

又因为a=B,A=g,所以一彳=2R=2,

3sinA

所以b=2RsinB=a,c=2RsinC=

所以三角形ABC的周长为a+b+c=V^+鱼+雪=三等电.

17.在锐角△力BC中，角4昆C所对的边分别为a,瓦c,且2c2=④+c?-62)(taiM+tanB).

⑴求角4的大小；

(2)若边a=&,边BC的中点为D,求中线力。长的取值范围.

【答案】(1)A=?

4

Vio2+V2

(2)(三-,万一」♦

【分析】(1)由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；

(2)*|AD|2=1(AB+AC)2,结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角

函数值域求出范围

【详解】(1)由余弦定理得2c2=2accosB(tanA+tanB),

即c=acosB(tanA+tanB),

由正弦定理得sinC=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB+

..门sin(A+B)sinAsinC

=sinAcosB---------=---------

cosAcosBcosA

sinCH0,AsinA=cosA,即tanA=l,

•••A€(0,9，；.A=：.

(2)由余弦定理得：2=b?+c?—鱼云，则b?+c?=2+&bc.

1__11

|AD|2=-(AB+AC)2=,(c2+b2+鱼be)=5(1+鱼be)

由正弦定理得白=啖=娱=2

smBsinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC,

be=4sinBsinC=4sinBsin(sinBeosB+sin2B)=V2(-cos2B+sin2B)+V2

—2sin(2B-—+V2

0<B<-

因为△ABC是锐角三角形，所以3n2即-<B<g,

0<--B<-42

42

则；<2B—：<<sin(2B-<1,be6(2A/2,2+V2].

中线AD长的取值范围是(耳，等].

18.在△ABC中，内角4BC的对边分别为a,b,c,且a2—公=accosB-[be

(1)求4

(2)若a=6,2BD=DC,求线段4D长的最大值.

【答案】(喏

(2)273+2

【分析】(1)根据余弦定理，化简可得b2+c2-a?=be,即可得出cosA=],再根据A的范围，即可得出

答案；

(2)解法一：由已知可得出而=(屈+(灰，平方整理可得而2=[(b2+4c2+2bc),再结合条件，根据

基本不等式，即可得出答案；

解法二：设AABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得R=2百.作出△ABC的外接圆，结合图象，可得出AD

过圆心。时，AD的长取得最大值.作0E，BC,构造直角三角形，求出0D=2,即可得出答案.

【详解】(1)因为a?—b?=accosB—gbe,

所以根据余弦定理，可得a?—b2=ac•警*-；bc,

zac2

所以b2+c2—a2=be,所以cosA=b

2bc2

因为AC(0,7t),所以A=1

(2)解法一：因为2前=无，所以2(而-魂)=前一起,

所以前=|靠+1前，

所以丽2=1(4AB2+AC2+4AB-AC)=1(b2+4c2+2bc).

因为b?+c2—a2=be,a=6,所以b?+c2—be=36,

则而2=4x—(b2+4c2+2bc)=4x°；4c+2”

36k)b2+c2-bc

©+4+2x^

=4x

针+N

令t="t>0,则品2=4X需¥=4X勺毕=4+鬻.

4^u=t+1,贝!Ju>l,

所以而2=4+鼻=4+急*=16+80

当且仅当u=M即口=百时取等号.

U

所以，|阿WJ16+8旧=2百+2,

所以，线段AD长的最大值为2禽+2.

解法二：设△ABC外接圆的半径为R,

根据正弦定理，可得2R=5,所以R=2倔

当AD过圆