初中数学中考复习讲义练习：动点引起的角度问题

动点引起的角度问题

【一题多解•典例剖析】

【角度等于具体度数】

例题1.（2021.湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中，MVQ4B斜边上的高为1,

ZAO8=30。，将RfVOAB绕原点顺时针旋转90。得到母△OCD,点A的对应点C恰好在函数

“k

y=—（笈W0）的图象上，若在＞=—的图象上另有一点M使得/MOC=30。，则点M的坐标

XX

为.

【解析】解：如图，过点C作CEJ_y轴于E,过点M作MF，x轴,

则OE=G，即C（1,石）

又C点在反比例函数图象上,

:收=6

方法一：解析式法

直线0M的解析式为y=3x,

3

联立y=^^x,y=^H-,得：

3x

X=石或x=-6（舍）

故M（B1）

方法二：相似

易知△COES/^MOF

.C^_OEJ__3

MFOF'MFOF

设M（x,好）

X

1_A/3

X

解得：X=百或x=-百（舍）

故M（G,1）

方法三：三角函数

在RtZ\OMF中，ZMOF=30°,

贝ijtan/MOF=』^£=—,

OF3

设M（x,3）

X

V3

,>•=显

x3

解得：x=6或x=-V3（舍）

故M（51）.

【一题多解•对标练习】

练习1.（2021•辽宁丹东中考）如图，已知点A（-8,0）,点丹-5,T）,直线y=2x+〃］过点8

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断.4JC的形状，并说明理由；

(3)£为直线AC上方的抛物线上一点，且tan/EC4=U,求点E的坐标.

2

【答案】(1)y=—^—x+6；(2)ZiiABC为直角三角形，^BAC=90°；(3)E(----，

4411

500.

而)•

【解析】解：(1)直线y=2x+m过点3交y轴于点C,

将B(-5,-4)代入得：-4=2x(-5)+m,

解得：m=6,则C(0,6),

将A(-8,0)、C(0,6)=ax2+—x+c,

抛物线的表达式为y尤②+=元+6；

44

(2)△ABC为直角三角形，且NBAC=90。，理由为：

由题意,AB2=(-8+5)2+(0+4)2=25,

AG=(-8+0)2+(0-6)2=100,BG=(-5+0)2+(-4-6)2=125,

.-.AC^+AB^BC2,

.•.△ABC为直角三角形，且N54C=90。；

(3)由(2)知AB=5,AC=10,

AB1

tanZBCA=---=—=tan/ECA,

AC2

ZBCA=ZECA,

方法一：解析式法

如图，延长BA交直线CE于F,过F作FHLx轴，过B作BG_Lx轴于G,

由NFCA=NBCA,AC=AC,/CAB=/CAF=90°

知4ACF丝AACB

/.AB=AF

.".△AFH^AABG

又B(-5,-4),A(-8,0)

；.BG=4,AG=3

；.AH=AG=3,FH=BG=4

即F(-11,4)

设直线CF解析式为y=kx+m

[-11%+6=4

则/6

[o=6

直线CF的解析式为y=—x+6,

2111

联立y=—x+6,y=—x2+—x+6,得:

1144

113

x=0(舍)或*=--—

113500

即BnE(-----,——).

11121

方法二：相似法（三角函数）

由NFAC=90°知，ZFAH=ZACO,AB=AF=5

RtAAFH<^RtACAO

FHAH_AF

AO~~OC~AC

叁=四=9

8610

；.FH=4,AH=3

；.F(-11,4).

练习2.(2021•四川省内江市中考)如图，抛物线yuad+H+c与x轴交于A(-2,0)、2(6,0)

两点，与y轴交于点c.直线/与抛物线交于A、。两点，与y轴交于点E,点。的坐标为

(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直线/的解析式;

(2)若点。是y轴上的点，且加。=45。，求点。的坐标.

113

直线/的解析式为y=gx+l；(2)(0,了)或(0,-9).

【解析】解：(1)将(-2,0),(6,0),(4,3)代入抛物线解析式得:

4〃一2b+c=0

36〃+6/?+c=0

16a+4b+c=3

1

a=——

4

解得：b=l

c=3

即抛物线的解析式为y=-1x2+x+3.

由A(-2,0),D(4,3)知直线1的解析式为：y=；x+l.

(2)如图，

过A作AMLAD,由NMDA=45°知，AADM是等腰直角三角形,

.\AD=AM

过M,D作x轴的垂线，垂足为H,G

则RtAAMH^RtADAG

；.AH=DG=3,MH=AG=6

AM(-5,6)

113

由D(4,3),M(-5,6)得直线DM的解析式为：y=--x+y

同理，可得：直线DM，的解析式为：y=3x-9

即Q'(0,-9)

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0,£13)或(0,-9).

【多题一解•典例剖析】

【两角相等】

例题2.(2021.福建省福州)如图，在平面直角坐标系xOv中，直线、=日+3分别交x轴、

y轴于A,8两点，经过A,B两点的抛物线了=-尤2+法+。与无轴的正半轴相交于点C(1,O).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若尸为线段上一点，ZAPO=ZACB,求AP的长.

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)2A/2.

【解析】解：(1)令x=0,则y=3,

点B的坐标为(0,3),

抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0,3),C(l,0),

.fc=3

[-l+Z?+c=0'

[b=-2

解得：。，

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

(2)令y=0,则0=-x2-2x+3,

解得：x=l或x=-3,

.,.点A的坐标为(-3,0),

•••OA=3,OB=3,OC=1,AB=*+="+乎=3及,

ZAP0=ZACB,且NPAO=NCAB,

.'.△PAO^ACAB,

，任即

ACAB43V2

.'.AP=2A/2.

【多题一解•对标练习】

练习3.(2021•四川德阳中考)如图，已知：抛物线y=N+6x+c与直线/交于点A(-1,0),

C(2,-3),与x轴另一交点为B.

(2)在抛物线上找一点P,使AACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

(3)M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N,连接在(2)的条件下,

是否存在点M,使NMBN=/APC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=x2-2x-3；(2)P(4,5)；(3)M的坐标为(总-||),|,覆

【解析】解：⑴把点(-1,0),(2,-3)代入y=x2+bx+c,

，曰JO=l-b+c

得、j-3=4+26+c'

抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)作点C关于x轴的对称点C,则C(2,3),

可得直线AC'的解析式为y=x+l,

x=-l或x=4

即P(4,5)

(3)存在点M,

由P(4,5),A(-1,0),C(2,-3)知PA2=50,AC2=18,PC2=68

50+18=38知，PA2+AC2=PC2,

.,.△PAC为直角三角形，且NPAC=90°

.AC303

••tanNAPC-------=—T="——,

AP5四5

由NMBN=NAPC,知

3

tanZMBN=-,

MN_3

~BN~~5

MN_3

BAF-5

在y=x2-2x-3中，当y=0时，x=-l或x=3

即B(3,0)

设M(m,m2-2m-3),则BN=3—m,MN=|m2-2m-3|

.|m2-2m-3|3

3—m5

OQ

解得：m=_y或m=一g

存在符合条件的点M,M的坐标为(1,(-1,黑).

练习4.(2021•山东烟台中考)如图，抛物线丁=以2+法+(；经过点4(_2,0),5(4,0),与y

轴正半轴交于点C,且OC=2Q4.抛物线的顶点为。，对称轴交无轴于点E.直线y=

经过3,C两点.

(1)求抛物线及直线BC的函数表达式；

(2)连接AC,若点尸是抛物线上对称轴右侧一点，点。是直线BC上一点，试探究是否

存在以点E为直角顶点的用PEQ,且满足tanNEQP=tanNOC4.若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=+4,y=-x+4；(2)P点坐标为(/^,万+^/^)或-不+&5);

【解析】解：(1)VA(-2,0),OC=2OA,

・・・OC=4,C(0,4)

将(-2,0),(0,4),(4,0)代入抛物线解析式，并解得：

a=--,b=Lc=4

2

即抛物线解析式为：y=-1x2+x+4.

直线BC的解析式为：y=-x+4.

1EP1

(2)由(1)得，tanZEQP=tanNOC4=一,即==彳，

2QE2

过点Q作。于"，过点P作PN_LDE于N,

ZQEP=90°,

：.ZQEM+ZMQE=90°,/QEM+NPEN=9b。,

：.ZMQE=ZPENf

：.丛MQEs丛NEP,

.QM=ME=QE=?

-PAF--'

如图1,设尸点坐标为O，-g/+机+4),

则PN=m-1,EN=-—m2+m+4,EM=2m-2,MQ=—m2+2m+8,

2

则。点坐标为(—用2+2m+9,2—2m),

将Q点坐标代入y=-x+4,得2-2机=加2-2m-9+4，

解得，m=V7,或m=-V7(舍去)，

把m=V7代入y=-gf+x+4,得，y=g+近,

故p点坐标为(ag+近)；

如图2,同理，得P点坐标为(尼，-；+年)；

综上，P点坐标为+或;

练习5.如图，已知抛物线>=办2+a+。与无轴相交于A(—3,0),8两点，与y轴相交于

点C(0,2),对称轴是直线x=—1,连接AC.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若过点2的直线/与抛物线相交于另一点。，当时，求直线/的表达

式.

949222

【答案】(1)y=--x2-—x+2；(2))=或,=§%一§♦

【解析】解：(1);抛物线的对称轴为x=-l,

b

------=—1,即b—2a

2a

又C(0,2)

/.c=2

将A(-3,0)代入得：9a-3b+c=0

24

即抛物线的解析式为y=-yx2-—x+2；

(2)①当点D在x轴上方的抛物线上时，如图,

则E在抛物线对称轴上

2

由A(-3,0),C(0,2)知直线AC解析式为：y=—x+2,

3

由对称性知，B(1,0)

.•.可得直线BD的解析式为：y=--x+2.

3

②当点D在x轴下方抛物线上时，如图,

22

同理，得直线BD的解析式为y=§x—

2?2

综上所述，直线/的解析式为y=--*+2或丫=—x——.

333

练习6.在平面直角坐标系中，抛物线+c与x轴交于点A(-1,O)和点8,与＞轴

交于点C,顶点。的坐标为(LT).

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸在抛物线上且满足/PCB=/CB。，求点P的坐标.

57

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)(4,5),(—，—).

24

【解析】解：(1)将(-1,0),顶点坐标(1,-4)代入抛物线解析式得：

a-b+c=0

/口〃+Z?+c=-4

得＜

"1

、2a

6i—1

解得卜=一2

c=-3

；•抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

(2)由B(3,0),D(1,-4)得直线BD的解析式为：y=2x-6

由y=x2-2x-3知C(0,-3),B(3,0)

①当PC/7BD时，it匕时NPCB=/CBD,

设直线PC解析式为y=2x+m

将点（0,-3）代入得：m=-3,

二联立y=2x-3,y=x2-2x-3得:

x=0（舍）或x=4

即P（4,5）.

②

如图，当P在x轴下方时，设PC交BD于Q

则NCBD=NQCB,即CQ=BQ

又OC=OB

；.OQ是BC的垂直平分线，

即OQ的解析式为y=-x,

联立y=-x,y=2x-6得：Q(2,-2)

，CQ的解析式为：y=gx-2,

联立y=；x-2,y=x?-2x-3得：

x=0(舍)或x=—

2

57

即P

24

57

综上所述，符合条件的P点坐标为：(4,5),(；,-4).

24

【多题一解•典例剖析】

【角度倍数关系】

例题3.【2020•四川内江】如图，抛物线＞=0?+灰+。经过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,

2)三点，点、D(x,y)为抛物线上第一象限内的一个动点.

(1)求抛物线所对应的函数表达式；

(2)过点D作DE±BC,垂足为点E,是否存在点D,使得△CDE中的某个角等于/ABC

的2倍？若存在，求点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

(a—b+c=0

【解析】解：(1)将A(-1,0)、8(4,0)、C(0,2)代入y=a?+法+c得：卜6a+钻+C=0,

k=2

故抛物线的解析式为卜寺+?+2・

(2)①当NOCE=2/A8C时，取点/(0,-2),连接

VOC=OF,OBLCF,

：.ZABC=ZABF,

：.ZCBF=2ZABC.

•；NDCB=2NABC,

：.ZDCB=ZCBFf

J.CD//BF.

■1点B(4,0),F(0,-2),

，直线BF的解析式为y=3-2,

・・・直线CO的解析式为＞=

联立得:

解得心二卜舍去)，CM，

.•.点。的坐标为(2,3)；

②当NCDE=2/ABC时，过点C作于点N,交0B于H,作点N关于2C的对称

点尸，连接NP交BC于点Q,

；NOCH=90°-ZOHC,ZOBF=90°-ZBHN,

ZOHC^ZBHN,

：.ZOCH=ZOBF.

:.△OCHS^OBF,

.OCBn0H2

OFOB24

：.OH=1,H(1,0).

设直线CN的解析式为y=fcc+w(原0),

VC(0,2),H(1,0),

・《UW解得忆丁

J直线CN的解析式为y=-2x+2.

y=­z

J5

二点N的坐标为(:，一?)・

53

•・•点5(4,0),C(0,2),

・,・直线3C的解析式为尸-

6

■:NPLBC,且点N",-5),

55

直线NP的解析式为y=2x-y.

M

r

X■

得

解

..2竺5

y

b=

25

_6418

...点。的坐标为(若-)

86

-g

s,点N,尸关于3c对称,

8866

・,.点尸的坐标为(―,—).

2525

-/、B866、

.点C(0,2),P—),

2525

・•・直线CP的解析式为打；y+2.

将y=；］X+2代入y=整理，得：11/-29x=0,

解得:XI—0(舍去),冗2=会，

29

・,•点。的横坐标为

11

综上所述：存在点。，使得△C0E的某个角恰好等于NABC的2倍，点。的横坐标为2或

29

11,

【多题一解•对标练习】

练习7.如图，抛物线交工轴于A,8两点，交