数列的概念及其通项公式学案-2025届高三数学一轮复习

基础课31数列的概念及其通项公式

考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养

2023年新高考卷I卷T7

2023年全国甲卷（理）T17

数列的有关概念逻辑推理

了解2023年北京卷T10★★★

和简单表示法数学运算

2021年新高考I卷T16

2021年新高考H卷T12

从近几年高考的情况来看，一般以选择题或填空题的形式出

现，属于中档题，命题热点是递推式或图表式的数列有关问题.

命题分析预测

预计2025年高考命题情况变化不大，但应加强对创新问题的

关注

【基础知识・诊断】

i/H夯实基础

一、数列的有关概念

概念含义

数列|按照①确定顺序排列的一列数

数列的项数列中的②每一个数

数列的通

数列｛an｝的第n项an

项

W果数列｛an｝的第n项an与③序号n之间的对应关系

通项公式可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通

__________［项公式

把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和称为数列

前n项和

｛an｝的前n项和，记作Sn,即Sn=@ai+a2+...+an

二、数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数⑤有限

项数

无穷数列项数⑥无限

递增数列an+i©>an

其中

项与项递减数列an+i⑧<an

n©N*

间的大常数列an+1-

小关系从第二项起，有些项大于它的前一项，有

摆动数列

些项小于它的前一项

三、数列的表示方法

列表法列表格表示n与an的对应关系

图象法把点⑨(n,an)画在平面直角坐标系中

通项公式数列的通项使用an=f(n)表示的方法

公式法使用初始值ai和an+i=f(an)或ai，a?和an+i=f(an,aQ表示数

递推公式

列的方法

•知识拓展・

1.在数列｛an｝中，若an最大，则%M；；；，32,n©N*)；若an最小，则展£:，(应2,

n©N*).

2.若数列｛aQ的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=Q，g=l，nGN*.

i，iQn—1,n>2,

3.若an+k=an(k©N*),则｛an｝为周期数列，k为｛an｝的一个周期.

4.数列通项公式的注意点

(1)并不是所有的数列都有通项公式；

(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.

诊断自网1jA—

题组❶走出误区

L判一判.(对的打W"，错的打“x”)

(1)一个数列中的数是不可以重复的.()

(2)数列的通项公式的表达式是唯一的.()

⑶数歹U｛『｝的第k项为；+2.()

(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()

答案(l)x(2)x⑶弋(4)x

2.(易错题)已知时趋+而，且对于任意的n©N*,数列⑶｝是递增数列，则实数九

的取值范围是.

【易错点】本题容易忽视数列是特殊函数.

答案(-3,+8)

解析因为｛an｝是递增数列，所以对任意的n©N*,都有an+i>an,即

(n+1)2+X(n+1)>n2+Xn,整理得2n+l+X>0,即X>-(2n+l).(*)

因为吟1,所以-(2n+l)£3,要使不等式(*)恒成立，只需X>-3.

题组❷走进教材

3.(人教A版选修②P9-T4改编)已知数列同｝的首项ai=l,a2=a,且

an+i+an=2n+l(n>2,nGN*),若数列｛aj单调递增，则a的取值范围为().

A.(L2)B.(2,3)C4|,I)D.&|)

答案C

解析当nN2,nGN*时，an+i+an=2n+l,因此有an+2+an+i=2n+3,

两式相减得an+2-an=2,说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，

且它们的公差都是2,由an+i+an=2n+l可得a3=5-a,a4=a+2,

因为数列｛an｝单调递增，所以ai<a2<a3<a4,即l<a<5-a<a+2,解得£<a<|.故选C.

4.(人教A版选修②P8・T2(4)改编)设数列｛an｝满足ai=2,an+i-(nEN*),则该数

列前2025项的乘积aia2a3a4...a2025=.

答案2

解析令an=f(n),则an+i=f(n+l),由an+尸件得f(n+l)=m罂.

因为f(n+2)=：器;;=：；二沪高,所以f(n+4)=-而%=f(n),所以4是f(n)的一个周

期.由ai=2,得a2=-3,as=-p初=；,则aia2a3a4=1,故aia2a3a4…a2025=(aia2a3a4产6出1=2.

题组❸走向高考

5.(2022.北京卷改编)已知数列⑶｝的各项均为正数，其前n项和Sn满足

an-Sn=9(n=L2,...),则｛aQ为递数列.(填“增”或“减”)

答案减

解析由题意可知，当n>2时，由Sn=：可得Sn-1-，又由an=29=4p>0，

可得an<a»i,所以数列｛a。｝为递减数列.

【考点聚焦・突破】

考广一由an与Sn的关系求通项公式

2

典例1已知数列｛an｝的前n项和Sn=n-2n,那么它的通项公式an=

答案2n-3

解析,•,数列｛an｝的前n项和Sn=n2-2n,

.,.当n=l时，ai=Si=-l；

22

当n>2时，an=Sn-Sn-i=n-2n-[(n-l)-2(n-l)]=2n-3.

当n=l时,上式也成立.；.an=2n-3.

变式若将本例中的条件“Sn=n2-2n”改为“Sn=n2-2n+2”，则通项公式

□本bn-3,n>2

解析因为Sn=n2-2n+2,所以Sn-i=(n-l)2-2(n-l)+2=n2-4n+5.

22

当n>2时，an=Sn-Sn-i=n-2n+2-(n-4n+5)=2n-3；

当n=l时，ai=Si=l,不满足上式.故an=｛；：二］>2(n©N*).

。方法总结口口口

已知Sn求an的3个步骤

1.利用ai=Si求出ai.

2.用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用an=Sn-Sn-i(nN2)求出当n>2时

an的表达式.

3.对当n=l时的结果进行检验，看是否符合当nN2时an的表达式，若符合，则可

以把数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n=l与位2两段来写.

针对训练iA—

2

1.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且ai=3,Sn=an+n-l,则an=.

答案2n+l

2

解析因为Sn=an+n2-l,所以当吟2时，Sn-i=an-i+(n-l)-l,

两式相减得an=an-an"+2n-l,即an“=2n-l,所以an=2n+l,且ai=3符合上式，所

以｛aj的通项公式为an=2n+l(nEN*).

2.设数列｛an｝满足ai+3a2+...+(2n-l)an=2n,则an=.

(2,n-1,

答案2-1

'.2^i,n>2

解析当n=l时，ai=2'=2.

n

ai+3a2+...+(2n-l)an=2,①

ai+3a2+...+(2n-3)an-i=2n_1(n>2),②

由①-②得，(2n-l)a=2n-2n-'=2n-1,/.a=^-(n>2).

nn2n—1

'2,n=1,

n-1

当n=l时，ai=2,不符合上式，.*.an=j2(nGN*).

.2^1,n>2

考金二由数列的递推关系求通项公式

角度1累加法

典例2已知数列｛an｝满足an+i=an+ln(1+，)(n©N*),ai=2,则数列｛aj的通项公式

为.

答案an=2+lnn

解析因为an+i=an+ln(1+彳)，所以an+i-an=ln*=ln(n+l)-lnn,则当近2时,

an-an-i=lnn-ln(n-1),...,a3-a2=ln3-ln2,a2-ai=ln2-ln1,以上(n-1)个等式累加得

an-ai=lnn-lnl=lnn(n>2),因为ai=2,所以an=2+lnn(nN2).当n=l时，ai=2,满足

上式.

故ai=2+lnn(neN*).

。方法总结口口口

形如an+i=an+f(n)的递推关系，可用累加法an=an-an-i+an-i-an-2+...+a2-ai+ai求通项

公式.

角度2累乘法

典例32

若数列｛an｝满足ai=12,ai+2a2+3a3+...+nan=nan,则22025=.

受安4

口本675

2

解析因为ai+2a2+3a3+...+nan=nan,①

2

所以ai+2a2+3a3+...+nan+(n+l)an+i=(n+l)an+i,②

22

由②-①得(n+l)an+i=(n+l)an+i-nan,即置=咋，

亦l、l_a2a3a4_123n-1r-._12_4

所以.---ai-------...---ai--(n>2),所c以ra2025-赤-济

。方法总结口口口

形如an+i=an・f（n）的递推关系式可化为黑=以）的形式，可用累乘法

•…瑞西求通项公式.注意检验ai是否满足所求公式，若满足，则合并,

若不满足，则写成分段形式.

一继训练

1.（2024•吉安模拟）已知数列｛an｝的首项为1,且an+i=^p（n©N*）,则an的最小

值是（）.

1

A.2-B.lC.2D.3

答案B

解析由an+i=M篙i)得(n+l)an+i-nan=n,

所以nan=nan-(n-l)an-i+(n-l)an-i-(n-2)-an.2+...+2a2-ai+ai(n>2),

则nan=(n-l)+(n-2)+...+1+1=(l+n-l)(n-l)+1=妆'丁)+l(n>2),显然当n=1时，ai满足上

式，所以an=^+="-924[,

当且仅当n=V2时，等号成立，因为n©N*,故取ai或a2时an最小，又ai=a2=l,

所以an的最小值为1.故选B.

n

2.若数列｛an｝的首项ai=l,an+i=2an,则其通项公式an=.

答案2厘

n23n1

解析由an+i=2anJ得警=2%所以£=2、^=2,^=2,^'=2-(n>2),

所以用着看…•含=2322X23X…耍十心)，所以存21+2+3+…+(»1)侬2),

因为ai=L所以an=2"2+3+…+(宜)=2中(G2),

因为ai=l满足上式，所以an=2.(ndN*).

考U三数列的性质

角度1数列的单调性

典例4设数列｛an｝满足an+i=2a〜l(nGN*).若数列｛an｝是正项递增数列，则ai的取

值范围是.

答案(1,+oo)

解析若数列｛aj是正项递增数列,

则对于任意n>2,an+i-an=(2aH-l)-(2a^_1-l)=2(an+an-i)-(an-an-i)>0,且an-an-i>0,又

an+an-i>0,

所以a2-ai>0,即2aj-l-ai>0,可得ai>l或ai<-；(舍去).故ai的取值范围是(1,+oo).

。方法总结口口口

解决数列的单调性问题的方法

1.用作差比较法，根据an+1-an的符号判断.

2.利用不等式的性质或放缩法判断数列｛an｝是递增数列、递减数列还是常数列.

角度2数列的周期性

典例5已知在数列｛an｝中，ai=3,a2=6,且an+2=an+l-an,贝［IH2025=().

A.3B,-3C.6D.-6

答案A

解析因为ai=3,3.2=6>且an+2=an+i-an,

所以a3=a2-ai=3,a4=a3-a2=-3,

a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,

a7=a6-a5=3=ai,

所以｛an｝是周期为6的数列，则a2025=a3=3.故选A.

。方法总结口口口

对于数列的周期性问题，先根据给出的关系式求出数列的若干项，再通过观察,

归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.

角度3»数列的最值

典例6若在数列｛an｝中，ai=4,an=Van_i+2(2<n<100),则数列｛an｝的最大项的值

是.

答案4

解析根据ai=4以及an=Jan-i+2(2\nW100),可知an>0,所以*=an-i+2,①

则a%=an+2,②

=

由②-①得城+i-a^an-an-i,即(an+i+an)-(an+i-an)an-an-i(2<n<100)；

因为an>0,所以an+1-an与an-an-1同号，

又因为a2=7a)+2=V6,且a2-ai=V6-4<0,

所以a『an一i<0,所以数列｛aj为递减数列,

因此数列｛an｝的最大项是ai,其值是4.

。方法总结口口口

求数列的最大项与最小项的常用方法

L将数列视为当xCN*时函数f(x)所对应的函数值，根据f(x)的类型作出相应的

函数图象，或利用求函数最值的方法求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)

项.

2.通过通项公式期研究数列的单调性，利叱:工：