北师大版七年级数学上册讲义-角与角的比较8类热点题型讲练（解析版）

第02讲角与角的比较（8类热点题型讲练）

学习目标

1.掌握角的定义及其表示及角的分类;

2.掌握角的单位转化及计算；

3.掌握钟面角与方位角的计算.

4.掌握角的大小比较的方法；

5.掌握角平分线的定义及相关计算；

6.掌握角的〃等分的相关计算；

知识清单

知识点01角的概念

定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

定义2：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.

知识点02角的表示方法

表示方法图例记法适用范围

0AZAOB任何情况下都适应.表示端点的字母必须写

用三个大写字母表示

或“04在中间

用一个大写字母表示AZA以这个点为顶点的角只有一个

用数字表示Z1任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加

上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊

用希腊字母表示oTZa字母

知识点03钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30。的角，分针1分钟转6°,时针每小时转30°,

时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

知识点04角的大小比较

方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.

方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.

如比较NAOB和的大小：如下图，由图（1）可得44。氏/4。0；由图⑵可得NAOB=N4。的；

由图（3）可得/.

知识点05角的和、差关系

如图所示，ZAOB是/I与N2的和，记作：ZAOB=Z1+Z2；Z1是与/2的差，记作:

Z1=ZAOB-Z2.

【说明】（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻

度尺上的零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根据角的和、差关系，还可以画出15°,75°,105°,

120°,135°,150°,165°的角.

知识点06角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是

NA08的角平分线，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

2

题型精讲

题型01角的概念及表示方法

【典例1]（2023春•河北承德•七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（）

A.一个周角就是一条射线B.平角是一条直线

C.角的两边越长，角就越大D.NAO3也可以表示为ZBQ4

【答案】D

【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可.

【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意；

2、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意；

C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意；

。、NAO3也可以表示为ZBQ4,故正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握,比较简单.

【变式1]（2023秋•全国•七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：

⑴写出能用一个字母表示的角：;

⑵写出以点8为顶点的角；

（3）图中共有个小于平角的角.

【答案】⑴幺“

（2）/ABE,ZEBC,ZABC

（3）7

【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案;

（2）根据角的定义分别确定以8为顶点的角即可；

(3)分别确定以A,B,C,E为顶点的小于平角的角即可.

【详解】(1)解：能用一个字母表示的角有：/A,/C.

故答案为：NA,NC.

(2)以8为顶点的角有：NABE,ZABC,NEBC.

故答案为：NABE,/ABC,ZEBC.

(3)图中共有7个小于平角的角，分别是：

NABE,/ABC,ZEBC,/A,ZC,ZBEA,NBEC.

故答案为：7.

【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键.

【变式2](2023秋•七年级课时练习)根据给出的图回答下列问题：

⑴N1表示成NZ,这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？

⑵图中哪个角可以用一个字母来表示？

⑶以A为顶点的角有几个？请表示出来.

(4)—ADC与NACD是同一个角吗？请说明理由.

⑸图中共有几个小于平角的角？

【答案】⑴不正确，可表示为，ZMC

(2)/3

(3)3个，见解析

⑷见解析

⑸11个

【分析】(1)、(2)根据角的表示方法求解即可；(3)、(4)、(5)根据角的定义和表示方法回答即可.

【详解】(1)不正确，因为以A为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为NZMC；

(2)图中可以用一个字母表示；

(3)以A为顶点的角有3个，分别是—3AC、NBAD、^DAC

(4)因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角.

(5)图中小于平角的角有：NB,ZBAD,ACAD,ZBAC,NADB,/ADC,ZACB,NACE,ZECF,

NBCE,ZACF,共有11个小于平角的角.

【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键.

题型02钟面角

【典例2】（2023春•陕西西安•七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为

度.

【答案】75

【分析】根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30。，钟面上8点30分时，时针和分

针之间相差2.5个大格，用2.5x30。，即可得出答案.

【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是3平60°-=30。，

12

08点30分时，时针和分针所夹的角是2.5x3（F=75。.

故答案为：75.

【点睛】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为30。.

【变式1］（2023秋•湖南衡阳,七年级校考开学考试）李老师7:15从家出发去单位上班，到单位的时间是7:50,

那么这段时间，分针走了°,时针走了°，

【答案】21017.5

【分析】先求出分针1分钟走360°+60=6°,时针1分钟走30°+60=0.5°,然后再根据时间求出分针和时

针走的角度即可.

360°

【详解】解：回分针1小时走360。，时针1小时走=30。，

12

团分针1分钟走360。+60=6。,时针1分钟走30。+60=0.5。,

团李老师7:15从家出发去单位上班，到单位的时间是7:50,那么这段时间，分针走了（50-15）x6=210。，

时针走了（50—15）x0.5=17.5。.

故答案为：210；17.5.

【点睛】本题主要考查了钟表上的角度问题，解题的关键是求出分针1分钟走6。，时针1分钟走0.5。.

【变式2］（2023春•山西太原•七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的

时针与分针的夹角为度.

【答案】5

【分析】钟表里，每一大格所对的圆心角是30。，每一小格所对的圆心角是6。，根据这个关系，求解即可.

【详解】解：时钟指示14时10分时，分针指到2,时针指到2与3之间，

时针从2到这个位置经过了10分钟，时针每分钟转。5。，因而转过5。,

二.时针和分针所成的锐角是5。.

故答案为：5.

【点睛】本题考查钟面角，解决本题的关键是根据表面上每一格30。，每一小格所对的圆心角是6。的规律,

计算出分针与时针的夹角的度数.

题型03与方向角有关的计算题

［典例31（2023春•湖北十堰•七年级校考开学考试）如图，在灯塔0处观测到轮船A位于北偏西54°的方向,

同时轮船B在南偏东15。的方向，那么—AO3的大小为（）

A.141°B.111°C.159°D.69°

【答案】A

【分析】利用方向角的定义，求出/4。。=90。-54。=36。即可求解.

【详解】解:如图，

ZAOE=54°,

.".ZAOC=90°-54°=36°.

又*ZBOD=15°,

ZAOB=ZAOC+ZCOD+ZBOD=36°+90°+15°=141°.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义，得出角的度数.

【变式1］（2023秋•河北张家口•七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东60。方向走到点8,乙从点

A出发走到点C,若NB4C=140。，则乙从点A出发沿（）方向走到点C

北

A.南偏西30°B.西偏南40°C.南偏西20°D.西偏南20°

【答案】C

【分析】先求得A8与正东方向的夹角的度数，即可求解.

【详解】解：由题意得：A8与正东方向的夹角为90。-60。=30。，

0ZS4C=14O°,

回AC与正南方向的夹角为140。-90。-30。=20。，

即乙从点A出发沿南偏西20。方向走到点C,

故选：C.

【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键.

【变式2](2023秋•全国•七年级课堂例题)小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店0碰面，

小丽家A在早餐店南偏西20。方向上，小影家在点。处，小华家C在早餐店东南方向上，/COS=77。，且

早餐店到小华家与小丽家的距离相等.

⑴在图中画出小华家的位置C；

(2)求ZAOS的度数；

(3)若ADOS=85°,请说出小影家D相对于早餐店的位置.

【答案】⑴见解析图；

(2)142°；

(3)小影家D在早餐店的位置北偏西27°的位置上.

【分析】(1)根据要求画出图形即可；

(2)得QS与正东方向的夹角，从而求得NAOS的度数；

(3)求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可.

【详解】(1)如图，点C即为所求；

(2)EINCOS=77°,

回OS与正东方向的夹角为77°-45°=32。，

ZAOS=20°+90°+32°=142°；

(3)由(2)得0s与正东方向的夹角为32。，

fflZDOS=85°,

回0D与正东方向的夹角为：85°+32°=117°,

田正东和正北的夹角为90。,

团0D与正北方向的夹角为：117°-90°=27°,

团小影家。在早餐店的位置北偏西27。的位置上.

【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题.

题型04角的单位与角度制

【典例4】(2023秋•全国•七年级课堂例题)计算：

⑴49.9。=°'；

(2)25°42'=°；

(3)18。46'55"+27°17'24"=.

【答案】495425.746°4'19'

【分析】(1)把0.9。转化成54,即可得到答案；

(2)42'转化成0.7。即可得到答案；

(3)按照秒、分的顺序分别求和，满60进一，即可得到答案.

【详解】解：⑴49.9°=49°54',

故答案为：49,54

(2)25。42'=25.7。，

故答案为：25.7

(3)18°46'55"+27°17'24"=46°4'19",

故答案为：46。4'19"

【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键.

【变式1】(2023秋•全国•七年级课堂例题)(1)1周角=平角=_____________直角;

(2)1°=_z="；

(3)1.25°=5400'=_。.

【答案】24603600751.5

【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可.

【详解】解：(1)1周角=2平角=4直角；

(2)1。=60'=3600"；

(3)1.25°=75',5400"=＞四=1.5°.

3600

故答案为：2；4；60；3600；75；1.5.

【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握1°=60'=3600〃.

【变式2](2023秋•全国•七年级课堂例题)计算：

(1)180°-46°42,=；

(2)28°36,+72°24'=；

(3)50。24&3=；

(4)49。28'52〃+4=.

【答案】133°18'101°12。22'13"

【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可.

【详解】(1)180。-46。42'=133。18'；

(2)28。36'+72。24'=101。；

(3)50°24,x3=151°12,；

(4)49°28'52"+4=12°22'13".

故答案为：133。18',101°,151。12',12°22'13".

【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键.

题型05角的比较

【典例5】(2023秋•七年级课时练习)如图，NAO3=NCOD,则/AOC与/D03的大小关系是()

B.ZAOC<ZDOB

C.ZAOC=ZDOBD.NAOC与/DOB无法比较大小

【答案】C

【分析】先根据NA03=NC0D得出NAO3+NBOC=NC8+N3OC,故可得出结论.

【详解】解：ZAOB=ZCOD,

ZAOB+Z.BOC=ZCOD+ZBOC,即ZAOC=ZDOB.

故选：C.

【点睛】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键.

【变式1］（2023秋・湖南郴州•七年级校联考期末）如图，若NAOB>NCOD,则ZAOD与NBOC的

大小关系是（）.

A.ZAOD=ZBOCB.NAODvNBOC

C.NAOD>NBOCD.不能确定

【答案】C

【分析】列出不等式，等量代换，即可求得结果.

【详解】解：ZAOB>NCOD,NDOB=NDOB,

且ZAOD=Z.DOB+ZAOB,ZBOC=NDOB+ZCOD

ZAOD>ZBOC.

故选：C.

【点睛】本题考查了比较角的大小，解题关键是列出不等式进行等量代换.

【变式2］（2023秋•八年级课时练习）在图中所示的4x4的网格中，记ZABD=a,Z>EF=p,ZCGH=r,

则%P,/从小到大的排列顺序是.

【答案】P<a<y

【分析】利用网格图的特征，注意90。角的运用.

【详解】解：由图知，NDBM>45°,ADEN=45°,ZABM>/FEN,

aNDBM+NABM>/DEN+NFEN.

.

团ZABD<90°,ZCGH=90°,

团。<7.

<a<y

故答案为：P<a<y

【点睛】本题考查网格图中角的计算，理解网格图的特征，运用90。是解题的关键.

题型06三角板中角度计算问题

【典例6】（2023春・山东淄博•六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若ZBOC=160。，则

等于.

【答案】20。/20度

【分析】根据NCO3=NCOD+NAO3-NAOD求解即可.

【详解】解：0Z.COB=ZCOD+ZAOB-ZAOD,

090°+90°-ZAOD=160°,

0ZA（9D=2OO.

故答案为：20°.

【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键.

【变式1］（2023秋•江西九江•七年级统考期末）如图，直角三角板COD的直角顶点0在直线A8上，线段OC,

是三角板的两条直角边，射线OE是N4C©的平分线.

⑴当NCOE=30。时，求的度数；

（2）当NCOE=<z时，ZBOD=（用含a的式子表示）.

【答案】⑴/BOD=60°

⑵2a

【分析】⑴利用已知求得NDOE=60。，利用角平分线的性质得到/AOD=2/OOE,再利用平角的定义，

NBOD可求;

（2）利用（1）中方法可求.

【详解】（1）解：ZCOD=90°,ZCOE=30°,

\?DOE90?30?60?.

EIOE平分ZAOD,

\1AODZ!DOE2窗0=120?,

ZBOD=180°-ZAOD=180°-120°=60°,

:./BOD=60°；

（2）解：ZCOD=90°,ZCOE=a,

:.ZDOE=90°-a,

^OE^-^-ZAOD,

ZAOD=2ZDOE=2x（90°-a）=180。一2c,ZBOD=180°-ZAOD=180°-（180°-2«）=2«,

故答案为：2a.

【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，正确使用角平分线的性质和平角的性

质是解题的关键.

【变式2］（2023春•山东烟台•六年级统考期末）如图所示，以直线AB上的一点。为端点，在直线45的上

方作射线OP,使尸=70。.将一块直角三角尺的直角顶点放在点。处，且直角三角尺（NMQV=90。）

在直线的上方.设/8。"="。（0<〃<90）.

（1）当”=32时，求NPON的大小；

（2）若0<“<70时，求ZAON—NPOM的值.

【答案】⑴4ON=52。

⑵NAON—/PQW=20°

【分析】（1）根据角的和差运算求解即可；

（2）首先根据题意表示出POM=70。-”。，ZAOAA=180°-90°-n°=90°-n°,然后作差求解即可.

【详解】（1）解：当〃=32时，ZBOM=32°,

EIZPOB=70o,

0Z.POM=70°-32°=38°.

0/MON=90°,

0/PON=90°-38°=52°.

（2）解:当0<〃<70时，

团405=70。，

团20加=70。—〃。.

团NMQV=90。，

团ZAON=180°-90°-n°=90°-n°.

团ZAON-/POM=（90°-〃。）-（70°-相）=20°.

【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键.

题型07角平分线的有关计算

【典例7］（2023秋•河南南阳•七年级统考期末）已知O为直线48上一点，NCOE是直角，OF平分NAOE.

⑴如图①，若NCOF=34。，则NBOE=；若ZCOF=rrf,则ABOE=；ZBOE与ZCOF

的数量关系为；

⑵当射线OE绕点。逆时针旋转到图②的位置时，（1）中/BOE与NCOF的数量关系是否仍然成立？请说

明理由.

【答案】⑴（1）68°；2机。；ZBOE=2ZCOF

⑵NH9E=2NCO尸仍然成立，理由见解析

【分析】（1）先求得/石。歹，再根据角平分线的定义求得/AOE=2/EOb,再根据平角定义求解即可；

（2）设NCOF=〃。，仿照（1）中方法，先求得/EOP,再根据角平分线的定义求得NAOE=2/EZ¥,再

根据平角定义求解即可.

【详解】（1）解：回NCOE是直角，ZCOF=nf,

0ZEOF=90°-ZCOF=90°-rrf,

EIO/平分ZAOE,

SZAOE=2ZEOF=180°-2m°,

0ZBOE=180°—ZAOE=180°—（180°-2m°）=2m°,

则NBOE=2NCOE,

若ZCOF=34°,则Z.BOE=2x34=68°,

故答案为：68°；2m°；ZBOE=2ZCOF.

（2）解：ZBOE=2NCOF仍然成立,理由为:

如图2,设NCOb=〃°,

团NCOE是直角，

0ZEOF=90°-ZCOF=90°-n°,

团OF平分NAOE,

回ZAOE=2ZEOF=180°-2no,

0ZBOE=180°-ZAOE=180°—(180°—2〃°)=2n°,

则NBOE=2NCO尸.

【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键.

【变式1】(2023秋•七年级课时练习)如图所示，是平角，。河,仍分别是乙4。。,48。。的平分线.

⑴当NMON=140。时，求NCC©的度数；

(2)当NCOZ)=x。时，求NMON的度数.

【答案】⑴"8=100°

⑵/MON=90。+#

【分析】(1)根据平角，角平分线的意义，即可求出答案；

(2)根据由(1)的方法得，ZMON=ZMOC+ZCOD+ZDON=-ZAOC+-ZBOD+ZCOD

22

=1(180°-ZCOD)+ZCOD,把NCOD=x。代入即可求解.

【详解】(1)解：因为。分别是ZAOCZBOD的平分线，

所以ZAOM=ZCOM=-ZAOC,ZBON=ADON=-NBOD.

22

因为ZAOM+ZBON=180°-ZMON=40°,

所以ZAOC+ZBOD=2ZAOM+22BON=80°.

所以ZCOD=180°-(ZAOC+ZBOD)=100°.

(2)解：由(1)的方法得，ZMON=ZMOC+ZCOD+ZDON

=-ZAOC+-ZBOD+ZCOD

22

=1(1800-ZCOD)+ZCOD.

团当ZCOD=x°度时，则ZMON=1(180。-x。)+x。=90。+；x。.

【点睛】考查角平分线的意义、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题

的关键，等量代换是常用的方法.

【变式2】（2023秋•江苏徐州•七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知ZAOB=120。，0c平分/AO3,

0D、OE分别平分/AOC、NCOB,求/DOE的度数；

（2）如图2,在（1）中把"OC平分ZAO3"改为"OC是内任意一条射线"，其他任何条件都不变,

试求NDOE的度数；

（3）如图3,在（1）中把“OC平分NAOB"改为"OC是外的一条射线且点C与点B在直线49的

同侧"，其他任何条件都不变，请你直接写出NDOE的度数

【答案】(1)ZDOE=60°；(2)ZDOE=60°；(3)ZDOE=60°

【分析】(1)根据角平分线定义求出40。和N4OC度数，即可得出答案；

(2)根据角平分线定义得出NCOD=』ZAOC,NCOE=』NBOC,求出ND0E=NC0D+NC0E=LNA02,

222

代入求出即可；

(3)根据角平分线定义得出/COD=』/AOC,NCOE=^NBOC,求出/DOE=/COD-NCOE=LNAOB,

222

代入求出即可.

【详解】解：(1)[3ZAO8=120。，0c平分—AO3,

0ZAOC=ZCOB=-ZAOB=60°,

2

团。。、0E分别平分NAOC、ZCOB,

0ZCOD=-ZAOC=30°,ZCOE=-ZBOC=30°,

22

0/DOE=ZCOD+ZCOE=30°+30°=60°；

(2)团。。、OE分别平分/AOC、ZCOB,

0ZCOD=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

aZ.DOE=ZCOD+ZCOB

=1(ZAOC+ZBOC)

=-ZAOB=-xl20°=60°；

22

(3)回如、OE分别平分NAOC、NCOB,

0ZCOD=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

团/DOE=/COD—/COB

=1(ZAOC-ZBOC)

=-ZAG>B=-xl20o=60°.

22

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫

做这个角的平分线是解答此题的关键.

题型08角〃等分线的有关计算

【典例8】（2023秋•山西大同•七年级统考期末）在一AO3的内部作射线OC,射线0c把—AO3分成两个

角，分别为NAOC和23OC,ZAOC--ZAOBZBOC=-ZAOB,则称射线OC为一AOB的三等分

33

线.若2403=60。，射线OC为—AO3的三等分线，则N49C的度数为（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

【答案】C

【分析】根据题意得出NAOC=20。或4OC=20。，再根据角之间的数量关系，得出ZAOC=40。，综合即

可得出答案.

【详解】解：EZAOB=60°,射线OC为—AC®的三等分线.

0ZAOC=-ZAOB=20°或ZBOC=-ZAOB=20°,

33

0ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-20°=40°,

0ZAOC的度数为20°或40°.

故选：C.

【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键.

【变式1］（2023秋,浙江湖州•七年级统考期末）定义：从-AO3的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,

把—AO3分成1:2的两部分，射线0c叫做1AOB的三等分线.若在ZMON中，射线OP是4/ON的三等

分线，射线。。是/MOP的三等分线，设NMOQ=x,则NMON用含x的代数式表示为（）

9,.999,9.9

A.-x或3x或一xB.一尤或3x或9尤C.一元或一元或9元D.3x或一元或9x

424422

【答案】C

【分析】分四种情况，分别计算，即可求解.

【详解】解：如图：射线OP是ZMON（ZMOP=2ZNOP）的三等分线，射线OQ是ZMOP（ZQOP=2ZMOQ）

的三等分线，

ii3

则AQOP=2x,ZNOP=-ZMOP=-x(x+2x)=1x,

39

AMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+2x+-x=-x；

22

如图：射线OP是ZMON(ZMOP=2NNOP)的三等分线，射线OQ是ZMOP(/MOQ=2NQOP)的三等分线,

贝！J/QOP=^x,ZNOP=-ZMOP=-x(x+-x]=-x,

222y2y4

139

,ZMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+-x+-x=^x；

如图:射线OP是ZMON(ZNOP=2ZMOP)的三等分线,射线OQ是ZMOP(ZMOQ=2ZQOP)的三等分线,

则ZQOP=gx,ZNOP=2ZMOP=2x[x+gxj=3x,

19

,ZMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+-x+3x=-x；

如图：射线0P是/MON〈/NOP=2ZMOP)的三等分线，射线OQ是ZMOP(NQOP=2ZMOQ)的三等分线,

贝lJNQOP=2x,ZNOP=2ZMOP=2x(x+2x)=6%,

/./MON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+2x+6x=9x；

99

综上，NMON为-x或-x或9x,

42

故选：C.

【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

【变式2](2023秋・福建龙岩•七年级统考期末)已知ZAC©=120。，以射线Q4为起始边，按顺时针方向依次

作射线OC、OD,使得NCOD=60。，设ZAOC=6,0°<6»<180°.

D

⑵备用图①，当60。<。<120。时，试探索ZAOD与23OC的数量关系，并说明理由；

(3)备用图②，当120。4夕<180。时，分别在NAOC内部和右8。〃内部作射线OE,OF,使ZAOE=：ZAOC,

ZDOF=^ZBOD,求/EO尸的度数.

【答案】⑴4OC=97。；

(2)ZAOD+ZBOC=180°；理由见解析；

⑶NEO尸=80。

【分析】(1)根据图形可知/BOD=NAOB—ZAOD,继而根据NBOC=NCOD+NBOD,即可求解；

(2)根据图形得出NBOC=NCOD—/800=60。-/300,计算NAOD+N3OC,即可得出结论；

(3)分两种情况讨论，①当。=120?时，射线OC与OB重合，射线。£>与。4互为反向延长线，②当

120。<6<180。时，如图4,射线OC、。。在—AOS的外部，结合图形分析即可求解.

【详解】(1)如图1,0°<6><60°,

二/CO。在—AOB内部，

QZAOB=120°,ZAOD=83°,

ZBOD=ZAOB-ZAOD=120°-83°=37°,

./COD=60。，

Z.BOC=ZCOD+Z.BOD=600+37°=97°；

(2)ZAOD+ZBOC=1SO°；理由如下：如图2,

图2

60°<(9<120°,

••・射线。C、。。分别在NAOB内、外部，

ZAOD=ZAOB+Z.BOD=120°+ZBOD,

NBOC=ZCOD-Z.BOD=60°-NBOD,

ZAOD+ZBOC=120°+ZBOD+60°-ZBOD=180°,

ZAOD+ZBOC=180°；

（3）①当6=120?时，射线OC与03重合，射线0。与。4互为反向延长线,

则ZAOC=ZAOB=120°,ZBOD=ZCOD=60°,如图3,

力（C）

「

AOD

图3

21

ZAOE=-ZAOC,ZDOF=-ZBOD,

33

ZCOE=-ZAOC=-ZAOB=40°,

33

22

ZCOF=-ZBOD=-ZCOD=40°,

33

ZEOF=ZCOE+ZCOF=400+40°=80°；

②当120。<e<180。时，如图4,射线OC、。。在203的外部，如图4,

A

图4D

则Z.BOC=ZAOC-ZAOB=6>-120°,

ZBOD=NBOC+ZCOD=6—60。，

21

ZAOE=-ZAOC,/DOF=—/BOD,

33

ZCOE=-ZAOC=-0

33f

922

ZBOF=-ZBOD=-（0-60°）=-0-40°,

2。）=-。,

ZCOF=ZBOF-ZBOC=-0-4O0-（3-l201+80

ZEOF=ZCOE+ZCOF=-0--0+SO0=80°.

33

综合①②得ZEOF=80°.

【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键.

强化训练

一、单选题

1.（2023秋•七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（）

A.N1与NAO3表示同一■个角B.N71OC也可用/O来表不

C.图中共有三个角：ZAOB,ZAOC,ZBOCD.表示的是23OC

【答案】B

【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可；

【详解】解：A、N1和—AOB表示同一个角，故本选项不符合题意；

B、NAOC不可以用/O表示，故本选项符合题意；

C、图是共有三个角：NAOB,ZAOC,/BOC,故本选项不符合题意；

D、”表示的是N3OC,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键.

2.（2023秋•七年级课时练习）若4=20。18',/8=20。15'30",/。=20.25。，则（）

A.ZA>ZB>ZCB.NB>ZA>NCC.ZA>ZC>ZB

D.ZC>ZA>ZB

【答案】A

【分析】将么NB、/C统一化成"度、分、秒"的形式，即可比较大小.

【详解】ZC=20.25°=20°（0.25x60/=20°15,

020°18'>20°15'30">20°15,.

EIZA>ZB>ZC

故选：A.

【点睛】本题考查了角度的比较大小，解题的关键是将角度的度量单位化成统一的形式.

3.（2023秋・山西忻州•七年级统考期末）下列运算正确的是（）

A.34.5°=34°5,B.90°—23°45'=66°15'

C.12°34,x2=25°18,D.24°24'=24.（M°

【答案】B

【分析】根据1°=60',1'=60"进行计算即可.

【详解】解：A、34.5。=34。30,，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、90°-23°45,=66°15,,原计算正确，故此选项符合题意；

C、12°34,x2=24°68,=2508,,原计算错误，故此选项不符合题意；

D、24°24'=24.4°,原计算错误，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1。=60',r=60"是解题的关键.

4.（2023春•山东范泽•七年级校考阶段练习）在同一平面内，ZAOB=140°,过点。作射线OC,使得

/BOC=100°,贝UZAOC为（）

A.40°B.120°C.40。或90°D.40。或120°

【答案】D

【分析】分射线OC在403内部，和外部两种情况讨论计算即可.

【详解】当射线OC在-403内部时，如图：

ZAOB=140°,ZBOC=100°

ZAOC=ZAOB-ZBOC=140°-100°=40°

当射线OC在403内部时，如图：

f

C

/必=140。，ZBOC=100°

/.ZAOC=360°-(ZAOB+NBOC)=360°-140°+100。=120。

故选：D.

【点睛】本题考查了角的和差计算，解题关键是分射线0c在-AO3内部，和外部两种情况讨论.

5.（2023春•河南信阳•七年级校考开学考试）如图，点。是直线A3上一点，OC平分/AOE,/£»OE=90,

则以下结论：①ZAOD与/3OE互为余角；@ZAOD=|ZCO£；（3）ZBOE=2ZCOD；④若/BOE=58,

则NCOE=61.其中正确的是（）

A.只有①④B.只有①③④

C.只有③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题.

【详解】解：0ZrX9£=9O°,

0ZAOD+ZBOE=180°-ZDOE=90°,

团ZAOD与ZBOE互为余角,

故①正确.

团农平分二人上，

0ZAOC=ZCO£,

团无法推断得到ZAOD=-ZCOE,

2

故②错误.

E1OC平分/4OE,

0ZAOE=2ZAOC=2NCOE,

0ZBOE=180°-2ZCOE,

SZCOD=90°-ZCOE,

0NBOE=2NCOD,

故③正确.

EIZBOE=58O,

0ZAOE=180°-NBOE=122°.

EIOC平分NAOE,

团NCOE=-ZAOE=61°

2

故④正确.

综上：正确的有①③④.

故选：B.

【点睛】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键.

二、填空题

6.（2023春•山东泰安•六年级校考期中）计算：65。19'48"+35。17'6〃=_.

【答案】100°3案54"

【分析】根据1°=60',r=60S计算求值；

【详解】解：65°19'48"+35°17'6"=100°36'54"，

故答案为：100°36'54"；

【点睛】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键.

7.（2023春・广东河源•七年级校考开学考试）如图，ZAOC=50°,OB平分NCOE,ZCOE=36°,则=

度.

【答案】68

【分析】根据角平分线的定义得到NCQB=18°,进而根据ZAO3=NAOC+NCO3,即可求解.

【详解】解：回。8平分NCOE,ZCOE=36°,

0ZCOB=-ZCOE=工x36。=18°,

22

SZAOC=50°,

SZAOB=ZAOC+ZCOB=50°+18°=68°,

故答案为：68.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键.

8.（2023秋•内蒙古巴彦淖尔•七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果

ZAOD=126°,那么N3OC=

【答案】54754度

【分析】根据题意得到Z4O3=NCOD=90。，再计算N38=NA8-90。=36。，然后根据

ZBOC=ZCOD-ZBOD进行计算即可.

【详解】解：ZAOB=NCOD=90°,

而』AO£>=126°,

ZBOD=ZAOD-90°=36°,

ZBOC=Z.COD-ZBOD=90°-36°=54°.

故答案为：54°.

【点睛】本题考查了角的计算，关键是熟记：直角=90。，平角=180。.

9.（2023秋•七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小

明到家时时针和分针夹角的度数是.

【答案】165。/165度

【分析】时针在钟面上每分钟转0.5。，分针每分钟转6。，钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时

针转过12时0.5。><30=15。，分针在数字6上，由此进行计算即可得到答案.

【详解】解：时针在钟面上每分钟转0.5。，分针每分钟转6。，

.,.钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5。*30=15。，分针在数字6上，

钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30。，

12：30时针与分针的夹角为：30°x6-15°=165°,

二小明到家时时针和分针夹角的度数是165。，

故答案为：165。.

【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字

之间的夹角为30。，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1。时针转动并

且利用起点时针和分针的位置关系建立角的图形.

10.（2023春・河南南阳•七年级统考期中）如图，已知NAOB=90。，射线OC绕点。从。1位置开始，以

每秒3。的速度顺时针旋转；同时，射线绕点。从位置开始，以每秒1。的速度逆时针旋转，并且

当OC与。4成180。角时，OC与。。同时停止旋转.则在旋转的过程中，经过一秒，OC与。。的夹角是

30°.

AC

------------------B

【答案】15或30

【分析】设转动t秒，0C与如的夹角是30。，进行分情况画图，列方程即可得到结论.

【详解】设f秒后，OC与。。的夹角是30。，

①如图1,

0ZAOC=3°Z,ZBOD=l°t,

0ZAOB=90°,

fflZAOC+ZCOD+ZBOD=90°,即有3°/+30°+1=90°,

解得：f=15,

②如图2,

fflZAOC=3°Z,ZBOD=l°t,

ElZAOB=90°,

0ZAOC-ZCOD+ZBOD=90°,艮fl有3°t—30°+l°f=90。，

解得：r=30,

综上可知：t=15或30,0c与。。的夹角是30。，

故答案为：15或30.

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们

之间的等量关系.

三、解答题

11.（2023秋•河南漠河•七年级校考期末）如图，。为直线上一点，ZMOC=140°,Q4平分NMOC,

ZAOB=90°.

⑴填空：ZAOC=°；

⑵求/3QN的度数；

（3）试判断是否平分NNOC,并说明理由.

【答案】⑴70

（2）20°

⑶平分，理由见解析

【分析】（1）利用角平分线定义计算；

（2）首先求出N3OC,再利用平角的定义求出/3ON；

（3）根据，BOC与N3ON的度数，判断是否相等.

【详解】（1）解：ZMOC=140°,Q4平分/MOC,

ZAOC=-NMOC=-x140°=70°,

22

故答案为：70；

（2）QZAOB=90°,由（1）得NAOC=70。，

:.ZBOC=ZAOB-ZAOC=90°-70°=20°,

:.ZBON=ZCON-ZBOC=180°-ZMOC-ZBOC=20P；

(3)0B平分ZN0C,理由如下：

ZBON=ZBOC=20°,

：.OB平分NNOC.

【点睛】本题考查了角的计算和角