人教版初中八年级数学上册同步讲义-全等三角形的判定（解析版）

第02讲全等三角形的判定

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握全等三角形的几种判定方法。

①全等三角形的判定2.掌握直角三角形的判定方法。

②直角三角形的全等判定3,能够熟练运用全等三角形的判定方法判定全等。

4,对全等三角形的应用

思维导图

普通三角形的全等判定

全等三角形的判定・枇)与斜i&(HL)

直角三角形的全等判定

全等三角形的应用

知识点01边边边(SSS)判定全等

1.概念：

三条边分别对应相等的两个三角形全等。

2.数学语言：

如图：在△ABC与4DEF中：

AB=DE

<AC=DF.,.△ABC^ADEF(SSS)O

BC=EF

题型考点：①添加全等判定条件。

②全等判定。

【即学即练1】

1.如图，已知AB=DC,若用定理SSS证明△/BC之△DC2,则需要添加的条件是（）

A.OA^ODB.AC=DBC.OB=OCD.BC=CB

【解答】W：'：AB^DC,BC=CB,

当添加/C=r>8时，AABC”ADCB〈SSS).

故选：B.

【即学即练2】

2.如图，在△NCD和△48。中，CD=BD,AC=AB.求证：AACD冬AABD.

【解答】证明：在△/CO和△/8D中,

，AC=AB

-AD=AD>

CD=BD

：./\ACD^/\ABD(SSS),

知识点02边角边（SAS）判定全等

1.概念：

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等O

2.数学语言：

如图：在△ABC与4DEF中：

AB=DE

<ZA=ND

AC=DF

.,.△ABC^ADEFO

题型考点：①添加全等判定条件。

②全等判定。

【即学即练1】

3.如图，在/和中，点£、尸在3C上，AF=DE,ZAFB=ZDEC,添加下列一个条件后能

用“S/S”判定尸且△OCE的是（）

C./A=/DD.AB=DC

【解答】解：/、由BE=C尸，得到3P=CE,又AF=DE,NAFB=/DEC,由&4s能判定△为&尸名△

DCE,故/符合题意；

B、NB=NC,又AF=DE,ZAFB=ZDEC,由44s能判定/丝△OCE,故8不符合题意；

C、ZA=ZD,又AF=DE,NAFB=NDEC,由45/能判定尸丝△DCE,故C不符合题意；

D、AB=DC,AF=DE,ZAFB,NOEC分别是N3、0c的对角，因此不能用£4S判定尸乌△DCE,

故。不符合题意.

故选：A.

【即学即练2】

4.如图，点。在线段AE1上，AB//CD,AB=DE,BD=CD.△48。和△EDC全等吗？为什么？

【解答】解：△48。和△EDC全等，理由如下:

,JAB//CD,

：.NB=/CDE,

在和△EOC中,

'AB=DE

,ZB=ZCDE>

LBD=CD

：./\ABD^/\EDC(SAS).

知识点03角边角（ASA）判定全等

1.概念：

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

2.数学语言：

A

如图，在△ABC与^DEF中：

Z=ZD

BC

<AB=DED

NB=NE

.,.△ABC^ADEFOEF

题型考点：①添加全等判定条件。

②全等判定。

【即学即练1】

5.如图，点3,F,C,£在同一直线上，AC^DF,Nl=/2,如果根据((ASAff判断△ZBC之那

么需要补充的条件是（）

AD

zxx

BFCE

A.AB=DEB.NA=/DC.BF=CED./B=/E

【解答】解：需要补充的条件是NN=ND,

在△NBC和△£>£尸中，

2A=ND

•AC=DF，

,Z2=Z1

:AABC冬ADEFCASA）.

故选：B.

【即学即练2】

6.（2023春•东明县期末）如图，点尸、C是/。上的两点,<BC//EF,AB//DE,AF=DC,求证：AABC

沿ADEF.

A

【解答】证明：CD,

：.AC=DF,

•；EF〃BC,D

・•・NEFD=/BCA,

'：AB//DE,

N4=ND,

在△45C和△。环中，

2A=ND

<AC=DF，

,ZACB=ZDFE

:./XABC名/\DEF(ASA).

知识点04角角边（AAS）判定全等

3.概念:

两角及其其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等o

4.数学语言：

如图，在△ABC与4DEF中:

'乙4=ND

<NB=NE

BC=EF

.'.△ABC^ADEFO

题型考点：①添加全等判定条件。

②全等判定。

【即学即练1】

7.如图，已知/1=/2,若用“44S”证明△NCBgZkBD/,还需加上条件（）

A.AD=BCB.BD=ACC.ZZ)=ZCD.NDAB=/CBA

【解答】解：A.AD=BC,BA=AB,N1=N2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△/CB也△出必,

故本选项不符合题意；

B.AB=BA,Z1=Z2,AC—BD,符合全等三角形的判定定理&4S,不符合//S定理，故本选项不符

合题意；

C.ND=NC,Z1=Z2,AB=BA,符合全等三角形的判定定理44S,能推出故本选

项符合题意；

D./DAB=NCBA,AB=BA,Z1=Z2,符合全等三角形的判定定理NS4,能推出△/CBgZXBD/,

故本选项不符合题意；

故选：c.

【即学即练2】

8.如图，在△/BC中，于点D,BEUC于E.4D马BE交于F,若BF=4C,求证：△/DCg

△BDF.

:./ADC=NBDF=NBEA=90°,

:NAFE=NBFD,ZDAC+ZAEF+ZAFE=18Q°,ZBDF+ZBFD+ZDBF^180°,

：.ZDAC=ZDBF,

在△NDC和△8〃尸中，

2DAC=NDBF

<NADC=NBDF，

,AC=BF

:.^ADC%ABDF(AAS).

知识点05直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等

5.概念:

直角三角形的斜边与其中一条斜边对应相等的两个三角形全等。

6.数学语言：

如图：在RtZ\ABC与RtZXDEF中:

AC=DF

AB=DE

：.RtAABC^RtADEFo

题型考点：①添加全等判定条件。

②全等判定。

【即学即练11

9.如图，DCLAE,垂足为C,且NC=CD,若用“HL”证明△/BC0△OEC,则需添加的条件是（）

D

A.CE=BCB.AB=DEC.NA=/DD.ZABC=ZE

【解答】解：AB=DE,

理由是：VDCXCE,

:.NACB=NDCE=90°,

在RtAASC和RtADEC中，

[AB=DE,

IAC=CD，

/.RtAABC^RtADEC(HL),

故选：B.

【即学即练2】

10.如图所示，在△N3C中，CBLAB,ZBAC=45°，尸是延长线上一点，点/在8c上，且4B=CR.求

证：RtAABE义RtACBF.

；.NABC=NFBC=90°,

VZBAC=45°,

：./\ABC为等腰直角三角形，

:.AB=CB,

在RAABE和RtACSF中，

[AE=CF

1AB=CB'

ABE^RtACBF(HL).

寻找全等判定条件的方法总结:

题型精讲

题型01补充判定全等的条件

【典例1】

如图，N4=/D,BC=EF,要得到△45C之△£>£*只需添加（

A.AC=DFB.NE=NBC.AB=DED.DE//AB

【解答】解：/、：//=ND,BC=EF,添加

...不能利用SSA判定△N3C之△£>££本选项不符合题意;

B、VZA^ZD,BC=EF,添加NE=/8,

,利用44s能判定△。所，本选项符合题意；

C、:/A=/D,BC=EF,添加

，不能利用SSA判定AABC坦ADEF,本选项不符合题意;

D、•:NA=/D,BC=EF,添加DE〃AB,则NZ=N。，

，不能判定△NBC之△DE凡本选项不符合题意；

故选：B.

【典例2】

【解答】解：=

Z1+NE4B=N2+NEAB,

即

/、加上条件8C=£Z>不能证明△4C8之△NDE；

B、加上条件AB=AE可利用SAS定理证明△NC8乌△/£>£；

C、加上条件NC=ND可利用ASA证明

D、加上条件1可利用44s证明△4C2丝△4DE；

故选：A.

【典例3】

如图，/1=/2,下列条件中不能使的是（）

A.AB=ACB.NB=NCC.ZADB=ZADCD.DB=DC

【解答】解：N、：在出)和△4CD中

fAB=AC

<Z1=Z2

,AD=AD

:.△4BD”AACDQSAS),故本选项不符合题意；

B、,：在AABD和ZX/CD中

，ZB=ZC

<Z1=Z2

LAD=AD

AAABD^/XACD(AAS),故本选项不符合题意；

C、在4ABD和44CD中

'N1=N2

-AD=AD

,ZADB=ZADC

:.AABD^LACD(ASA),故本选项不符合题意；

D、根据/1=/2、和不能推出故本选项符合题意;

故选：D.

【典例4】

如图，已知/£=/C,NC=NE,下列条件中，无法判定的是()

A./B=NDB.BC=DEC.Nl=/2D.AB=AD

【解答】解：A,添加48=/。，由“W4S”可证△ABCgAlDE,故选项/不合题意;

B、添力口2C=DE,由“&4S”可证△/BCg/XADE,故选项8不合题意；

C、添加/1=/2,由“4X4”可证△/BC四△/£)£1,故选项C不合题意；

D、添力口45=40,不能证明△/2C之△/£»£1,故选项。符合题意；

故选：D.

【典例5】

如图，在△48C和△£)£/中，如果N3=D£,BC=EF.在下列条件中不能保证的是()

A./B=NDEFB./A=/DC.AB//DED.AC=DF

【解答】解：/、可根据S/S判定△/2。名人0£尸，

故本选项不符合题意；

B、不能根据SSA判定A4BC咨ADEF,

故本选项符合题意；

。、根据可得/8=/。£尸，可根据S4s判定△4BC也△£>£*

故本选项不符合题意；

D、可根据SSS判定△/BCT4DEF,

故本选项不符合题意.

故选：B.

【典例6】

如图，若要用“HL”证明RtAiBC注RtA4BD,则还需补充条件()

A.ABAC=ABADB.AC=AD或BC=BD

C.NABC=NABDD.以上都不正确

【解答】解：若要用“HL”证明则还需补充条件/C=4D或3c=8D,

故选：B.

题型02全等三角形的判定证明

【典例1】

如图，点3,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证：AABC沿ADFE.

【解答】证明：•.•2E=CR

：.BE+EC^CF+EC,即BC=EF.

在△43C和△OBE'中，

'AB=DF

■AC=DE，

BC=FE

:.AABC-DFE(SSS).

【典例2】

如图，在四边形中，3。平分N/OC,点E在线段8。上，ZA=ZDEC=90°,AB=CE.求证：△

ABD冬LECD.

【解答】证明：平分N/DC,

NADB=/EDC,

在△48。和△ECO中，

'/ADB=/EDC

<ZA=ZDEC=90°，

,AB=CE

:AABD咨4ECD(AAS).

【典例3】

如图，48=40,AC平分/BAD.求证：△48C之△4DC.

ZBAC=ZDAC,

在△4BC和△4DC中，

，AB=AD

-ZBAC=ZDAC-

AC=AC

:.△4BC会4ADC(SAS).

【典例4】

如图，点。在3c边上，BC=DE,Z1=Z2,NC和。£相交于点。.求证:△ABC%4ADE.

【解答】证明：•••//DC=N1+N3,

即ZADE+Z2=Z1+ZB,

而Nl=/2,

/.ZADE=Z.B,

在△NBC和中，

2C=/E

-BC=DE，

,ZB=ZADE

/\ABC^/\ADECASA).

【典例5】

己知：如图，/A=NB,AE=BE,Z1=Z2,点。在/C边上.

求证：AAEC%4BED.

【解答】证明：；N1=N2,

/AEC=NBED,

在△4EC和△HEP中，

,ZAEC=ZBED

<AE=BE，

1ZA=ZB

:.AAEC乌ABEDCASA).

题型03全等三角形的判定与性质

【典例1】

已知锐角△/8C中，ZABC=45°,4D_L2C于点。，3£_L/C于点况交4D于点E.

(1)求证：4BDE沿AADC；

(2)若3。=8,DC=6,求线段斯的长度.

：.ZBDE=ZADC=90°.

,/ZABC=45

:・/BAD=/ABC=45

:・BD=AD.

U：ADLBC,BEL4C,

：.ZC+ZDAC=90°,NC+NCBE=90°,

：.ZCBE=ZDAC.

在△5QE和△ZOC中，

<ZDBE=ZDAC

<BD=AD，

LZBDE=ZADC

・•.△BDE/AADC(ASA).

(2)解：•:△BDEmAADC,DC=6,BD=8,

：・BC=BD+CD=14,AD=BD=8,AC=BE,DE=CD=6,

在Rt^BDE中，由勾股定理得BE=VBD2+DE2=10，

：.AC=BE=10f

SAABC^BC'AD=1AC'BF，

.kAD-BC8X1456

,，BF=AC=10"

•■•EF=BF-BE-f-

b

【典例2】

如图，四边形48。中，BC=CD,AC=DE,AB//CD,NB=/DCE=90°,NC与。£相交于点尸.

(1)求证：△48C出△ECO；

(2)判断线段NC与。£的位置关系，并说明理由.

【解答】(1)证明：在RtZ\NBC和RtZXECZ)中,

fAC=DE

[AB=EC'

,".RtA^5C^RtAECr>(HL),

(2)解：ACLDE.理由如下：

ZBCA=ZCDE,

,;NB=NDCE=90°,

：.ZBCA+ZACD^90Q,

.\ZCDE+ZACD^90°,

：.ZZ)FC=180°-(.ZCDE+ZACD)=90°,

：.ACA.DE.

【典例3】

如图所示，在△4BC中，于D,CELABE,AD与CE交于点F,且4D=CD.

Cl)求证：△4BD9ACFD；

(2)已知3C=7,AD=5,求4F的长.

【解答】(1)证明：'：AD±BC,CELAB,

，ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

；.NBAD+/B=NFCD+NB=90°,

ZBAD=ZFCD,

在A4BD和CFD中，

，ZADB=ZCDF

<AD=DC>

LZBAD=ZDCF

:AABD沿ACFDCASA),

(2)解：V^ABD^/XCFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC=5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

【典例4】

如图，点3、F、C、E在一条直线上，OA=OD,AC//FD,AD交BE于O.

(I)求证：ZUC。g△DFO；

：.ZCAO=ZFDO,

在△/CO与△。尸。中

,ZCAO=ZFDO

,ZA0C=ZD0F>

,OA=OD

:.△ACO名△DFO(AAS)；

(2)V/\ACO^/\DFO,

：.OF=OC,

•:BF=CE,

：.BO=EO,

在△NBO与△DE。中

'BO=EO

<ZA0B=ZD0E-

,OA=OD

:.AABO%ADEO(.SAS),

：.ZB=ZE,

.'.AB//DE.

【典例5】

已知：△/2C是等腰三角形，CA=CB,0°<ZACB^90°.点〃在边/C上，点N在边BC上(点、M、

点N不与所在线段端点重合)，BN=AM,连接NN,BM,射线/G〃3C,延长3M交射线NG于点。,

点£在直线NN上，且AE=DE.

(1)如图，当//CB=90°时；

①求证：ABCM冬AACN；

②求NBDE的度数；

(2)当//C2=a,其它条件不变时，/3DE的度数是.(用含a的代数式表示)

E

备用图备用图

【解答】(1)①证明：•:CA=CB,BN=AM,

:・CM=CN,

在和△ZCN中，

'CM=CN

<NC=NC，

CA=CB

:•△BCMQAACN(SAS)；

②解：V/XBCM^AACN,

：.ZCBM=ZCAN,

■:AG//BC,

：.ZCBM=/ADM,

：.ZADM=ZCAN,

•：AE=DE,

：./EAD=NEDA,

：.ZBDE=ZCAN+ZEAD,

VZACB=90°,

：.ZCAG=9Q°,

ZBDE=ZCAN+ZEAD=90°；

(2)解：当点E在直线4G上方时，由②同理可得N5Q£=NC4N+NE4D,

*.*ZACB=a,

NC4G=a,

・•・ZBDE=ZCAN+ZEAD=l^O°-a,

当点E在直线4G下方时，

D

E

同理可得ND2C=NaiN=/4D2,ZACB=ZDAC=a,

,:EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA,

/BDE=ND4c=a,

故答案为：180°-a或a.

题型04全等三角形的应用

【典例1】

王强同学用10块高度都是2c加的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进

一个等腰直角三角板(AC=BC,ZACB=90°)，点C在。£上，点/和8分别与木墙的顶端重合.则

两堵木墙之间的距离是()

C.20cmD.15cm

【解答】解：,:AC=BC,ZACB=90°,ADLDE,BELDE,

：.N4DC=NCEB=90°,

；./4CD+NBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

ZBCE=ADAC,

在△NDC和△CM中,

,ZADC=ZCEB

ZDAC=ZBCE-

,AC=BC

.•.△/DC丝△CEB(AAS)；

.,.EC=AD=6cm,DC=BE=l4cm,

：.DE=DC+CE=2Q(.cm),

故选：C.

【典例2】

如图，要测量小金河两岸相对的/、2两点之间的距离，可以在与垂直的河岸B尸上取C、。两点，且

使3C=CD.从点。出发沿与河岸8尸垂直的方向移动到点£,使点/、C、£在一条直线上.若测量DE

的长为28米，则/、8两点之间的距离为28米.

【解答】解：:/台,吕。，EDLBD,

:.NABC=NEDC=9Q°,

VZACB=ZDCE,BC=CD,

:.△ABC沿AEDC(ASA),

：.AB=DE=2S米.

故答案为：28.

【典例3】

小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置/处，。区与地面垂直，两脚在地面上用力一

蹬，妈妈在距地面1"?高的2处接住她后用力一推，爸爸在。处接住她.若妈妈与爸爸到04的水平距

离3。、CE分别为1.4加和1.8m，/2。。=90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是()

D.1.4m

【解答】解：由题意可知/CEO=N8DO=90°,0B=0C,

VZBOC=90°,

AZCOE+ZBOD=ZBOD+ZOBD=90°.

:・/COE=/OBD,

在△COE和△05。中,

，ZCOE=ZOBD

,ZCEO=ZODB>

OC=OB

.•.△COEg△08。(AAS),

：.CE=OD,OE=BD,

,:BD、CE分别为1.4m和1.8m,

：.DE=OD-OE=CE-BD=l.S-1.4=0.4(m),

'：AD=lm,

J.AE^AD+DE^IA(m),

答：爸爸是在距离地面L4加的地方接住小丽的.

故选：D.

【典例4】

如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点4.B.。分别落在凹槽内壁上，测得BE

=9cm,则该零件的面积为()

A.14B.53C.98D.196

【解答】解：♦••△A8C是等腰直角三角形，

：.AC=BC,ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,

,：ZADC^90°,

：.ZACD+ZDAC=90°,

NDAC=NBCE,

在△NDC和△CM中，

，ZD=ZE=90°

<ZDAC=ZECB，

LAC=BC

.•.△4DC咨ACEB(AAS),

.\DC=BE=9cm,

•'•AC=J52+g2=7106(cm),

:,BC=y{106。冽,

，该零件的面积为axJi而x7106=53(cm2).

故选：B.

强化训练

1.如图，已知==,BC=BD.则证明△A4C0△24D的理由是（

A.SASB.ASAC.AASD.HL

【解答】解：,；/BCA=NBDA=90：

在RtABAC和RtZkB/D中,

[AB=AB,

1BC=BD，

；.RtA8/CgRtABAD(HL).

故选：D.

2.如图，点/、3分别在。C、0。上，40与2c相交于点E,OA=OB,OC=OD,Z(?=40°,/。=20°,

则ZAEC等于()

A.70°B.80°C.90°D.100°

【解答】解：在△40D和△BOC中，

，OA=OB

,ZA0D=ZB0C>

LOD=OC

:AAOD会ABOC(&4S),

；./。=/。=20°,

AZDAC=ZO+ZD=4Q°+20°=60°,

/.ZAEC=180°-20°-60°=100°.

故选：D.

3.如图，在四边形/BCD中，对角线/C,8。相交于点。，且O/=OC,OB=OD.下列结论不一定成立

A.AD=BCB.AB//CDC.ZDAB=ZBCDD.ZDAB=ZABC

【解答】解：:四边形的对角线/C,2。相交于点。，且04=。。，OB=OD,

二四边形为平行四边形，

J.AB//CD,ZBAD=ZDCB,AD=BC.

所以/、B、C三项均成立,

故选：D.

4.如图，在△/2C中，ZACB^90°,按如下步骤操作：①以点/为圆心，任意长为半径作弧，分别交

AC,AB于D,£两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交NC的延长线于点尸；③以点尸为圆

心，OE长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线CG,若NB=40°,贝iJ/FCG为（）

【解答】解：如图：连接。£,FG,

;在△N3C中，ZACB=90°,Z5=40°,

AZA=90°-40°=50°,

由作法可知：AD=AE=CF=CG,DE=FG,

在△/£)£1和△CFG中，

'AD=CF

-AE=CG，

DE=GF

.♦.△/DE丝△CFG(SSS),

/Z=NFCG=50

故选：B.

5.在△45C中，AB=AC,AB>BC,点。在边8C上，CD=2BD,点、E、/在线段上，Z1=Z2=Z

BAC,若△/BC的面积为18,则△NCF与△8AE的面积之和是（）

A.6B.8C.9D.12

【解答】解：；/l=/2=/8/C,Z1=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZBAE+ZCAF,Z2=ZFCA+ZCAF,

：.N4BE=NCAF,NBAE=NFCA,

，ZABE=ZCAF

在△/BE和尸中，,AB=AC,

,ZBAE=ZACF

:.AABE出ACAF(ASA),

：.的面积=ZU5E的面积，

A4CF与ABDE的面积之和=Z\4BE与△BDE的面积之和，

AABC的面积为18,CD=2BD,

.,.△ABD的面积=2x18=6,

3

，△/CF与△ADE的面积之和=2\48。的面积=6；

故选：A.

6.如图，和CE是△N3C的高，交于点R且尸D=4,CD=1,则//的长为()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：于点D,CELAB于点E,

：./ADB=ZCDF=ZCEB=90°,

/.ZBAD=ZFCD=90°-ZB,

在和△CFD中，

'NADB=NCDF

<AD=CD，

LZBAD=ZFCD

:AABD沿ACFD(ASA).

:.BD=DF=4,

,:AD=1,

：.AF=AD-FD=1-4=3,

4尸的长是3.

故选：A.

7.在直线/上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放

KHGDCB

:在和△48C中，

，ZEDC=ZCBA

<NECD=NCAB，

,EC=CA

:.ACDE乌AABC(AAS),

:.AB=CD,BC=DE,

：.AB2+DE2^DE2+CD2=CE2^3,

同理可证FG2+LK2=HB=1,

S1+&+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4.

故选：c.

8.在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题

给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架以2。，其中4B=42c〃z,AP,2。足够长，PALAB^A,QB

,48于点2,点”从3出发向/运动，同时点N从2出发向。运动，使M,N运动的速度之比3：4,

当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线4P上取点C,使丛ACM与4BMN全等,则线段/C的长

为（）

pQ

M

A.18cmB.24cmC.18c冽或28c加D.18c冽或24c冽

【解答】解：设：BM=3xcm,贝lj2N=4xc加，

VZA=ZB=90°,

(1)当△/CM名时，有BM=AM=3x,BN=AC,

又AM+BM=42cm,

・・3x+3x=42,

：.x=7.

；・AC=BN=4x=28cm；

(2)当CM丝时，有AM=BN,BM=AC,

当时，有BM=AM,BN=AC,

又AM+BM=42cm,

3x+3x=42,

：・x=7.

；・AC=BN=4x=28cm；

当△4CMt时，有AM=BN=4x,BM=AC=3x,

又AM+BM=42cm,

••4x+3x=42,

•»x^6,

：.AC=BM=18cm；

故选：C.

9.如图，已知：40与5c交于。点，OA=OB,要使△/。。丝△5。。，添加一个你认为合适的条件为

【解答】解：OC=OD,

理由是：・・・在△ZOC和△8。。中,

，OA=OB

•NAOC=NBOD，

,OC=OD

AAAOC^ABOD(SAS),

故答案为：。。=。。或//=/3或/。=/。.

10.在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中

OA=OD,OB=OC,测得/8=3cm,EF=5cm,圆形容器的壁厚是cm.

【解答】解：在和△OOC中,

'0A=0D

<ZA0B=ZD0C-

,B0=0C

/\AOB^/\DOC(SAS),

.,.AB—CD—3cm,

EF—5cm,

...圆柱形容器的壁厚是上X(5-3)=1(cm),

2

故答案为：1.

11.如图，△48C中，ZC=90°,ND平分△8/C交3C于点。，BE，/。交的延长线于点£,DFL

4B交AB于点、F.若BF=BE,4c=4,DF=3.则/£的长为.

【解答】解：平分NB/C,ZC=90°,DFLAB,

:.CD=DF=3；

•**AD=VAC2CD2=^42+32=5；

u：BELAD,

：.ZE=ZBFD=90°；

在RtABFD和RSED中，

[BF=BE,

IBD=BD'

:.RtABFD咨RtABED(HL),

：.DE=DF=3,

：.AE=AD+DE=5+3=8.

故答案为：8.

12.如图，AB=7cm,AC=5cm,NCAB=/DBA=60°，点P在线段48上以2CTM/S的速度由点/向点3

运动，同时，点。在射线8。上运动速度为xc加/s,它们运动的时间为f(s)(当点P运动结束时，点。

运动随之结束)，当