解决证明含有两个变量的不等式策略

解决证明含有两个变量的不等式策略近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到解题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策略。策略一：当两个变量可以分离时，根据其两边结构构造函数，利用单调性证明不等式。例1（2010年辽宁文科21）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，。解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4＝. 于是≤＝≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，.当e<x<e2时，1－lnx<0，例2（2009年辽宁理科21）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在（I）根据x=2是函数f（x）的极值点，则f′（2）=0可求出a的值，然后求出切线的斜率和切点，从而可求出切线方程；（II）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a﹣2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；（III）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln﹣＞0，根据（II）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且大于1，利用函数的单调性可得证．解：（I）f′（x）=﹣=，由题意知f′（2）=0，解得a=，经检验符合题意．从而切线的斜率为k=f′（1）=﹣，切点为（1，0）切线方程为x+8y﹣1=0（II）f′（x）=，因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，当x∈（0，+∞）时，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，得：2a﹣2≤x+，设g（x）=x+，x∈（0，+∞），则g（x）=x+≥2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]；（III）要证，只需证＜，即ln＞，即ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，由（II）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，得到．点评：本题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．例4（2013年陕西）已知函数.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.(Ⅲ)设a<b,比较与的大小,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=..过点(1,0)的切线方程为:y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.因此，所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)(Ⅲ)设令.,且.所以练习2（2006年四川理科22）已知函数，的导数是。对任意两个不等的正数、，证明：（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）当时，。本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。满分14分。证明：（Ⅰ）由，得。而，①又，∴。②∵，∴。∵，∴。③由①、②、③，得，即。（Ⅱ）证法一：由，得，∴。下面证明