数学《燕尾模型》题型及答案解析

模型展现图示ABDC特点凹四边形1.∠BDC=∠A+∠B+∠C;2.AB+AC>BD+结论112结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C证法1AD并延长，则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4,∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4,∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.证法2:如图②,延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△的外角,∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC>BD+BD交AC于点E△ABE中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+,在△中,+CE>.1∵AC=AE+CE,∴AB+AC=AB+AE+CE>BD++CE>BD+.BC.图示在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF相交于同一点O特点结论1.S△AOB:S△AOC=BD:;2.S△AOB:S△COB=AE:CE;3.S△BOC:S△AOC=BF:AF122结论1:S△AOB:S△AOC=BD:12证明:如图,分别过点B,C作BH,CG垂直于AD交于点H,G,在△ABC中,∵SAOB=AO⋅BH,121212SAOC=AO⋅CG,SAOB:SAOC=AO⋅BH:AO⋅CG=BH:CG,在△BHD和△CGD中,∠BHD=∠CGD=90°,∠BDH=∠CDG,∴△BHD∽△CGD,BHCGBD∴=,∴SAOB:SAOC=BD:.12“×底×2模型典例1.∠1的度数为()A.75°B.105°C.135°165°形内外角关系即可求解。2.模型构造∠ABC=∠=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为()A.80°B.160°C.240°360°3.如图,已知点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,将∠A沿折叠,使点A落在点F的位置,已知∠A=50°,∠1=130°,则∠2的度数为()A.120°B.130°C.140°150°13134.如图,∠A=45°,∠BDC=135°,∠ABE=∠ABD,∠ACE=∠,则∠BEC的度数是()3A.30°B.45°C.75°90°5.如图,在矩形中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接AF,CE交于点G,若矩形的面积为3,则四边形的面积为.6.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC边上,AD与BE交于点F,若=3BD,EC=4AE,四边形的面积是10,则△ABC的面积为.6.(分创新题型-阅读理解试题)于180°360°(如图①).因为凹四边形ABOC∠BOC=∠A+∠B+∠C,.模型应用(1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)拓展应用(2)如图③,在四边形中,BC=CD,∠=2∠BAD.(O是四边形内一点,且OA=OB=.求证:四边形是菱形.47.30°角的直角三角板ABC的直角∠A放入△的内部,点E,F恰好为AB,AC的中点,若∠D=45°,∠DFE=56°,则∠的度数为A.11°B.15°()C.19°26°8.如图,∠ABD,∠的10等分线分别相交于点G₁,G₂,⋯⋯,G₉,若∠BDC=125°,∠A=60°,则∠BG₆C的度数为.9.如图是可调躺椅示意图(数据如图)AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠=110°,则∠D应()度.10.180°360°(如图①).因为凹四边形ABOC∠BOC=∠A+∠B+∠C,所以我们把这个模.模型应用(1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)(2)如图③,若∠的平分线与∠BOC的平分线交于点D,求证:2∠D=∠C-∠B.5课后练习11.(1)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；(2)BE平分∠ABDCE平分∠ACDBE与CE交于E(1)的结论写出∠BDC、∠BEC和∠1313(3)∠1=∠ABD∠2=∠ACD∠BDC∠BEC和∠三个角之间的关系为(直接写出结果即可)．612.(2023·重庆·八年级专题练习)(即如图1∠=∠A+∠B+∠C)理由如下：2接AB在△ABC中，∠C+∠CAB+∠=180°∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°∵在△ABD中，∠1+∠2+∠=180°∴∠=∠3+∠4+∠C∠=∠CAD+∠CBD+∠C．3接并延长至F∵∠1和∠3分别是△和△的一个外角，......任务：(1)；(2)(3)4AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G∠=150°∠AGB=110°∠C的大小．713.(2023·湖北·八年级专题练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°么∠F的度数是()．A.72°B.70°C.65°60°14.(2023·江苏南京·七年级校联考期末)互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．ABCD是三角形ABCBDCD∠BDC与∠A∠1，∠2之间的关系．(1)请你在横线上补全小明的探究过程：∵∠BDC+∠+∠=180°()∴∠BDC=180°-∠-∠BCD(等式性质)∵∠A+∠1+∠2+∠+∠=180°，∴∠A+∠1+∠2=180°-∠-∠BCD，∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．()(2)请你按照小丽的思路完成探究过程；(3)中，∠BDC=135°∠B=∠C=25°∠A=；中，∠ABD与∠的角平分线交于点E∠A=60°∠BDC=140°∠E=∠ABD∠的十等分线相交于点、FF⋯F∠BDC=120°，129∠BF3C=64°∠A的度数为；④如图④，∠∠BDC的角平分线交于点E∠B∠C与∠E之间的数量关系是；⑤如图⑤，∠ABD∠的角平分线交于点E∠C=40°∠BDC=140°∠AEB的度数．815.(2023春·江苏·七年级专题练习)探究与发现：如图1--(1)∠BDC与∠A∠B∠C(2)2XYZ放置在△ABC尺的两条直角边XYXZ恰好经过点BC∠A=50°∠ABX+∠ACX=平分∠EC平分∠AEB∠E=50°∠=130°∠DCE=°3DC°4∠ABD，∠的10等分线相交于点GG⋯G∠BDC=140°∠BGC=77°∠A的度数．12919模型展现图示ABDC特点凹四边形1.∠BDC=∠A+∠B+∠C;2.AB+AC>BD+结论112结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C证法1AD并延长，则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4,∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4,∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.证法2:如图②,延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△的外角,∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC>BD+BD交AC于点E△ABE中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+,在△中,+CE>.1∵AC=AE+CE,∴AB+AC=AB+AE+CE>BD++CE>BD+.BC.图示在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF相交于同一点O特点结论1.S△AOB:S△AOC=BD:;2.S△AOB:S△COB=AE:CE;3.S△BOC:S△AOC=BF:AF122结论1:S△AOB:S△AOC=BD:12证明:如图,分别过点B,C作BH,CG垂直于AD交于点H,G,在△ABC中,∵SAOB=AO⋅BH,121212SAOC=AO⋅CG,SAOB:SAOC=AO⋅BH:AO⋅CG=BH:CG,在△BHD和△CGD中,∠BHD=∠CGD=90°,∠BDH=∠CDG,∴△BHD∽△CGD,BHCGBD∴=,∴SAOB:SAOC=BD:.12“×底×2模型典例1.∠1的度数为()A.75°B.105°C.135°165°形内外角关系即可求解。D,∵∠1=∠COB=∠CEB+∠B,∠CEB=∠D+∠C.∴∠1=∠COB=∠C+∠B+∠D=30°+45°+90°=165°.BEBC3AF4AC232.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,AE,BF,交于点O,且=,=,ADAB贝的值为()32253523A.B.C.D.2BBEBC3413,S△AOB:SAOC=BE:CE,∵=,∴BE:CE=3:1∴SAOC=SAOB,同AFAC2312理可得：S△AOB:S△BOC=AF:CF⋅∵=,∴AF:CF=2:1,∴SBoC=SAOB⋅∵SAOC:SBOC=1312ADAB25AD:BD=SAOB,SAOB=2:3,∴=.针对训练32.模型构造∠ABC=∠=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为()A.80°B.160°C.240°360°B,连接AD,∠F+∠F+∠=∠,∠+∠ADC+∠C=∠ABC,∴∠F+∠F+∠+∠+∠ADC+∠C=∠+∠ABC=80°+80°=160°,,即∠+∠C+∠+∠F=160°.3.如图,已知点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,将∠A沿折叠,使点A落在点F的位置,已知∠A=50°,∠1=130°,则∠2的度数为()A.120°B.130°C.140°150°D:∠A=∠F=50°()∵∠=180°-∠1=180°-130°=50°,∴∠2=∠A+∠F+∠=50°+50°+50°=150°13134.如图,∠A=45°,∠BDC=135°,∠ABE=∠ABD,∠ACE=∠,则∠BEC的度数是()4A.30°B.45°C.75°90°C∵∠A=45°,∠BDC=135°,∠BDC=∠A+∠ABD+∠,∴∠ABD+∠=∠BDC-131313∠A=135°-45°=90°.∵∠ABE=∠ABD,∠ACE=∠ACD,∴∠ABE+∠ACE=∠ABD+131313∠=∠ABD+∠=×90°=30°,∴∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE=45°+30°=75°5.如图,在矩形中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接AF,CE交于点G,若矩形的面积为3,则四边形的面积为.2,连接BG,AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴AE:BE=1:1,CF:BF=1:1,∴S△AGC:12S△BGC=AE:BE=1:1,S△AGC:SABC=CF:BF=1:1,∴SAGC=SBGC=SABG⋅∵SABC=S棱锥ABCD=12323213121212×3=,∴SAGC=SBGC=SABG=×=,∴S四边形AGCB=SABC+SBGC=+=1,∴S四边形=S矩形-S四边形AGCB=3-1=2.6.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC边上,AD与BE交于点F,若=3BD,EC=4AE,四边形的面积是10,则△ABC的面积为.540027CF,∵=3BD,EC=4AE,∴BD:=1:3,AE:EC=1:4,∴SABF:SACF=BD:=1:3,S△ABF:S△BCF=AE:EC=1:4,∴SABF:SBCF:SACF=1:4:3,设S△=a,则SAEF14131413ab45=a,设SCDF=b,则S△BDF=b,∵SAFC:SBCF=3:4,∴a+a:b+b=3:4,∴=.又∵a49409145095098340027+b=10,∴a=10×=,∴SACF=a+a=,∴SABC=×=.6.(分创新题型-阅读理解试题)于180°360°(如图①).因为凹四边形ABOC∠BOC=∠A+∠B+∠C,.模型应用(1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)拓展应用(2)如图③,在四边形中,BC=CD,∠=2∠BAD.(O是四边形内一点,且OA=OB=.求证:四边形是菱形.(1)解:在凹四边形ABOC中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α,在凹四边形中,∠D+∠E+∠F=∠DOE=α,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α;(2)证明:如解图,连接OC,∵OA=OB=,∴∠OAB=∠,∠OAD=∠,6∴∠=∠+∠ABO+∠ADO=2∠.∵∠=2∠,∴∠=∠.∵BC=,OA=OB=,OC是公共边,∴△OBC≌△(SSS),∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.∵∠=∠BOC+∠DOC,∠=∠BCO+∠DCO,1212∴∠BOC=∠,∠BCO=∠.又∵∠=∠,∴∠BOC=∠BCO,∴BO=BC.又∵OB=,BC=,∴OB=BC==DO,∴四边形是菱形7.30°角的直角三角板ABC的直角∠A放入△的内部,点E,F恰好为AB,AC的中点,若∠D=45°,∠DFE=56°,则∠的度数为()A.11°B.15°C.19°26°C.抽离模型:如解图,∵E,F分别是教辅资料AB,AC的中点,∴为△ABC的中位线,∥BC(三角形的中位线平行于第三边)∴∠AFE=∠C=30°.∵∠DFE=∠+∠AFE=56°,∴∠=∠DFE--∠AFE=56°-30=26°..:∠A=∠+∠D+∠,∴∠=∠A-∠D-∠=90°-45°-26°=19°8.如图,∠ABD,∠的10等分线分别相交于点G₁,G₂,⋯⋯,G₉,若∠BDC=125°,∠A=60°,则∠BG₆C的度数为.799°410∵∠BDC=∠ABD+∠+∠A).∠BDC=∠BG₆C+∠ABD+410410410∠ACD,∴∠BG6C=∠BDC-∠ABD+∠,∴∠BGC=∠BDC∠BDC-∠=6410125°-×125°-60°=125°-26°=99°.9.如图是可调躺椅示意图(数据如图)AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠=110°,则∠D应,10()度.△ABC中,∠ACB=180°-55°-60°=65°,∴∠=∠ACB=65°.∵∠DFE=∠D+∠E+∠),∴∠D=∠DFE-(∠E+∠)=110°-(30°+65°)=15°.∴25°-15°=10°.10.180°360°(如图①).因为凹四边形ABOC∠BOC=∠A+∠B+∠C,所以我们把这个模.模型应用(1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)(2)如图③,若∠的平分线与∠BOC的平分线交于点D,求证:2∠D=∠C-∠B.8(1)解:在凹四边形ABOC中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α,在凹四边形中,∠D+∠E+∠F=∠DOE=α,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α;(2)证明:由题意可知,平分∠BOC,AD平分∠,1212∴∠=∠BOC,∠=∠.∵在凹四边形中,∠=∠B+∠D+∠),1212∴∠BOC=∠B+∠D+∠,∴∠BOC=2∠B+2∠D+∠.又∵在凹四边形ABOC中,∠BOC=∠B+∠C+∠),∴∠B+∠C+∠=2∠B+2∠D+∠,∴2∠D=∠C-∠B.课后练习11.9(1)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；(2)BE平分∠ABDCE平分∠ACDBE与CE交于E(1)的结论写出∠BDC、∠BEC和∠1313(3)∠1=∠ABD∠2=∠ACD∠BDC∠BEC和∠三个角之间的关系为(直接写出结果即可)．(1)见解析(2)∠BDC+∠=2∠BEC(3)2∠BDC+∠=3∠BEC180°是解答此题的关键．(1)根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°∠+∠DCB+∠D=180°∠ABD+∠+∠DCB+∠+∠A=180°∠A+∠ABD+∠=180°-(180°-∠BDC)=∠BDC∠BDC=∠A+∠ABD+∠；(2)用题中给出的结论表示出∠BDC与∠BEC(3)利用题中给出的结论解答即可．(1)BC，在△中，∵∠+∠DCB+∠D=180°，∴∠+∠DCB=180°-∠BDC；在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABD+∠+∠DCB+∠+∠A=180°，而∠+∠DCB=180°-∠BDC，∴∠A+∠ABD+∠=180°-(180°-∠BDC)=∠BDC，10即∠BDC=∠A+∠ABD+∠．(2)∠BDC+∠=2∠BEC由题意得，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2①，∠BEC=∠+∠ABE+∠ACE②，∵BE平分∠ABDCE平分∠ACD，∴∠ABE=∠1∠ACE=∠2，①-②得，∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠，∴∠BDC+∠=2∠BEC；(3)2∠BDC+∠=3∠BEC1313∵∠1=∠ABD∠2=∠ACD，2323∴∠ABE=∠ABD∠ACE=∠ACD，2323∵∠BEC=∠+∠ABE+∠ACE=∠+∠ABD+∠①，∠BDC=∠+∠ABD+∠②，②+①得，5353∠BDC+∠BEC=2∠+∠ABD+∠ACD，∴3∠BDC+3∠BEC=6∠+5∠ABD+5∠ACD，∴3∠BDC+3∠BEC=∠+5∠+∠ABD+∠，∴3∠BDC+3∠BEC=∠+5∠BDC，∴2∠BDC+∠=3∠BEC．故答案为：2∠BDC+∠=3∠BEC．12.(2023·重庆·八年级专题练习)11(即如图1∠=∠A+∠B+∠C)理由如下：2接AB在△ABC中，∠C+∠CAB+∠=180°∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°∵在△ABD中，∠1+∠2+∠=180°∴∠=∠3+∠4+∠C∠=∠CAD+∠CBD+∠C．3接并延长至F∵∠1和∠3分别是△和△的一个外角，......任务：(1)；(2)(3)4AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G∠=150°∠AGB=110°∠C的大小．(1)三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°)(2)见解析；(3)70°(1)(2)根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A∠3=∠4+∠B∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B(3)由(2)可得：∠=∠CAD+∠CBD+∠C∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C∠CAD+∠CBD=150°-∠C由AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD150°-∠C=2(110°-∠C)(1)(或三角形的内角和等于180°)(2)并延长至F，∵∠1和∠2分别是△和△的一个外角，∴∠1=∠2+∠A∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B∠=∠A+∠B+∠ACB；(3)(2)得：∠=∠CAD+∠CBD+∠C∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，12∵∠=150°∠AGB=110°∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，∴∠CAD=2∠CAE∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2(∠CAE+∠CBF)∴150°-∠C=2(110°-∠C)∠C=70°．13.(2023·湖北·八年级专题练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°么∠F的度数是()．A.72°B.70°C.65°60°BBE交CF的延长线于O接AO∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠∠DFO∠DFC的度数．BE交CF的延长线于O接AO∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠=107°,∵∠BED=72°,∴∠=180°-∠BED=108°,∴∠DFO=360°-∠D-∠-∠=360°-35°-108°-107°=110°,∴∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故选：B．13180°(n-2)．14.(2023·江苏南京·七年级校联考期末)互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．ABCD是三角形ABCBDCD∠BDC与∠A∠1，∠2之间的关系．(1)请你在横线上补全小明的探究过程：∵∠BDC+∠+∠=180°()∴∠BDC=180°-∠-∠BCD(等式性质)∵∠A+∠1+∠2+∠+∠=180°，∴∠A+∠1+∠2=180°-∠-∠BCD，∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．()(2)请你按照小丽的思路完成探究过程；(3)中，∠BDC=135°∠B=∠C=25°∠A=；中，∠ABD与∠的角平分线交于点E∠A=60°∠BDC=140°∠E=∠ABD∠的十等分线相交于点、FF⋯F∠BDC=120°，129∠BF3C=64°∠A的度数为；④如图④，∠∠BDC的角平分线交于点E∠B∠C与∠E之间的数量关系是；⑤如图⑤，∠ABD∠的角平分线交于点E∠C=40°∠BDC=140°∠AEB的度数．(1)三角形内角和180°(2)见解析；(3)①∠A=85°∠E=100°∠A=40°∠B-∠C=2∠E130°(1)14(2)BD交AC于E∠BEC=∠A+∠1∠BDC=∠BEC+∠2∠BDC与∠A∠1∠2之间的关系；(3)①连接BC(1)BC(1)∠ABD+∠∠+∠DCB∠EBD+∠的和，进而求得∠EBC+∠ECB=80°∠E+∠EBC+∠ECB=180°③连接BC∠+∠DCB=180°-∠BDC=60°得到∠CBF+∠BCF=180°-∠BFC=116°∠ABD+∠(1)中结论即可333求解；④设BD与AE的交点为点O∠BOE∠+∠ABD=∠E+∠⑤根据(1)∠+∠ABD∠+∠ABE后利用三角形内角和性质即可求解．(1)∵∠BDC+∠+∠=180°(三角形内角和180°)∴∠BDC=180°-∠-∠BCD(等式性质)∵∠A+∠1+∠2+∠+∠=180°∴∠A+∠1+∠2=180°-∠-∠BCD，∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．(等量代换)180°(2)BD交AC于E，，，由三角形外角性质可知，∠BEC=∠A+∠1∠BDC=∠BEC+∠2∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．(3)BC据(1)∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∴∠A=∠BDC-∠ABD-∠=135°-25°-25°=85°∴∠A=85°；BC，根据(1)∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD∴∠ABD+∠=∠BDC-∠A=140°-60°=80°，1212∵∠ABD与∠的角平分线交于点E∴∠EBD=∠ABD∠=∠,121212∴∠EBD+∠=∠ABD+∠=∠ABD+∠=40°，∵∠BDC=140°∠BDC+∠+∠DCB=180°，∴∠+∠DCB=180°-∠BDC=40°∴∠EBC+∠ECB=80°，∵∠E+∠EBC+∠ECB=180°∴∠E=100°；15BC，，根据(1)∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∵∠BDC=120°∠BDC+∠+∠DCB=180°∴∠+∠DCB=180°-∠BDC=60°，710710∵∠ABD与∠的十等分线交于点F∴∠=∠ABD∠DCF3=∠,33710710710∴∠+∠DCF=∠ABD+∠=∠ABD+∠，33710∴∠CBF+∠BCF=∠EBF+∠ECF+∠+∠DCB=∠ABD+∠+60°，3333∵∠CB