2024年初中数学《角度计算的经典模型》及答案解析

角度计算的经典模型(八大题型)0102A038040506070801∠B=∠D=∠ACE=90°.∠=∠DCE∠ACB=∠CED.1.ADBE为△ABC的高，ADBE相交于H点，∠C=50°∠BHD．2.△ABC中，∠=80°∠B=60°AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．3.△ABC中，AD⊥BCDE是AC边上一点，BE与AD交于点F∠ABC=45°，∠=75°∠BFD=60°∠BEC的度数．102A图11中三种情况∠1=∠2图2∠1+∠2=∠3+∠4∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3∠1+∠2=180°+∠A∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：2(1)如图1知△ABC为直角三角形，∠A=90°∠A∠1+∠2=．(2)如图2知△ABC中，∠A=40°去∠A∠1+∠2=(3)如图2据(1)与(2)∠1+∠2与∠A的关系是．．(4)如图3∠A3∠1+∠2与∠A5.△ABC中，BD平分∠ABC∥BC交AB于点E．若∠A=70°∠BDC=100°∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°150°6.AD∥∠CAD+∠=180°．(1)证明：AC∥；(2)若AC平分∠BAD∠ADC=35°∠=∠+45°．求∠G的度数．7.在△ABC∠A=80°∠C=30°△沿进行不同的折叠得△C夹角进行探究：3(1)如图(1)把△沿折叠在四边形∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△沿折叠覆盖∠A求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△沿∠1∠2∠C的关系．038AEBD相交于点C∠A+∠B=∠D+∠E.8.(1)(1)8∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图(2)APCP分别平分∠BAD∠BCD∠ABC=36°∠ADC=16°．求∠P的度数．(3)如图(3)线AP平分∠BADCP平分∠的外角∠BCE想∠P与∠B∠D的数量关系是；(4)如图(4)线AP平分∠的外角∠CP平分∠的外角∠BCE想∠P与∠B∠D的数量关系是．9.如图，∠1=60°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()4A.240°B.280°C.360°540°10.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．11.AB∥,∠B=∠D与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°AE平分∠BAD∠DFE的度数．12.FE∥OC,AC和BD相交于点OF是∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°∠的度数．13.如图，BP平分∠ABC于点FDP平分∠ADC交AB于点EAB与相交于点G∠A=42°．(1)若∠ADC=60°∠AEP的度数；(2)若∠C=38°∠P的度数．045图1图2图3ABPC如图1所示∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.(1)(1)(1∠BDC与∠A∠B∠C(2)①如图(2)XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XYXZ恰好经过点BC∠A=40°∠ABX+∠ACX=°．②如图(3)DC平分∠EC平分∠AEB∠E=40°∠=130°∠DCE的度数．15.∠A=90°∠B=32°∠C=21°∠=148°16.①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC617.如图，△ABC中，∠A=30°D为CB延长线上的一点，⊥AB于点E∠D=40°∠C为()A.20°B.15°C.30°25°18.E在BC上，ED⊥AC于F的延长线于D∠D=30°∠C=20°∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°50°19.△ABC中，∠A=40°△ABC过点B,CD落在△ABC∠ABD+∠=()．A.90°B.60°C.50°40°20.∠EOC=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．70521.如图1和图2ABC中DE分别在边ACABA落在点A'的位置．(1)如图1点A′落在边上时，∠E与∠1之间的数量关系为(只填序号)①∠E=∠1②∠E=2∠1③∠1=2∠E(2)如图2点A落在△ABC∠E与∠1∠2之间的数量关系．22.△ABC中，∠C=40°△ABC沿着直线lC落在点D∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°140°23.将纸片△ABC沿折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形的内部(如图1)∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形的BE1中的∠1变为0°∠A′与∠2之间的关系是．(3)如果A′落在四边形的外部(如图2)∠A′与∠1∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．068双内角平分线模型BPCP分别为∠ABC∠ACB的角平分线.12∠P=90°+∠A.24.如图1AB分别在射线上运动(不与点O重合)ACBC分别是∠和∠ABO的角平分线，BC延长线交于点G．(1)若∠=60°∠ACG=(直接写出答案)(2)若∠=n°出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2∠=80°点C作CF∥OA交AB于点F∠BGO与∠ACF的数量关系．25.如图，BE平分∠ABDCF平分∠ACDBE与CF交于点G∠BDC=140°∠BGC=100°∠A=()A.80°B.75°C.60°45°26.△ABC∠A=70°∠ABC∠ACB的平分线OBOC相交于点O∠BOC的度数为．927.△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．(1)若∠ABC+∠ACB=130°∠BPC的度数．(2)当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A？07双外角平分线模型BPCP分别为∠EBC∠BCF的角平分线.12∠P=90°-∠A.28.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°∠BPC的度数；10(2)△ABC外角∠MBC∠NCB的角平分线交于点Q∠Q∠A之间的数量关系．(3)BPQC交于点E△BQE3∠A的度数．29.△ABC中，∠B=58°E∠AEC=．30.如图，△ABC两个外角∠CBD∠BCE的平分线相交于点O∠A=40°∠BOC的度数．31.△ABC中，BOCO分别平分∠ABC∠ACBBO的延长线交外角∠的角平分线于点E．∠1=2∠2∠BOC=3∠2∠BOC=90°+∠2∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．32.△ABC中，∠A=α∠ABC与∠的平分线交于点A∠A∠ABC与∠A的平分线1111相交于点AA⋯∠A2019BC与∠A2019的平分线相交于点A2020∠A2020∠A2020=．2233.(1)如图1BM平分∠ABCCM平分外角∠ACD∠A=80°∠M=°．(2)已知为四边形，E为边AB2∠ADC=110°∠=120°∠B和11∠CBE的平分线交于点F∠F=°．(3)已知为四边形，E为边AB3∠ADC=α∠=βα+β>180°，∠B和∠CBE的平分线交于点F∠F与αβ(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°∠B和∠CBE线所在的直线交于点F么∠F与αβ又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)12角度计算的经典模型(八大题型)0102A038040506070801∠B=∠D=∠ACE=90°.∠=∠DCE∠ACB=∠CED.1.ADBE为△ABC的高，ADBE相交于H点，∠C=50°∠BHD．∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C=90°，∴∠BHD=∠C，∵∠C=50°，∴∠BHD=50°．2.△ABC中，∠=80°∠B=60°AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．1110°先根据三角形的内角和定理得到∠ACB∠形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．∵在△ABC中，∠=80°∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠CAB=∠B=180°-80°-60°=40°，∵CF是∠ACB的平分线，1212∴∠=∠=×40°=20°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠AEC=∠ADC+∠=90°+20°=110°．3.△ABC中，AD⊥BCDE是AC边上一点，BE与AD交于点F∠ABC=45°，∠=75°∠BFD=60°∠BEC的度数．90°∠C∠案．∵∠ABC=45°,∠=75°，∴∠C=180°-45°-75°=60°．∵AD⊥BC，∴∠=90°．∵∠BFD=60°，∴∠=90°-60°=30°，∴∠BEC=180°-∠EBC-∠C=180°-60°-30°=90°．02A2图11中三种情况∠1=∠2图2∠1+∠2=∠3+∠4∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3∠1+∠2=180°+∠A∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1知△ABC为直角三角形，∠A=90°∠A∠1+∠2=270°．(2)如图2知△ABC中，∠A=40°去∠A∠1+∠2=220°．(3)如图2据(1)与(2)∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．(4)如图3∠A3∠1+∠2与∠A3(1)∵四边形的内角和为360°90°∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是：220°；(3)∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；故答案为：180°+∠A；(4)∵△是由△折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE∠=∠∴∠1=180°-2∠AFE∠2=180°-2∠∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A．5.△ABC中，BD平分∠ABC∥BC交AB于点E．若∠A=70°∠BDC=100°∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°150°A∠EBD∠角形内角和定理即可解决问题．∵∠A+∠ABD=∠BDC∠A=70°∠BDC=100°，∴∠ABD=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，又∵∥BC，∴∠=∠CBD=30°，∴∠BED=180°-∠ABD-∠=120°．故选：A．6.AD∥∠CAD+∠=180°．4(1)证明：AC∥；(2)若AC平分∠BAD∠ADC=35°∠=∠+45°．求∠G的度数．(1)见解析(2)∠G=50°握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠+∠ADG=180°,由∠CAD+∠=180°可得∠CAD=∠ADG,即可证明；(2)首先利用已知条件可以去求出∠=∠=50°∠BDG,解答即可．(1)证明：∵AD∥，∴∠+∠ADG=180°．∵∠CAD+∠=180°．∴∠CAD=∠ADG．∴AC∥；(2)解：∵AC是∠AC∥，∴∠=∠CAD∠CAD=∠，∴∠=∠，∵∠=∠+45°∠=∠B+∠，∴∠B=45°，∵∠ADC=35°，∴∠=180°-∠B-∠ADC=180°-45°-35°=100°．∵AC是∠的平分线，12∴∠CAD=∠=∠=50°，∴∠G=∠-∠=100°-50°=50°．7.在△ABC∠A=80°∠C=30°△沿进行不同的折叠得△C夹角进行探究：5(1)如图(1)把△沿折叠在四边形∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△沿折叠覆盖∠A求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△沿∠1∠2∠C的关系．(1)60°(2)50°(3)∠2-∠1=2∠C(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠∠2=180°-2∠CED求出答案；(2)连接DG∠ADG+∠AGD(3)将∠2看作180°-2∠CED∠1看作2∠-180°(1)∠CDC=2∠∠CEC=2∠CED，∵∠C=30°，∴∠1+∠2=180°-2∠+180°-2∠CED=360°-2∠+∠CED=360°-2180°-∠C=2∠C=60°；(2)DG，由折叠性质可知：∠C=∠C=30°，∵∠A=80°，∴∠1+∠2=180°-∠C-∠ADG+∠AGD=180°-30°-180°-80°=50°；(3)解：∠2-∠1=180°038AEBD相交于点C6∠A+∠B=∠D+∠E.8.(1)(1)8∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图(2)APCP分别平分∠BAD∠BCD∠ABC=36°∠ADC=16°．求∠P的度数．(3)如图(3)线AP平分∠BADCP平分∠的外角∠BCE想∠P与∠B∠D的数量关系是；(4)如图(4)线AP平分∠的外角∠CP平分∠的外角∠BCE想∠P与∠B∠D的数量关系是．(1)见解析；(2)26°；1(3)∠P=90°+∠B+∠D；21(4)∠P=180°-∠B+∠D2(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC(2)设∠=∠=x∠BCP=∠=y，解方程即可得到答案；(3)根据直线AP平分∠BADCP平分∠的外角∠BCE1212∠=∠=∠BAD∠PCB=∠PCE=∠从而可以得到180°-2∠+∠PCB+∠D=∠B∠P+∠=∠+∠D∠+∠B=∠+∠D得到∠P-∠B=∠+∠PCB=∠+∠PCB即可求解；(4)连接PBPD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠=360°∠APC+∠ADC+∠+∠D=360°∠PCE+∠=180°∠B+∠F=180°∠=∠∠PCE=∠PCB(1)如图.∵∠A+∠B+∠AOB=180°∠C+∠D+∠=180°，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图.∵APCP分别平分∠BAD∠BCD∠=∠=x∠BCP=∠=y，7x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC则有，∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，1212∴∠P=∠ABC+∠ADC=36°+16°=26°(3)如图.∵直线AP平分∠BADCP平分∠的外角∠BCE，1212∴∠B=∠=∠BAD∠PCB=∠PCE=∠BCE，∴2∠+∠B=180°-2∠PCB+∠D，∴180°-2∠+∠PCB+∠D=∠B∵∠P+∠=∠+∠D∠+∠B=∠+∠D∴∠P+∠-∠-∠B=∠-∠∴∠P-∠B-∠B=∠PCB,∴∠P-∠B=∠+∠PCB∴180°-2∠P-∠B+∠D=∠B，12即∠P=90°+∠B+∠D．(4)连接PBPD∵直线AP平分∠的外角∠CP平分∠的外角∠BCE，∴∠=∠∠PCE=∠PCB，∵∠APB+∠+∠=180°∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠=360°同理得到：∠APC+∠ADC+∠+∠D=360°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠+∠+∠=720°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠+∠+∠=720°∵∠PCE+∠=180°∠+∠=180°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，12∴∠APC=180°-∠ABC+∠ADC解．9.如图，∠1=60°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()A.240°B.280°C.360°540°A∠B与∠C∠1可．∠3=∠A+∠E∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°∠1=60°，8∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．10.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．900°GI图∵6边形的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．11.AB∥,∠B=∠D与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°AE平分∠BAD∠DFE的度数．(1)见解析；(2)115°．(1)AB∥CD∠B=∠DCE出∠D=∠DCE(2)平行线的性质求出∠∠E=65°(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，9∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，(2)∵AD∥BC，∴∠=180°-∠B=180°-50°=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠E=65°，∵∠D=∠B=50°，∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．12.FE∥OC,AC和BD相交于点OF是∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°∠的度数．(1)见解析(2)95°(1)根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C(2)根据平行线的性质求出∠D(1)证明：∵FE∥OC，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB∥DC；(2)解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，∵∠B=30°，∴∠D=30°，∵∠是△的外角，∴∠=∠D+∠2，∵∠1=65°，∴∠=30°+65°=95°．13.如图，BP平分∠ABC于点FDP平分∠ADC交AB于点EAB与相交于点G∠A=42°．10(1)若∠ADC=60°∠AEP的度数；(2)若∠C=38°∠P的度数．(1)72°(2)40°．12(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠ADC(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF∠CBP=∠PBA∠A+∠ADP=∠P+∠ABP∠C+∠CBP=∠P+∠PDF∠A+∠C=2∠P(1)∵DP平分∠ADC，12∴∠ADP=∠PDF=∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABCDP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°∠C=38°，12∴∠P=(38°+42°)=40°．8等式是解题的关键．04图1图2图3ABPC如图1所示∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.(1)11(1)(1∠BDC与∠A∠B∠C(2)①如图(2)XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XYXZ恰好经过点BC∠A=40°∠ABX+∠ACX=50°．②如图(3)DC平分∠EC平分∠AEB∠E=40°∠=130°∠DCE的度数．(1)如图(1)∠BDC=∠+∠B+∠C过点AD作射线AF，∵∠FDC=∠+∠C∠BDF=∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF=∠+∠+∠C+∠B，即∠BDC=∠+∠B+∠C；(2)①如图(2)∵∠X=90°，由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°，∵∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=50°，故答案为：50；②如图(3)∵∠A=40°∠=130°，∴∠+∠AEB=130°-40°=90°，∵DC平分∠EC平分∠AEB，1212∴∠ADC=∠∠AEC=∠AEB，12∴∠ADC+∠AEC=∠+∠AEB=45°，∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°．15.∠A=90°∠B=32°∠C=21°∠=148°12延长交AB于E，∵∠A=90°∠C=21°，∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°，∵∠B=32°，∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°．又∵∠BDC=148°，∴这个零件不合格．16.①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BCBD交AC于E∠BDC>∠∠>∠A∠BDC>∠A；②由∠BDC=∠C+∠∠=∠A+∠B∠BDC=∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)，17.如图，△ABC中，∠A=30°D为CB延长线上的一点，⊥AB于点E∠D=40°∠C为()13A.20°B.15°C.30°25°A∵⊥AB，∴∠=90°，∵∠D=40°，∴∠ABD=180°-∠D-∠=50°，∵∠ABD=∠A+∠C∠A=30°，∴∠C=∠ABD-∠A=50°-30°=20°．故选：A．18.E在BC上，ED⊥AC于F的延长线于D∠D=30°∠C=20°∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°50°C∵ED⊥AC∠D=30°∠C=20°，又∵∠=∠B+∠D，∴∠C+∠=∠C+∠D+∠B=90°，∴∠B=40°．故选：C．19.△ABC中，∠A=40°△ABC过点B,CD落在△ABC∠ABD+∠=()．A.90°B.60°C.50°40°C∠ABC+∠ACB+∠A=180°∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°明∠+∠DCB=90°14∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△中，∠BDC=90°∴∠+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠=40°-90°=50°故选C．20.∠EOC=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．230°∠EOC=∠E+∠2=115°∠2=∠D+∠C∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B∵∠EOC=∠E+∠2=115°∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．质．0521.如图1和图2ABC中DE分别在边ACABA落在点A'的位置．(1)如图1点A′落在边上时，∠E与∠1之间的数量关系为③(只填序号)①∠E=∠1②∠E=2∠1③∠1=2∠E(2)如图2点A落在△ABC∠E与∠1∠2之间的数量关系．15(1)(2)∠1+∠2=2∠．(1)由题意得：∠=∠′E．∵∠1=∠EAD+∠EA′D=2∠．(2)∠1+∠2=2∠如图2AA′．由题意知：∠EAD=∠EA′D．∵∠1=∠A′AE+∠AA′E∠2=∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD．22.△ABC中，∠C=40°△ABC沿着直线lC落在点D∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°140°B∠D=∠C=40°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1-∠2=80°．故选：B．23.将纸片△ABC沿折叠使点A落在A′处的位置．16(1)如果A′落在四边形的内部(如图1)∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形的BE1中的∠1变为0°∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．(3)如果A′落在四边形的外部(如图2)∠A′与∠1∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．(1)图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED∠=∠A′，∵∠AED+∠=180°-∠A∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠)，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A；(2)2∠A=∠2∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；(3)如图22∠A=∠2-∠1，理由是：∵延折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2-∠1．0617双内角平分线模型BPCP分别为∠ABC∠ACB的角平分线.12∠P=90°+∠A.24.如图1AB分别在射线上运动(不与点O重合)ACBC分别是∠和∠ABO的角平分线，BC延长线交于点G．(1)若∠=60°∠ACG=(直接写出答案)(2)若∠=n°出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2∠=80°点C作CF∥OA交AB于点F∠BGO与∠ACF的数量关系．12(1)60°(2)90°-n°(3)∠BGO-∠ACF=50°(1)根据三角形内角和定理求出∠+∠ABO答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG(2)的结论解答．(1)∵∠=60°，∴∠+∠ABO=120°，∵ACBC分别是∠和∠ABO的角平分线，1212∴∠=∠ABO∠CAB=∠BAO，12∴∠+∠CAB=(∠ABO+∠)=60°，∴∠ACG=∠+∠CAB=60°，故答案为：60°；(2)∵∠=n°，∴∠+∠ABO=180°-n°，∵ACBC分别是∠和∠ABO的角平分线，1212∴∠=∠ABO∠CAB=∠BAO，181212∴∠+∠CAB=(∠ABO+∠)=90°-n°，12∴∠ACG=∠+∠CAB=90°-n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，12由(2)得：∠ACG=90°-×80°=50°．∴∠BGO-∠ACF=50°．题的关键．25.如图，BE平分∠ABDCF平分∠ACDBE与CF交于点G∠BDC=140°∠BGC=100°∠A=()A.80°B.75°C.60°45°CBC,先求解∠+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠,再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠,从而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.BC,∵∠BDC=140°,∴∠+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠=∠GBC+∠GCB-∠-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABDCF平分∠ACD，∴∠ABD+∠=2(∠GBD+∠)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠+∠+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.相关的角的大小是解题的关键.26.△ABC∠A=70°∠ABC∠ACB的平分线OBOC相交于点O∠BOC的度数为．19125°∠ABC+∠ACB∠OBC+∠OCB利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO,CO相交于点O，1212∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=×110°=55°，在△BOC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°，故答案为:125°..27.△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．(1)若∠ABC+∠ACB=130°∠BPC的度数．(2)当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A？(1)115°(2)∠A=36°(1)∠PBC∠PCB∠BPC；(2)根据(1)的方法求得∠BPC∠BPC=3∠A∠A．(1)∵PB平分∠ABCPC平分∠ACB，1212∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=130°，12∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=65°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115°，(2)∵PB平分∠ABCPC平分∠ACB，1212∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB，2012∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，12∴∠PBC+∠PCB=90°-∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)12=180°-90°-∠A1=90°+∠A2∵∠BPC=3∠A1∴3∠A=90°+∠A，2∴∠A=36°．07双外角平分线模型BPCP分别为∠EBC∠BCF的角平分线.12∠P=90°-∠A.28.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°∠BPC的度数；(2)△ABC外角∠MBC∠NCB的角平分线交于点Q∠Q∠A之间的数量关系．(3)BPQC交于点E△BQE3∠A的度数．(1)125°1(2)∠Q=90°-∠A221(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°(1)在△ABC∠ABC+∠ACB=110°1212∠PBC=∠ABC∠PCB=∠ACB∠PBC+∠PCB=55°在△BPC求出即可；(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A∠NCB=∠ABC+∠A∠MBC+∠NCB=1212∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠AQBC=∠MBC∠QCB=∠NCB，12求出∠QBC+∠QCB=90°+∠A(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠BCF∠ABC=2∠EBC∠ECF=∠EBC+∠E∠A=2∠E出∠EBQ=90°∠EBQ=3∠E=90°∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E∠E=3∠Q(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，1212∴∠PBC=∠ABC∠PCB=∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=55°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=125°；(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A∠NCB=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，1212∴∠QBC=∠MBC∠QCB=∠NCB，121212∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)=(180°+∠A)=90°+∠A，1212∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-90°+∠A=90°-∠A；(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠BC+2∠E，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，1即∠E=∠A，2∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ121212==∠ABC+∠MBC(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°，22如果△BQE3①∠EBQ=3∠E=90°∠E=30°∠A=2∠E=60°；②∠EBQ=3∠Q∠Q=30°∠E=60°∠A=2∠E=120°；③∠Q=3∠E∠E=22.5°∠A=2∠E=45°；④∠E=3∠Q∠E=67.5°∠A=2∠E=135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．分类讨论思想是解题的关键．29.△ABC中，∠B=58°E∠AEC=．61°∠C+∠ACF∠EAC+∠ECA∵∠B+∠+∠BCA=180°∠B=58°，∴∠+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠+∠C=180°∠BCA+∠ACF=180°，∴∠C+∠ACF=360°-(∠+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠CE平分∠ACF，1212∴∠EAC=∠∠ECA=∠ACF，12∴∠EAC+∠ECA=(∠+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．的定义是解答的关键．30.如图，△ABC两个外角∠CBD∠BCE的平分线相交于点O∠A=40°∠BOC的度数．∵∠CBD∠BCE的平分线相交于点O，1212∴∠OBC=(∠A+∠ACB)∠OCB=(∠A+∠ABC)，2312∴∠OBC+∠OCB=(∠A+∠ACB+∠ABC+∠A)，∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，1∴∠OBC+∠OCB=90°+∠A，21212在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A，∵∠A=40°，12∴∠BOC=90°-×40°=90°-20°=70°．08内外角平分线模型BPCP分别为∠ABC∠ACE的角平分线1∠P=∠A212(1)如图1△ABC中，BP平分∠ABCCP平分∠ACB∠P=90°+∠A；(2)如图2△ABC中，BP平分∠ABCCP平分外角∠ACE∠P和∠A结论．(1)证明过程见解答；1(2)∠P=∠A．2(1)证明：∵A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵BP平分∠ABCCP平分∠ACB，1212∴∠PCB=∠ACB∠PBC=∠ABC，∴∠P=180°-(∠PCB+∠PBC)121=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(180°-∠A)21=90°+∠A；2241(2)猜想：∠P=∠A2证明：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∵∠PCE=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PCE-∠PBC，又∵BP平分∠ABCCP平分∠ACE，1212∴∠PBC=∠ABC∠PCE=∠ACE，112∴∠P=∠ACE-∠ABC21212==(∠ACE-∠ABC)∠A．31.△ABC中，BOCO分别平分∠ABC∠ACBBO的延长线交外角∠的角平分线于点E．∠1=2∠2∠BOC=3∠2∠BOC=90°+∠2∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．/③①∠1=2∠