2025年九年级数学中考复习专题二 方程(组)与不等式(组)

2025年中考复习专题二方程(组)与不等式(组)A诊断练考点1一次方程(组)1.今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是()A.(1+4.7%)x=120327B.(1-4.7%)x=120327C.D.2.某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为()A.8箱B.9箱C.10箱D.11箱3.解方程组:x+2y=3,考点2分式方程4.方程12x+3+15.为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾?考点3一元二次方程6.一元二次方程x²−2x=0的解是()A.x₁=3,x₂=1B.x₁=2,x₂=0C.x₁=3,x₂=−2D.x₁=−2,x₂=−17.若一元二次方程2x²−4x-1=0的两根为m,n,则3m²−4m+n²的值为8.已知x₁,x₂是关于x的方程x²−2kx+k²−k+1=0的两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)若k<5,且k,x₁,x₂都是整数，求k的值.考点4一元二次方程的实际应用9.如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为()A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m10.重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为.考点5不等式(组)11.若a<b,则()A.a+3>b+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<2b12.不等式组3x−2<2x+1,x≥213.为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生?(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩?B考点突破练考点6一次方程(组)基础考向1解一次方程(组)1.关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值为()A.3B.-3C.7D.-72.下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是()A.x=1,y=2C.x=0.5,y=33.方程组3x+y=5,x+3y=7的解为考向2一次方程(组)的实际应用4.《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩?设出租的田有x亩，可列方程为()A.x3+C.3x+4x+5x=1D.3x+4x+5x=1005.文具店销售某种笔袋，每个售价为18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个笔袋就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付了()A.540元B.522元C.486元D.469元《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何?”意思是用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为()A.y−x=4.5,x−0.5y=1C.x+y=4.5,x−y=17.待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平.石青加热分解的化学方程式为xCuCO3⋅yCu8.以下是圆圆解方程x+13解:去分母,得2(x+1)-3(x-3)=1.去括号,得2x+2-3x-6=1.移项，合并同类项，得x=5.圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误，写出正确的解答过程.提升1.在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务：他们试图将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图形中.如图，这个图形的魅力在于它的6条边上的4个数字之和相等.部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定a的值为()A.9B.7C.6D.42.为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.

3.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃，流速为20mL/s;开水的温度为100℃,流速为15mL/s.整个接水的过程不计热量损失.物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度.(1)甲同学用空杯先接了6s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水mL；(2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水,得到一杯280mL且温度为40℃的水(不计热量损失)，求乙同学分别接温水和开水的时间.4.国家“双减”政策实施后，某O视频精讲班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案()A.5B.4C.3D.2考点7分式方程基础考向1解分式方程检测区检测区1.将方程1x−1A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)=-3xC.x-1+3=-3xD.1+3(x-1)=3x2.分式方程1x−2=33.解方程:34.小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚，该分式方程为?(1)若把这个数“?”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“?”代表的数是多少.考向2分式方程的实际应用5.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为()A.200B.300C.400D.5006.某工厂接到加工600件衣服的订单，计划每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天多做x件才能提前3天交货，依题意列方程为.7.某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度.若关于x的方程1x+1提升1.已知x=1是方程m2−x−1检测区突破区A.-2B.2C.-4D.42.某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkm/h，根据题意可列方程()A.201.2x−C.201.2x−3.已知关于x的方程x+bx=a+ba的解是x₁=a,x₂=b4.若分式方程xx−1=3−mx5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.甲工程队施工一天需付工程款1.5万元，乙工程队施工一天需付工程款1.1万元.根据甲、乙两队的投标书测算，现有三种施工方案：方案A：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；方案B：乙队单独完成这项工程，比规定的工期多用5天；方案C：甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独完成，刚好如期完成.求规定的工期是多少天.(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?6.某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务.(1)完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，求完成第一项任务实际需要多少天.(2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中a≠b).甲方案：计划180辆按每天生产a辆完成，剩下的180辆按每天生产b辆完成，完成生产任务所需的时间为t₁天.乙方案：完成生产任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆.请比较t₁，t₂的大小，并说明理由.考点8一元二次方程基础考向1一元二次方程的概念及根的意义1.下列方程是一元二次方程的是()A.x2−C.(x+3)(2x-5)=0D.x³+x+1=02.若x=3是关于x的方程ax²−bx=6的解,则2023-6a+2b的值为.考向2解一元二次方程3.用配方法解方程.x²−4x-1=0时，配方后正确的是()A.x+2²=3C.x−2²=54.方程2x(x-3)+5(3-x)=3-x的根是()A.x=2B.x=3C.x₁=3,x₂=2D.x₁=−2,x₂=35.解方程:x²−2x=3.考向3一元二次方程根的判别式6.一元二次方程x²−5x+2=0根的判别式的值是()A.33B.23C.17D177.若关于x的一元二次方程x²−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为()A.-9B.−94C8.若一元二次方程x²−2x+c=0无实数根，则实数c的取值范围为.考向4一元二次方程根与系数的关系9.已知x₁,x₂是一元二次方程x²−3x−5=0的两个实数根，则x₁−x₂²+3x₁x₂的值是10.关于x的一元二次方程x²+2x+3−k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k²=αβ+3k,求k的值.11.关于x的一元二次方程m−2x²+4x+2=0A.m≤4B.m≥4C.m≥-4且m≠2D.m≤4且m≠2提升1.关于x的一元二次方程x²+bx+c=0有两个相等的实数根，则b²-2(1+2c)=()A.-2B.2C.-4D.42.对于实数a,b定义运算“⊗”为(a⊗b=b²−ab,例如:3⊗2=2²−3×2=−2,则关于x的方程(k-3)⊗x=k-1的根的情况，下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定3.已知一元二次方程x²+ax+b=0有两个实数根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a，b的值：.4.已知x₁,x₂是方程x²−x−2024=0的两个实数根，则代数式x13−20245.已知关于x的一元二次方程x²−ax+a−1=0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值.6.已知关于x的一元二次方程x²−(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x₁,x₂,且x12+7.阅读材料：已知方程x²+2x−1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设已知方程的其中一个根为x，所求方程是x的2倍的根为y，则y=2x，所以x=把x=y2代入已知方程，得化简，得y²+4y−4=0,故所求方程为y²+4y−4=0.这种求新方程的方法，我们称为“换元法”.根据材料解决问题：(1)已知方程x²−x−3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为(化为最简形式)；(2)方程ax²+bx+c=0a≠0c≠0b²−4ac≥0(3)已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0,c≠0)的两个实数根分别为1和−12，求关于γ的一元二次方程(考点9一元二次方程的实际应用基础考向1增长率问题1.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是()A.801−x²=60C.80(1-x)=60D.80(1-2x)=60考向2销售利润问题2.香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”.某网店平均每月可以销售120件香云纱连衣裙，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，那么每件应降价元.考向3面积问题3.小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为200cm，宽为100cm，正中央是一个与整个画轴的长、宽比例相同的矩形.如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积925考向4其他问题4.毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是()A.40B.30C.29D.395.读一读下面的诗词：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符.诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为.6.如图是某年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题：(1)若矩形方框中最大数与最小数的乘积为180,求最小数;(2)矩形方框中最大数与最小数的乘积与这4个数的和能为124吗?若能，求最小数；若不能，请说明理由.7.某市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式(所有参加比赛的队均能相遇一次)，共进行了45场比赛，则共有队参加比赛.提升1.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m²的羊圈?(2)羊圈的面积能达到650m²吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.2.如图，在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,动点P,Q分别以3cm/s,2cm/s的速度从点A,C同时出发，沿规定路线移动.(1)如图(1),若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm?(2)如图(2),若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm².3.综合与实践主题：如何利用闲置的长方形硬纸板制作收纳盒，收纳玩具.素材:一张长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板，如图(1).目标：(1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，如图(2)，然后把硬纸板沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒.若该无盖收纳盒的底面积为1216cm²，求剪去的小正方形的边长.(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图(3)所示.若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的底面积为702cm²，一个玩具机械狗的尺寸大小如图(4)所示，请通过计算判断该玩具机械狗能否被完全放入该收纳盒.考点8不等式(组)基础考向1不等式的性质1.已知a-1>0,则下列结论正确的是()A.-1<-a<a<1B.-a<-1<1<aC.-a<-1<a<1D.-1<-a<1<a2.如果a>b，那么下列运算正确的是()A.a-3<b-3B.a+3<b+3C.3a<3bD.考向2解不等式(组)3.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是()4.关于x的不等式组x−2>0,x−m≤1无解,则实数m的取值范围是5.解不等式组2x+1≤3,①(1)解不等式①,得;(2)解不等式②,得;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为.6.规定：相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数.例如：(1)a=,b=(用含x的代数式表示)；(2)若m>-2,求x的最小整数值.考向3不等式(组)的实际应用7.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折.8.解不等式组1−下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得，4-2(2x-1)>3x-1,…第1步4-4x+2>3x-1,…第2步-4x-3x>-1-4-2,-7x>-7,…第3步x>1,…第4步任务一：该同学的解答过程第步出现了错误，错误原因是，不等式①的正确解集是；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集.提升1.已知实数a，b满足b=-a+2,-1<2a-b<1,.则下列结论不正确的是()诊断区检测区突破区诊断区检测区突破区A.13<a<1C.a-b<0D.2.若关于x的不等式组2x−1<5,x<m+1A.m>2B.m≥2C.m<2D.m≤23.已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=5a,x+4y=a+3满足x-y>0,则a的取值范围是4.关于x的不等式组4−2x≥0,12x−a>05.绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率.如图是绿波路段的一部分，该路段限速60千米/时，A，B间的距离为1000米，路口B处绿灯时间为30秒，小车过路口A后，以36千米/时的速度匀速行驶1分钟后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯灭之前顺利通过B路口,则小车行驶速度v的取值范围为.6.解不等式：2−x37.某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵?8.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元,需付款610元)(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算?请说明理由.(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价.(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算?设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围.C检测验收练一、选择题(每小题5分，共25分)1.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何?”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两.牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是()A.5x+2y=10,2x+5y=8C.5x+5y=10,2x+5y=82.若关于x的一元二次方程a+2x