五年级奥数下册汇编

学习-----好资料第一讲不规则图形面积的计算(一)我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的名称图形周长公式面积公式长方形周长=2(a+b)面积=ab正方形周长=4a面积=a三角形周长=a+b+c面积平行四边形周长=2(a+b)面积=ah梯形周长=a+b+c+d菱形周长=4a圆周长=2πr扇形周长=2r+弧长实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。88更多精品文档更多精品文档更多精品文档66oo更多精品文档又,第二讲不规则图形面积的计算(二)更多精品文档第二讲不规则图形面积的计算(二)更多精品文档=13π-24=15(平方厘米)(取=3)。分析已知阴影(1)比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角更多精品文档=15(厘米)。=48-9(取π=3)=39(平方厘米)。求阴影部分的面积(取π=3).更多精品文档阴影W的面积=(正方形面积-4×圆面积)(取π=3)。直角三角形ACE,则ABCE为正方形(利用对称性质)。更多精品文档更多精品文档更多精品文档学习-----好资料七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图(1)中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合，从而构成如右图(2)的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴面积的一半就是所求阴影部分的面积。学习-----好资料十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”(SAUB=SA+SB-SA∩B)解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.第三讲巧求表面积第三讲巧求表面积我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积.如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么,长方体的表面积=(ab+ah+bh)×2.如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a².对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体，它们的表面积又如何求呢?涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向(有时只考虑上、左、前三个方向)的平面图形的面积的总和，有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(右图),求这个立体图形的表面积。侧面：5×5×4=100(平方分米);更多精品文档1121122×2×2=8(平方厘米);11112(平方厘米),平方厘米)。更多精品文档学习-----好资料例3把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积。上下面左右面前后面左面的面积为：8平方厘米，(9+8+10)×2=54(平方厘米)。学习-----好资料分析原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1×1=1(平方米),无论后来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，现在一共锯了：2+3+4=9(刀),一共得到18平方米的表面.因此，总的表面积为：6+(2+3+4)×2=24(平方米)。1×2=2(平方米)一共锯了：2+3+4=9(刀),得到：2×9=18(平方米)的表面。6+18=24(平方米)。1993×1×4+1×1×2=7974(平方厘米)。学习-----好资料成的这个大长方体的体积就已固定(3×4×5×12=720立方厘米).因为这个方厘米)=8(厘米)×9(厘米)×10(厘米),并且有5×2=10(厘米),4×2=8(厘米),3×3=9(厘米).拼成的大长方体的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、9厘米，这时长方体(10×9+10×8+9×8)×2=484(平方厘米)。第四讲最大公约数和最小公陪数得更多精品文档少?所以126=21×a×b,解出则因此，这两个数的和为21+126=147,或42+6更多精品文档承承或解出d=4,更多精品文档重<b,(a,b)=d,a=da,b=db₂,更多精品文档39=1×39=3×13,但是1+39=40≠18,3+13=16≠18,所以d≠3。20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1×20=4×5,虽然1+20=21≠9,但是有4+5=9,所以取d=6是合适的，并有a1=4,b1=5。由于(4,2×3)=2,2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。28,但是252-1=251≠4,63-4=59≠4,36-7=29≠4,28-9=19≠4,所以d≠2,而9-7=2,且(9,7)=1,所以d=2,并且a₁=9,b₁=7。更多精品文档学习-----好资料只假设了a<b),分别是由于：例2和例5,若a=b,则(a,b)=[a,b]=设a≤b.对于很多情形，可以排除a=b的情形(如上述所示),而只假设a<b.第五讲同余数的概念和性质第五讲同余的概念和性质问题1:今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几?这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1,所以1994年的元旦应该是星期六。问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。学习-----好资料同余式(*)意味着(我们假设a>b):我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数，而m是自然性质1:a=a(modm),(反身性)学习-----好资料性质3:若a=b(mod性)。(可加减性)。性质5:若a=b(mod性质6:若a=b(modm),那么an=bn(modm),(其中n为自然数)。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢?∵74-20=54,而37*54,小”,减少计算量。解：∵418=2(mod13),418×814×1616=2×8×4=6解法1:∵143=3(mod7)更多精品文档开始第一次第二次证明：∵N=aa-1…a₁a₀又∵1=1(mod9),=a₀+a₁+a₂+…+a,(mod9),更多精品文档学习-----好资料即N=M(mod9).例如，求1827496被9除的余数，只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求8,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4+6被9除的余数.因有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。因为5483=5+4+8+3=11=2(mod9),所以5483×9117=2×0=0(mod9)。但是49888511=4+9+8+8+8+5+1+1所以5483×9117≠49888511,即乘积不正确。例如，9875=9+8+7+5=2(mod9),但23372458=2+3+3+8=7(mod9)。而1≠7(mod9)更多精品文档第六讲不定方程解应用题第六讲不定方程解应用题如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。更多精品文档>y>z且10>x>y>z>1的;</PGN0187.TXT/PGN第一种情况，x=6>y>z,而y+z=17-6字和为23,而23显然不可能表示为{7,6,4}中任意三个(可以重复的，下同)数之和。而13(甲三次牌数字和)不能表示为{8,7,2}中任意三个数之和，23不能表示为{8,6,3}和{8,5,4}中任意三个数之和，故x=8亦被排除。第四种情况，x=9>y>z,y+z=17-9=8,观察知y=5,z=3.(可排除{9,7,1}和{9,6,2}.)行和甲553乙339丙995列和更多精品文档数，方程不变)仍适用.先将(1)(2)两边约去10,得更多精品文档试y值，使5y-1是3管子各有6根更多精品文档解出因此y<22.由于600=0(mod20),所以27y=0(mod20);但(27,20)=1,所以y=0(mod20)。更多精品文档z.但(3,5)=1,所以505852第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起更多精品文档t,=6,t₁=1,t₁/=36;t₂=2,t₂¹=1;。所以t⁰=t垢=6,;更多精品文档心心更多精品文档1248369;…………更多精品文档,利用(p+1)²有因子1和(p+1)²,因(1,4),(2,2).可有更多精品文档。和妨,必有一和和曲和曲所更多精品文档看习题)。(2项)(3项)(4项)(6项)更多精品文档(9项)更多精品文档和由(2,4)配出的更多精品文档一般同学都可“猜”当然还有那么请问是否只有两种方式?答；是.理由呢?因为由推广的抽屉原理，壬中壬中。大从而归于两种形式那么难度再增加一些，对不定方求整数大求整数解呢?那么还有第三种解吗?用推广的抽屉原理分析：分拆成两个部分，直的整数解只的整数解只时，(不妨设从而:种，所以第八讲时钟问题更多精品文档第八讲时钟问题分析3点时分针指12,时针指3.分针在时针后5×3=15(个)格.0解：(分钟)更多精品文档(分钟)。(分钟)。(分钟)。更多精品文档(分钟)。(分钟)。(分钟)。更多精品文档(分钟)所更多精品文档(分钟),所以小明开(分钟),所以小明结束解题时是7点38分(分钟)更多精品文档(分钟),更多精品文档。(分钟)。(分钟)。更多精品文档,,(旧钟格)。更多精品文档第九讲数学游戏abCdefghi更多精品文档学习-----好资料要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b+h>d+f.要想使b+h>d大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小，下面分两种情况轮”和“在a处填数字5”,其余如(乙1),(甲1,b10)等含义类同。>10+8=18>16=9+7>d+f,甲胜).这样，必须(乙1,h1).(乙当然在h2.(甲2)不能在d处或填数.(否则，如(甲2,dx),x为任一数，则(乙2)在处填余下来的最大数后，即有d+f>3+9=12>11=10+1=b+h,乙胜).当然(甲2)填9,譬如(甲2,eg).3.显然，(乙2,d8),乙就不会输了.因此不分胜负(此时(甲3)必须因此，只有1.若(乙1)不在玖处填数时，(甲2)在处填余下来的最小数，则最后必有学习-----好资料2.若(乙1,f10)(乙当然在处填最大数),则(甲2,b9),最后必有因此，只要(甲1,d1),且以后甲每次应对正确，则甲必胜。尽可能小的数填入格(或d格)内(在乙没有在f或d格内填数的情况下),甲后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即-₁C3.而移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有+1和+₂,即+1和+₂必须再移动一次就能移到+1或Đ₂的那些方格中，即-4~-s.而从哪些方格(除了+1和田2外)中移动一次石子，石子必定落在-₁~-₉之一中呢?只有用这样，所有的格子被分成“胜位”(田₁~+₃)和“负位”(C₁~-).自然，上图中的-10和-11也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜(若此后他不失误);谁占负位，谁将失败(若此后对方不失误)。①(1,0),胜位。而对方胜)。更多精品文档学习----好资料(对方只需在n个球的那堆中的球全拿走，就造出(1,0)局面.)此外，③(2,2),胜位.(对方拿走1个变(2,1),即②(c)中的情形；拿走2个变(2,0),即②(a)中的情形.对方均负).因此⑤(3,3),胜位.(对方一次拿走任意多个后必变为②(a),②(对方只需在n个球的那堆中拿走n—3个，对方就占据了胜位(3,3).)⑦(4,4),胜位.(对方一次拿走任意多个后必变为②(a),②⑧(n,4),负位，其中n>4。因此，当两堆球的个数相等但不等于1,或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；当个数不相等但不是(1,0),或两堆各有1个球时，先拿的必胜(当为(n,0)时，拿走n-1个球；当为(n,1)时，拿走n个球；否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等)。学习----好资料5432100123456个方格记为(3,5)(第四行第六列).显然.(5,3)(第六行第四列)的含义与(3,5)一样(行、列分别为从下到上、从左到右编序).我们的问题转化为：在(8,9)格中有一石子(即“有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个”),甲乙两个轮流移动石子(即“甲乙两人轮流从中拿球”),每次只能向下或向左移动(即“每次只能从一堆中拿”),格数不限(即“个数不限”).规定把石子移到(0,0)格(即左下角)的人为输(即“规定拿到最后一个球的人为输”).问如果甲先移(即“甲先拿”),他有无必胜的策按照例2分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的“+”“-”分别表示该格为“胜位”和“负位”.如，(1,0)格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜，在表格中除了(1,0),(o,71)是胜位外，其余所有的胜位为(n,n),n=2,3,4,…而(8,9)格是负位.因此，开始时石子在(8,9)格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜二—把石子移到一个标有“+”的格子，即移到(8,8)格中.此时，无论乙怎样移动石子最后，甲必能把石子移到(1,0)格或(0,1)格.因此甲必胜。学习-----好资料8————十 7—一十一 6—十 5十 4一—十——3—十2一十一一一一 1十一一—一 0—十一一——一 0123456789请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略。第十讲逻辑推理(一)由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径，为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来解：根据第三辆车司机的“不知道”,且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市.(否则，如果第一、二辆车都开往A市第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。例3“迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得牌，小华得牌，小强得 分析解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两个1克砝码”“两个2克砝码”。学习-----好资料知，J的猜测是正确的.则J得数学或逻辑学奖.于是推得，B猜错，故R猜对，即例8A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击6次，并且都得了71分.三人共18次的得分情况，从小到大排列为：已知A首先射击两次，共得22分；C第一断，是谁击中了靶心(击中靶心得50分)?可知，击中靶心的决不会是A.另一方面，在上面18个数中，两数之和等于22的只可能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先，在这四个数中，如果没有25,是绝不可能组成49的.其次，由于49-25=24,则如果没有20,任何三个数也不能组成24.而24-20=4,剩下的两个数显然只能是1和3了.所以A射击6次的得分(不考虑得分顺序)应该是再来推断击中靶心的人6次得分的情况.从这5个数中，必须包括一个10,一个5,一个3,一个2,一个1.即6次得分情况为在前面12个未被划去的数中，划去上面这6个数。剩下的6个数就是第三个人的得分情况了。从这6个数中没有3,而C第一次得了3分，可知这6个数是B射击的得分数.例9在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永人，是老实人?还是骗子?”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子.”第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.”第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.”第四个人说：“我是老实人.”请判断一下，第四个人是老实人吗?解：①四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。②第二个人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由①可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。所以，第四个人是老实人。例10某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道：A的夜班比c的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天；F的夜班在B和C的夜班的正中间，而且是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜班?示空位。可见CA不能排在BG中间，否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空位之一，因此还有两个空位必定是ED和BG交叉填空.于是可排出：EBDFG或BFEGD两种情况，而CA只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG,EBDFGCA,CABFEGD和BFEGD-CA四种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F在BC的正中间”.所以七名护士值班排序是：E星期一值班，B星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班.学习-----好资料第十一讲逻辑推理(二)上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门的数学原理，而是直接运用正确推理，解决逻辑问题的.这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问题。例11一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“√”,认为错误的就画“×”.记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分.已知A、B、C、D、E、F、G七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分，并简单说明你的思路。分析由于E得了9分，说明他只答错了一道题.先假定答错的是第1题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分.如出现矛盾，再假定E答错的是第2题，…,直到判断出E答错的题号为止.有了正确的答案，就可以写出G的得分。考生题号ABCDEFG123456得分7X×5X5×X5X55××户X户7人X人X×X解：假设E的第1题答错，那么A至少错3道题，一题未答，最多得5分，与A得7分矛盾.所以E第1题答对。学习-----好资料由于E得9分，因此E只答错一题，因此E第4题答错，于是A的第2、4两题题号答案按此标准评分，与题中所给A、B、C、D、E、F得分相符合，所以E的第4题确实答错了.上表的答案是正确的.故可知G得8分。市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖.现在知道：①李英不是金城的选手；②赵林不是沙市的选手；③金城的选手不是一等奖；④沙市的选手得二等奖；根据上述情况，王红是的选手，他得的是_等奖。金城沙市水乡李英X2赵林X1王红3根据条件①②,在相应的格中打上“×”。由条件④得出：如果王红是沙市的选手，他得二等奖，那么由条件③可知：金城选手不是一等奖，只能是三等奖.又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖.这与条件⑤矛盾.所以王红不是沙市选手，沙市选手应该是李英，他得二等奖.这样金城的选手只能是王红，他得三等奖。4④③更多精品文档学习-----好资料一三四五黄红白紫球队胜场数负场数平场数进球数失球数A128B22C45学习-----好资料因为A与C两队进球总数是6个，那么除去A、C对B的那两场球赛中，踢进B队的那2球外，剩下的4个球便是A与C踢平那一场中双方各自踢进对方的进球数的和，因此A与C踢成2比2。是对B比赛进的球数；再从c的失球数分析，因为C对A失两球，表中C共失了5个球，因此另外失的3个球就是对B失的球数.所以C对B是2比3。再因为B进球共9个，除去对C进的3个球，那么对A就进了6个球，A对B没有进球，所以B对A是6比0。津、上海、扬州、南京和杭州，已知旅客北京天津上海南京扬州杭州CF××X广X广×XX××X××学习-----好资料人.如下图(b)。城市南京扬州杭州ABCDEFX城市南京扬州杭州ABCDEFX北京南京扬州杭州xX学习-----好资料例17甲、乙、丙三人分别在北京、天津、上海的中学教数学、物理、化学.已知分析根据已知条件，我们把人、地区、科目这三类分别用点表示在三个集合内.规定：两者之间有关系用实线连接，没有关系用虚线连接.这样把问题转化为用图进行推理(如图(a)).据此，下面的结果是显然的：①如果某一点用虚线连接某一个集合的两个点，则这点与这一集合内的第三个点应连实线；②如果在以不同集合内的点为顶点的三角形中两条边是实线，则第三条边也应该是实线.这样，上述三角形中若一条边为虚线，另一条边为实线，则第三条边一定为虚线.这两条结论是解题的依据.解题的关键是找到三个以实线为边的三甲北京叛学物理解：根据题意，甲与北京、乙与天津、乙与物理、北京与化学之间连虚线；天津与数学之间连实线(如上图(b)).这样，根据上面的结论，乙与数更多精品文档第十二讲容斥原理第十二讲容斥原埋为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。例1B={全体自然数}={1,2,3,4,…}是一个具体有无限多个元素的集例2C={在1,2,3,…,100中能被3整除的数}=(3,6,9,12,…,99}更多精品文档3,4,6,8}元素2、4在集合A、B素的集合)。更多精品文档A={1,2,…,100},B={90,91,…,101},N3)-N3=|A|+B-A∩B。更多精品文档40(平方厘米)。由容斥原理的公式(1):|AUB|=33+14-4=43。更多精品文档学习-----好资料 则问题就是要求AUB在集合{1,2,…,100}中的补集AUB的元素个AUB|=|A|+|B|-|A∩B|=例8设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。分析如图，四个直径为1厘米的半圆不但盖住了正方形，还有四个重叠部分这右两个半圆，则AUB为边长为1厘米的正方形，AMB为图中阴影部分.由(1)可得即：更多精品文档=(M1+M4+M6+M7)+(M2+M4+M5M7)-[(M4+M7)+(M5+M7)即公式(2)成立。I={全校学生},更多精品文档IAUBUCI=960-IAUBUCI=960=212(人)。4将(3)代入(1):更多精品文档将(3)代入(2):(道)。答：甲、乙两人都对的题共8道。第十三讲简单的统筹规划问题第十三讲简单的统筹规划问题道路图如右图所示),问如何调运最省汽油?360米360米B分析把渣土从A运到B或把砖从C运到D,都无法节省汽油只有设法减少跑共空车跑了空车跑更多精品文档300×60+360×40=32400(米)。240+90=330(米)330×40+300×20=19200(米)17+4+16+14+9=60(人)60÷5=12(人)。更多精品文档又从A又从A更多精品文档而如果从A运1吨货物到B2,同时从A₀例3在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如右图，)共有5个仓库一号仓库存有10吨货物，二10吨20吨分析欲使花费的运输费少，关键在于运输的货物和路程尽可能少，实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠”下面就以两地调运问题为例加以计算验证：如上图，在公路上A、B设打麦场建在C点，则总运费是(假定每吨小麦运输1千米的费用是a元)=10a×(AC+BC)十5a×BC更多精品文档10a×AB(元)为最少显然当打麦场建在AB线段之外时，总运费都大于10a×AB(元)。解：根30×0.5×300=4500(元)。500+4500=5000(元)。仓库集中，这样运费最省(想想为什么?)更多精品文档现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里，应该选取哪个仓库可以使总运输费最少?”它的例4189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料?分析显然无残料的剪法是最优方案于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。根据倍数分析法可知更多精品文档料几根?怎么截法最合算?截法1:截成3尺、3尺、4尺三段，无残由于截法1最理想(无残料),因此应该充分应用截2×25=50(尺)。例6甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服多少套?分析根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为2:3,因此在单位时间内比);同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3:4。更多精品文档8条裤子.这就是说，甲厂生产9条裤子时乙厂只能生产8条裤子显然甲厂善于生产8件上衣这就是说，乙厂生产9件上衣时甲厂只能生产8件上衣显然乙厂善于生产上衣(月)。(2100+60)(900+1200)=60(套)。说明：本例是线性规划中劳力组合问题劳力组合最简单的情况就是效率比问题这里给出多种劳力(或机械)干两种配套活的一般分工原则：量比更多精品文档第十四讲递推方法如自然数中最小的数是1,比1大1的数是2,接下来比2大1的数是3,…由此得到了自然数数列：1,2,3,4,5,…在这里实际上就有了一个递推公式，假即由自然数中第n个数加上1,就是第n+1个数。由此可得例1平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上100条直线最多能把更多精品文档a5=a4+5=11=5=16(部分)。公式(2)也称为数列1,2,4,7,11,16,…的通项公式更多精品文档学习-----好资料一般来说，如果一个与自然数有关的数列中的