2024-2025学年新教材高中数学第十章概率章末检测含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE10概率(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554490131352017191男婴数2716489968128590这一地区男婴诞生的概率约是()A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.7解析：选B由表格可知，男婴诞生的频率依次约为0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴诞生的概率约为0.5.2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选B设“只用现金支付”为事务A，“既用现金支付也用非现金支付”为事务B，“不用现金支付”为事务C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5，19.5)4[19.5，23.5)9[23.5，27.5)18[27.5，31.5)11[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7[39.5，43.5)3依据样本的频率分布估计大于或等于31.5的数据约占()A.eq\f(2,11) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选B由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5，43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故大于或等于31.5的数据约占eq\f(22,66)＝eq\f(1,3).4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队须要再赢两局才能得冠军．若每局中甲、乙两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)解析：选A若甲队获得冠军，则可分为两种状况：(1)只竞赛一局，甲赢，其概率为P1＝eq\f(1,2)；(2)需竞赛两局，第一局甲负，其次局甲赢，其概率为P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).5．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选A记3个爱好小组分别为1，2，3，如甲参与1组记为“甲1”，则样本空间Ω＝{(甲1，乙1)，(甲1，乙2)，(甲1，乙3)，(甲2，乙1)，(甲2，乙2)，(甲2，乙3)，(甲3，乙1)，(甲3，乙2)，(甲3，乙3)}，共9个样本点．记事务A为“甲、乙两位同学参与同一个爱好小组”，则事务A＝{(甲1，乙1)，(甲2，乙2)，(甲3，乙3)}，共3个样本点．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).6．甲、乙两位同学进行乒乓球竞赛，甲获胜的概率为0.4.现采纳随机模拟的方法估计这两位同学打3局竞赛甲恰好获胜2局的概率；先利用计算器产生0到9之间的取整数值的随机数，用1，2，3，4表示甲获胜，用5，6，7，8，9，0表示乙获胜，再以每3个随机数为1组，代表3局竞赛的结果．经随机模拟产生了如下30组随机数：102231146027590763245207310386350481337286139579684487370175772235246487569047008341287114据此估计，这两位同学打3局竞赛甲恰好获胜2局的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(11,30)解析：选B由题意知，在30组随机数中表示打3局竞赛甲恰好获胜2局的有102，146，245，310，481，337，139，235，246，共9组随机数，∴所求概率为eq\f(9,30)＝eq\f(3,10).7．某市创建全国文明城市工作验收时，有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分分别为5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体，假如用简洁随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的肯定值不超过0.5的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(7,15) D.eq\f(8,15)解析：选C总体平均数为eq\f(1,6)×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，设A表示事务“样本平均数与总体平均数之差的肯定值不超过0.5”，从总体中抽取2个个体全部可能的结果有(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)，共15种，事务A发生的可能结果有(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共7种，所以所求的概率为P(A)＝eq\f(7,15).8．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是()A.eq\f(29,36) B.eq\f(551,720)C.eq\f(29,72) D.eq\f(29,144)解析：选A当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为1－eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))))＝eq\f(5,6)，B至C畅通的概率为1－eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝eq\f(29,30)，所以电路畅通的概率为eq\f(5,6)×eq\f(29,30)＝eq\f(29,36).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知事务A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是()A．假如B⊆A，那么P(A∪B)＝0.2，P(AB)＝0.5B．假如A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0C．假如A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0D．假如A与B相互独立，那么P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝0.4，P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝0.4.解析：选BD对于A，假如B⊆A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A错误；对于B，假如A与B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.7，P(AB)＝0，故B正确；对于C，假如A与B相互独立，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.2－0.5×0.2＝0.6，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1，故C错误；对于D，假如A与B相互独立，那么P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.5)×(1－0.2)＝0.4，P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.5×(1－0.2)＝0.4，故D正确．10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事务A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事务B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则()A．事务A发生的概率为eq\f(1,2)B．事务A∪B发生的概率为eq\f(11,20)C．事务A∩B发生的概率为eq\f(2,5)D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq\f(1,5)解析：选BC由题意知从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，样本点总数为4×5＝20，且每一个样本点出现的可能性都相等(此处不再一一排列)．对于A，事务A包含的样本点有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共11个，∴P(A)＝eq\f(11,20)，故A错误；对于B，事务A∪B包含的样本点有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共11个，∴P(B)＝eq\f(11,20)，故B正确；对于C，事务A∩B包含的样本点有(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共8个，∴P(C)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，故C正确；对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球包含的样本点有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(2，6)，共5个，故对应概率为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)，故D错误．11．小张上班从家到公司开车有两条路途，所需时间(单位：分)随交通堵塞状况有所改变，其概率分布如下表所示.所需时间/分30405060路途一0.50.20.20.1路途二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A．任选一条路途，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事务B．从所需的平均时间看，路途一比路途二更节约时间C．假如要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应当走路途一D．若小张上、下班走不同路途，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04解析：选BD“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事务，A错误；路途一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分)，路途二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分)，所以从所需的平均时间看，路途一比路途二更节约时间，B正确；路途一所需时间小于45分钟的概率为0.7，路途二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应当选路途二，故C错误；所需时间之和大于100分钟，则走路途一、路途二所需的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种状况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，故D正确．故选B、D.12.如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中随意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是()A．线段的长为1的概率是0.4B．线段的长为2的概率是0.5C．线段的长为eq\r(3)的概率是0.4D．线段的长不超过eq\r(3)的概率是0.8解析：选ACD在A，B，C，D，E，F中任取两点的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．线段的长为1的样本点有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)，(E，F)，(F，A)，共有6个样本点，所以线段的长为1的概率P1＝eq\f(6,15)＝0.4，故A正确；线段的长为2的样本点有(A，D)，(B，E)，(C，F)，共有3个样本点，所以线段的长为2的概率P2＝eq\f(3,15)＝0.2，故B不正确；线段的长为eq\r(3)的样本点有(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)，(C，E)，(D，F)，共有6个样本点，所以线段的长为eq\r(3)的概率P3＝eq\f(6,15)＝0.4，故C正确；线段的长不超过eq\r(3)的概率是P1＋P3＝0.4＋0.4＝0.8，故D正确．综上，应选A、C、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知随机事务A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝________．解析：由题意知P(B)＝1－P(C)＝0.4，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7.答案：0.714．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：此试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．记“甲，乙相邻而站”为事务A，则A＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，所以n(A)＝4，从而甲、乙两人相邻而站的概率为P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)15．两个袋中各装有写着数字0，1，2，3，4，5的6张卡片，若从每个袋中随意取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于8的概率为________．解析：从每个袋中随意取一张卡片，共有6×6＝36个等可能出现的样本点．记A为事务“和等于9”，包含(4，5)，(5，4)，共2个样本点，所以P(A)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)；记B为事务“和等于10”，包含(5，5)，共1个样本点，所以P(B)＝eq\f(1,36).又A与B彼此互斥，故取出的两张卡片上数字之和大于8的概率为P(A)＋P(B)＝eq\f(1,18)＋eq\f(1,36)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)16．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取一个球，事务A为“取得白球”，则事务eq\o(A,\s\up6(－))为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事务B为“取得白球”，则事务eq\x\to(B)为“取得红球”．因为事务A与B相互独立，所以事务eq\x\to(A)与eq\x\to(B)相互独立．所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P(AB∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)袋子中放有大小和形态相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，其次次取出的小球标号为b.记事务A表示“a＋b＝2”，求事务A的概率．解：(1)由题意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)记标号为0和1的小球分别为0，1，标号为2的小球分别为21，22，不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个，事务A包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．故P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).18．(本小题满分12分)某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本空间Ω1＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点．设所选两个国家都是亚洲国家为事务A，则A＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，则所求事务的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本空间Ω2＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个样本点．设包括A1但不包括B1为事务B，则B＝{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个样本点，则所求事务的概率P(B)＝eq\f(2,9).19．(本小题满分12分)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.因为投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)．所以样本车辆中新司机获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.20．(本小题满分12分)某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)求他们恰有一人破译出该密码的概率；(2)求他们破译出该密码的概率；(3)现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少须要再增加几个与甲水平相当的人？解：记“甲破译出密码”为事务A，“乙破译出密码”为事务B，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)“甲、乙两人中恰有一人破译出该密码”，包括“甲破译出而乙没有破译出”和“乙破译出而甲没有破译出”两种状况，则P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(2)“他们破译出该密码”的对立事务为“他们没有破译出密码”，即“甲没有破译出密码”与“乙没有破译出密码”同时发生，所以他们破译出该密码的概率为1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).(3)设共须要n(n∈N*)个与甲水平相当的人，则有1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≥80%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n≥5，所以n≥4.故至少须要再增加3个与甲水平相当的人．21．(本小题满分12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答竞赛》活动．某场竞赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保学问的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是eq\f(3,4)，甲、丙两个家庭都回答错的概率是eq\f(1,12)，乙、丙两个家庭都回答对的概率是eq\f(1,4).若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率．解：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事务A，B，C，则P(A)＝eq\f(3,4)，且有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P\x\to(A)·P\x\to(C)＝\f(1,12)，,PB·PC＝\f(1,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1([1－PA]·[1－PC]＝\f(1,12)，,PB·PC＝\f(1,4)，))所以P(B)＝eq\f(3,8)，P(C)＝eq\f(2,3).(2)有0个家庭回答对的概率为p0＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝eq\f(1,4)×eq\f(5,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,96)，有1个家庭回答对的概率为p1＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)＋eq\x\to(A)Beq\x\t