2024年高考数学专项复习调和点列与极点极线（解析几何）（解析版）

2024年高考数学专项复习调和点列与极点极线（解析几何）（解析版）

蠲和点列与极点搬线

和识与方法

以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中，如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲

线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等，是圆锥曲线的常考问题，这些问题大多和极点极线与调

和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质，能抓住此类问题的本质，明确问题的目标,

能更高效地解决问题.下面介绍交比、调和点歹h完全四边形、成us圆、极点和极线等射影几

何的重要概念及性质，溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.

（一）调和分割的概念

“调和分割”又称“调和共辗”，来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种，它是交比研究中的

一个重要特例，也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.

定义1线束和点列的交比：

如图，过点。的四条直线被任意直线Z所截的有向线段之比空/昆称为线束04、O。、OR、

ADBD

或点列AC,8。的交比.

定理1交比与所截直线无关.

【证明】令线束O（a,b,c,d）分别交I于A,B,C,D,

圃AC,BC_S^AQC/SABOC_COsinZAOC,COsinACOB_sinZAOCsinZCOB又田为客

3~AD/~BD~SAAODSABOD~DOsinAAOD/DOsin^BOD~sinAAOD'sinZBOL*'乂口为育

对应向量方向相同，故交比与所截直线无关.

【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的.保持线束不变，取另一直线/'交线束于

A,B',C',D',可视为对/作射影变换，所得交比不变，由此说明交比是射影不变量，具有射影不变性.

0

定义2调和线束与调和点列：

定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束，点列称为调和点列.一般地,

^（AC=ACB

（1>0且抄1,则四点构成“调和点列”;

①叫做“基点。叫做“（内、外）分点”.

根据定义可得:如果点。内分线段点。外分线段且/=蔡，那么称点C,。调和分割

线段AB.亦称4C,8,。为调和点列.线段端点和内外分点，依次构成调和点列.

即：调和点列o内分比=外分比.

ABCD

②也可以以。，。为基点，则四点0,8,。,人仍构成调和点列，故称48与C,。调和共辗.

③如图，若AC,构成调和点列，。为直线AB外任意一点，则四直线。4,00,080。为调和

线束；若另一直线截此调和线束，则截得的四点4,。',仍构成调和点列（由定理1可知）.

定理2调和点列的性质:若AC,尽。为调和点列，即熹1=d则

GJDJ-JID

⑴调和性：智+看=旖

。川=Q川=|£）B|一|。川=|。川一|AB|

力,\CB\一\DB\\CA\一\DA\\CA\一\DA\

」也.I,也+四=2=，+，=^

\CA\\DA\\CA\\DA\\AC\\AD\\AB\

（2）共趣性:

若AC,构成调和点列，则DBC,人也构成调和点列.

即:若点+高r合成立，则高+血=岛也成立;

(3)等比性：

|CA|=\DA\=

°\CB\~\DB\~

②记线段AB的中点为M则有|AM|2=|MB|2=\MC\-\MD\.

③记线段CD的中点为N,则有\NC\2=\ND\2=\NA\-\NB\.(同2可证)

,\CA\_\DA\\MA\+\MC\_\MD\+\MA\\MA\+\MC\_\MA\-\MC\

1月：\CB\一\DB\n\MA\-\MC\~\MD\-\MA\=\MD\+\MA\-\MD\-\MA\

由竺比性居用知.(|M4|+|MC|)+(|M4|一=(|M4|+|W(M4Hg)

寸7(|MD|+|M4|)+(|A^D|-|M4|)(|MD|+|AM|)-(|MD|-\MA\)

=半斗=军斗二|M4|2=|MB|2=\MC\-\MD\

2\MD\21AMi11111111

同理可得\NC\2=\ND\2=\NA\•\NB\.

定理3斜率分别为瓯自,总的三条直线。4,服交于t轴外的点2过P作/轴的垂线蝎则瓦%2,%3成

等差数列的充要条件为人小成调和线束.

分析:不妨设自、自、底均为正数，其它情况同理可证.

【证明】如图，设。，小建。与c轴分别交于4瓦。,。四点，则

2e=自+治。磊="不+为0器=第0A,B,C,D成调和点列oIM„，4成调和线束.

定理4已知F为椭圆的焦点」为R相应的准线，过斤任作一直线交椭圆于两点，交I于点、M,

则48,尸,M成调和点列.

（说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB.虚线应往上移一点）

【证明】如图，分别过作，的垂线，垂足为4,5，则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:

AF_AAi_AM

故ABF,Al成调和点列.

~BF~BBX~BM

定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点4口距离之比为定值/c（k>0且kW1）的点的轨迹为

圆，称为4>。〃。成US圆（简称阿氏圆），为古希腊数学家ApoZZonlas最先提出并解决.

【证明】如图，由=则在AB直线上有两点C、。满足⑶=倒=需，故PC、PD

\oc\\OP\

分别为/4PB的内外角平分线，则CPLDP,即P的轨迹为以CD为直径的圆（圆心。为线段

CD的中点）.

由£7=*，可知，图中4CBD为调和点列•

卢。I1^1

定义4完全四边形:我们把两两相交，且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,

叫做完全四边形.如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC.BD、

EF称为其对角线.

定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割.即AGCH'BG。/、初47分别构成调和点列.

【证明】HEIF_S^AECS^BDF_S丛AECS^ACDS^BDFS^BEF_ECADDCAF_1

9

'HF'!E~S^AFC*S^DE~S^ACDS^AFC,S^BEF,sAB^~~CD'~KF'~EC'~KD~

即第=2，所以为调和点列.其余的可由线束的交比不变性得到.

rLrlr

（二）极点和极线的概念

1.极点和极线的几何定义

如图，尸为不在圆锥曲线r上的点，过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,a连接EH

，尸G交于N,连接交于河，我们称点P为直线AW关于圆锥曲线「的极点，称直线MN为

点P关于圆锥曲线F的极线.直线MN交圆锥曲线「于两点，则R4,PB为圆锥曲线「的两条

切线.若P在圆锥曲线r上，则过点P的切线即为极线.

(1)自极三角形:极点P——极线MN；极点河一一极线PN；极点N——极线用尸；即△PMN中,

三个顶点和对边分别为一对极点和极线，称△PMN为“自极三角形”.

(2)极点和极线的两种特殊情况

⑴当四边形变成三角形时：曲线上的点E(F,M,N)对应的极线，就是切线PE;

(2)当四边有一组对边平行时，如：当尸H〃EG时，EG和的交点M落在无穷远处；点P的极线

NM2和点N的极线PM,满足：FH〃NM2//EG//PM,.

2.极点和极线的代数定义

对于定点P(3,彷)与非退化二次曲线r：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,过点P作动直线与曲线「

交于点4与点B,那么点尸关于线段的调和点Q的轨迹是什么？

可以证明：点Q在一条定直线/：Ae心+。防沙+。土尸+E/%+尸=。上，如下图.我们称点

P为直线Z关于曲线「的极点；相应地，称直线，为点P关于曲线F的极线.

一般地，对于圆锥曲线「：4/2+口磔/+32+。r+坳+尸=0,设极点尸(如比),则对应的极线为

LAgc+B幽产+3仅+。宁+E中+尸=0

【注】替换规则为：/一工如y2-yy0,XgT型中巴T空鲁,n.中工

（1）椭圆与+/=l（a>b>0）的三类极点极线

ab

⑴若极点P（g,仅）在椭圆外，过点P作桶圆的两条功线，切点为48,则极线为切点弦所在直线

xxyy

AB:—o厂+Q1；

azbz

（2）若极点P（g,彷）在椭圆上，过点P作椭圆的切线Z,则极线为切线等+猾=1;

ab

（3）若极点尸（g,涣）在桶圆内，过点P作椭圆的弦AB,分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为

极

a2b2

由此可得椭圆极线的几何作法：

22

（2）对于双曲线与一（=1,极点P（g,加）对应的极线为考一萼=1;

abab

⑶对于抛物线g2=2pi,极点P（g,g（））对应的极线为g=0（g+%）.

3.极点和极线的性质

22

（1）引理：已知椭圆方程为马+冬=i（a〉b>o）,直线/的方程为呼+喈=i,点不

aoab

与原点重合.过点P作直线交椭圆于43两点，河点在直线上，则''点在直线I上"的充要条

件是"P,"调和分割A,B'\即点=勰.

rJD1V1JD

【证明】先证必要性.设“点的坐标为（g,%）,则有挈+爷=1.设直线的参数方程为

'XQ+tXi

力=十

1匕+**为参数）

y0+ty!

与椭圆方程联立，得《+4-巾+2（等+曙-顼+（A患T）=。，

即(1+,—1^+(1+/—1)=°，该方程有两个不等实根，设为也风则£1+益=0.

即P,河调和分割A且也即得=*.

rr>JVIJD

将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.

设p是圆锥曲线r的一个极点，它对应的极线为2,过P任意引一条直线，交r于点4B,交/于点

Q,若点4是位于P,Q间的点，结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质：

(1)调和性

⑵共轨性

B,Q,AP四点也构成“调和点列”，即/+=备.

⑶等比性

(1)点Q、P是线段的内、外分点,甯=管=用

K-D|\Q^\

(2)若「为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心。时，QP|•\OQ\=|OA|2=|OB|2.

4.配极原则

若P点关于圆锥曲线「的极线通过另一点Q,则Q点的极线也通过P,称P、Q关于「调和共辗.

【证明】设点F(xp.yp),则相应的极线为小：下+爷=1,点Q(XQ,Q,相应的极线为Q：等+

"噜=1.因为小过点Q,Q坐标满足方程+=1,即F：+=1；则P点坐标满足方

baba"詈b。

程管+繁=1,这也说明，也就是Q过点P.

配极原则说明：2尸过点QoQ过点P,由此可得下面推论：

推论1：共线点的极线必然共点(4、G、O、E四点共线，它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的

极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F,它们的极点A、G,D、E四点共线).

推论2：如下图，过极点P作两条直线，与梆圆分别交于点48和C,。，则直线的交点T必

在极线上.

5.椭19的极点与极线的常用性质

对于椭圆，+1=1,极点P(g,%)(不是原点)对应的极线为等+竿=1,有如下性质:

性质1："类焦点”与“类准线”

当极点P(nz,0)(m¥0)在/轴上时，对应的极线c=宗平行于沙轴，当极点P(0,TI)(n¥0)在“轴

上时对应的极线y=W平行于/轴；特别地，当极点尸为椭圆的焦点时，极线为相应的准线.

性质2：平方模型

如下图，射线OP与椭圆交于点D,与点P的极线交于点C,则•\OC\=\OD\2-,当点P在

x轴上时，|OPb|OC|=a2;当点P在沙轴上时，•\OC\=b2.

性廉3：共朝方向

设极点P（g,彷）不在坐标轴上，则直线OP的斜率为kOP=—,极线八等+萼=1的斜率k

gab

b2x,,y（b2x\b2

="则0mil…0西0尸丁

【注】性质3表明：椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线

方向共轨.当极点P（x0,y0）在椭圆内时，极线I平行于以P为中点的弦所在直线EF（用点差法

易证）.设直线OP与椭圆相交于点D,过点D作椭圆的切线心则以P为中点的弦所在直线

EF、过点D的切线h、极点P的极线I,三线互相平行，如下图.

性质4:平行

如下图，设四边形ABCD为椭圆的内接梯形，AC//BD,AD^BC=Q,则点P的极线过Q,且与

直线AC.BD平行.特别地，若3C〃AO〃v轴时，点P的极线平行y轴，且与工轴的交点R

也是AC.BD交点，有。冏•|OP|=|OF|2=a2.

性质5:垂直

设圆锥曲线r的一个焦点为F,与F相应的准线为I,若过点F的直线与圆雉曲线r相交于M

,N两点，则r在M,N两点处的切线的交点Q在准线I上，且FQ.LMN.

【证明】以椭圆为例证明，双曲线与抛物线类似处理.

设P（g,彷），则P（如彷）对应的极线为7W：考+萼=1,由F（c,O）在直线MN上得空=

aba

1,所以此=£■,故Q在准线l：x=-^-_h.由易证kMN-kQF=—1,所以FQ±MN.

性质6：等角定理

如下图，A,B是椭圆「的一条对称轴I上的两点（不在「上），若A,B关于「调和共辗，过A

任作「的一条割线，交:T于P,Q两点，则ZPBA=AQBA.

证明：因「关于直线I对称，故在「上存在P,Q的对称点P',Q'.若P与Q重合，则Q'与P

也重合，此时P,Q关于I对称，有APAB=AQAB-,若P与Q不重合，则Q'与P也不重合,

由于A,B关于r调和共辗，故为「上完全四点形PQ'QP'的对边交点，即Q'在P'A上

也在PB上，故BP,BQ关于直线I对称，也有APBA=AQBA.

【注】事实上，性质6对于圆锥曲线都成立.我们还可以得到下列结论：

⑴直线PB与椭圆的另一交点为则Q'与Q关于，对称；

（2）ZPAO=ZQAB=AQ'AB-,

=

⑶k^p+kAQ>0.

类型1:判断位置关系

【例1】已知点M{a,b)在圆。：/+"=1外，则直线姐+她=1与圆O的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.不确定

类型2:求极线方程

22

【例2】过椭圆吉+q=1内一点”(1⑵，作直线AB与椭圆交于点48,作直线CD与椭圆交于点

C,D,过A,B分别作椭圆的切线交于点P,过C,D分别作椭圆的切线交于点Q,求P,Q连线所

在的直线方程.

22

【例3】设椭圆C：号+3=l(a>b>0)过点M(A/2,1),且左焦点为F,(-V2,l).

ab

(1)求效圆C的方程；⑵当过点尸(4,1)的动直线I于椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段

AB上取点Q,满足|*H◎4=1而H屈I,证明：点Q总在某定直线上.

类型3：证明直线过定点或三点共线

2?/2

【例4】如图，过直线Z：5T-7T/-70=0上的点P作椭圆条+(=1的切线PM和PN,切点分别

zoy

为M,N,连结MN.

(1)当点P在直线I上运动时，证明：直线MN恒过定点Q;

⑵当MN//I时，定点Q平分线段MN.

2

【例5】已知A,B分别为椭圆E：^+y2=l(a>l)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG-GB=8,P

为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

类型4证明两直线垂直

【例6】已知4—2,0),3(2,0),点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为—：

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)设直线I与⑴中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,且F(l,0),求证：ZFFQ=900.

类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值

【例7】如图，椭圆有两顶点4—1,0)，3(1,0),过其焦点尸(0,1)的直线I与椭圆交于C、。两点，并与

/轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当\CD\=^V2时，求直线I的方程4T0)；

(2)当点P异于4、B两点时，求证：分•页为定值.

类型6:与斜率有关的定值问题

2

【例8】设P(T0,y0)为梆圆咛+靖=1内一定点(不在坐标轴上)，过点P的两条直线分别与椭圆交

于点A,C和B、D,且AB〃CD.

(1)证明：直线AB的斜率为定值；

(2)过点P作AB的平行线，与椭圆交于E、F两点,证明：点P平分线段EF.

【例9】如图，椭圆E：卷■+=l(a>b>0)的禺心率为直线I'.y=~^-x与椭圆E相交于4

ab/N/

B两点，48=25,。、。是椭圆E上异于A.B的任意两点，且直线AC.BD相交于点M,直线

AD.BC相交于点N,连结MN.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证:直线MN的斜率为定值.

22

【例10】四边形ABCD是椭圆泉+殍?/=1的内接四边形，AB经过左焦点K,AC,BD交于右焦点

F2,直线AB与直线CD的斜率分别为瓯5

（1）证明：萼为定值；（2）证明：直线CD过定点，并求出该定点的坐标.

类型7:等角问题

2

【例11】设椭圆。：号+靖=1的右焦点为不过F的直线/与。交于A,B两点，点M的坐标为（2

,0）.

（1）当，与土轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：ZOAM=ZOMB.

【例12］如图，已知椭圆C:^+，=l(a>b>0)的右焦点为F,点(一1，呼)在椭圆C上，过原点

O的直线与椭圆C相交于M,N两点，且\MF\+\NF\=^.

⑵设F(l,0),Q(4,0),过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于两点，证明：ZAPO=

Z.BPQ

类型8:三斜率成等差数列

引理：二次曲线「：人£2+口磔/+32+。2+坳+尸=。与直线pQ交于点p,Q,定点0在直线

PQ上，PQ与O点关于曲线C的极线交于点R.曲线C上有两动点A,B,且直线AO.BO分

别交曲线r于点C,D,直线AB,CD分别交PQ于点M,N.则M,O,N,R成调和点列.

X

【证明】延长XO交BC于点E,由定理5可知：B,E,C,Y成调和点列(完全四边形中的调和点

列)，故M,O,N,R也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).

222

【例13】椭圆C-.^+^=l,P的坐标是(g,O),Q点在P关于椭圆的极线/=组上.过P作直线

abx0

交椭圆于点A,B.求证:直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列.

该结论对于抛物线，双曲线同样适用.特别地，当Q点在x轴上时，就是等角线，此时PQ斜率为

0,PQ平分AAQB.

22

【例14］如图，已知椭圆C：。+3=l(a>6>0),过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点，交

a0

F相应的准线于点M,P为过F与:r轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA,PM,PB的斜率成

等差数歹U.

21/2

【例15】如下图，椭圆和+方=39。)的左右顶点为A,B.Q为直线…上一点，Q4Q5

分别于椭圆交于点A,B,过点P作直线交梆圆于A,B两点，直线43与2轴交于点P,与直线

2=m交于点、M,记直线QA„QBX,QP的斜率分别为k1,k2,k0,则：

2

(1)口风,上2成等差数列；⑵xPxQ=a.

【例16】椭圆4■+(■=l(a>b>0)经过点离心率e=..

(1)求椭圆的方程；

(2)设P是直线x=4上任意一点，AB是经过椭圆右焦点F的一条弦(不经过点M).记直线

PA,PF,PB的斜率依次为kuk2,k3.问：是否存在常数儿使得自+底=混2.若存在，求A的值；若

不存在，说明理由.

知识与方法

以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中，如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲

线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等，是圆锥曲线的常考问题，这些问题大多和极点极线与调

和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质，能抓住此类问题的本质，明确问题的目标,

能更高效地解决问题.下面介绍交比、调和点歹h完全四边形、①。〃。成us圆、极点和极线等射影几

何的重要概念及性质，溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.

(一)调和分割的概念

“调和分割”又称“调和共轨”，来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种，它是交比研究中的

一个重要特例，也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.

定义1线束和点列的交比：

如图，过点。的四条直线被任意直线/所截的有向线段之比里/昆称为线束04、O。、OR、

ADBD

或点列AC,8。的交比.

定理1交比与所截直线无关.

【证明】令线束O(a,b,c,d)分别交I于A,B,C,D,

圃AC,BC_S^AQC/SABOC_COsinZAOC,COsinACOB_sinZAOCsinZCOB又田为客

3~AD/~BD~SAAODSABOD~DOsinAAOD/DOsin^BOD~sinAAOD'sinZBOP'乂口为育

对应向量方向相同，故交比与所截直线无关.

【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的.保持线束不变，取另一直线/'交线束于

A,B',C',D',可视为对/作射影变换，所得交比不变，由此说明交比是射影不变量，具有射影不变性.

0

定义2调和线束与调和点列：

定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束，点列称为调和点列.一般地,

^fAC=ACB

右］初=—加

（1>0且抄1,则四点构成“调和点列”;

①叫做“基点。叫做“（内、外）分点”.

根据定义可得:如果点。内分线段点。外分线段且/=蔡，那么称点C,。调和分割

075UID

线段亦称为调和点列.线段端点和内外分点，依次构成调和点列.

即：调和点列o内分比=外分比.

ABCD

②也可以以。，。为基点，则四点0,8,。,人仍构成调和点列，故称48与C,。调和共辗.

③如图，若AC,构成调和点列，。为直线AB外任意一点，则四直线。4,00,080。为调和

线束；若另一直线截此调和线束，则截得的四点4,。',仍构成调和点列（由定理1可知）.

定理2调和点列的性质:若AC,尽。为调和点列，即熹1=d则

GJDJ-JID

⑴调和性：智+看=旖

。川=Q川=|£）B|一|。川=|。川一|AB|

力,\CB\一\DB\\CA\一\DA\\CA\一\DA\

」也.I,也+四=2=，+，=^

\CA\\DA\\CA\\DA\\AC\\AD\\AB\

（2）共趣性:

若AC,构成调和点列，则人也构成调和点列.

即:若点+高r合成立，则高+血=岛也成立;

(3)等比性：

|CA|=\DA\=

°\CB\~\DB\~

②记线段AB的中点为M则有|AM|2=|MB|2=\MC\-\MD\.

③记线段CD的中点为N,则有\NC\2=\ND\2=\NA\-\NB\.(同2可证)

,\CA\_\DA\\MA\+\MC\_\MD\+\MA\\MA\+\MC\_\MA\-\MC\

1月：\CB\一\DB\n\MA\-\MC\~\MD\-\MA\=\MD\+\MA\-\MD\-\MA\

由竺比性居用知.(|M4|+|MC|)+(|M4|一=(|M4|+|W(M4Hg)

寸7(|MD|+|M4|)+(|A^D|-|M4|)(|MD|+|AM|)-(|MD|-\MA\)

=半斗=军斗二|M4|2=|MB|2=\MC\-\MD\

2\MD\21AMi11111111

同理可得\NC\2=\ND\2=\NA\•\NB\.

定理3斜率分别为瓯自,总的三条直线。4,服交于t轴外的点2过P作/轴的垂线蝎则瓦%2,%3成

等差数列的充要条件为人小成调和线束.

分析:不妨设自、自、底均为正数，其它情况同理可证.

【证明】如图，设。，小建。与c轴分别交于4瓦。,。四点，则

2e=自+治。磊="不+为0器=第0A,B,C,D成调和点列oIM„，4成调和线束.

定理4已知F为椭圆的焦点」为R相应的准线，过斤任作一直线交椭圆于两点，交I于点、M,

则48,尸,M成调和点列.

（说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB.虚线应往上移一点）

【证明】如图，分别过作，的垂线，垂足为4,5，则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:

AF_AAi_AM

故ABF,Al成调和点列.

~BF~BBX~BM

定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点4口距离之比为定值/c（k>0且kW1）的点的轨迹为

圆，称为4>。〃。成US圆（简称阿氏圆），为古希腊数学家ApoZZonlas最先提出并解决.

【证明】如图，由=则在AB直线上有两点C、。满足⑶=倒=需，故PC、PD

\oc\\OP\

分别为/4PB的内外角平分线，则CPLDP,即P的轨迹为以CD为直径的圆（圆心。为线段

CD的中点）.

由£7=*，可知，图中4CBD为调和点列•

卢。I1^1

定义4完全四边形:我们把两两相交，且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,

叫做完全四边形.如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC.BD、

EF称为其对角线.

定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割.即AGCH'BG。/、初47分别构成调和点列.

【证明】HEIF_S^AECS^BDF_S丛AECS^ACDS^BDFS^BEF_ECADDCAF_1

9

'HF'!E~S^AFC*S^DE~S^ACDS^AFC,S^BEF,sAB^~~CD'~KF'~EC'~KD~

即第=2，所以为调和点列.其余的可由线束的交比不变性得到.

rLrlr

（二）极点和极线的概念

1.极点和极线的几何定义

如图，尸为不在圆锥曲线r上的点，过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,a连接EH

，尸G交于N,连接交于河，我们称点P为直线AW关于圆锥曲线「的极点，称直线MN为

点P关于圆锥曲线F的极线.直线MN交圆锥曲线「于两点，则R4,PB为圆锥曲线「的两条

切线.若P在圆锥曲线r上，则过点P的切线即为极线.

(1)自极三角形:极点P——极线MN；极点河一一极线PN；极点N——极线用尸；即△PMN中,

三个顶点和对边分别为一对极点和极线，称△PMN为“自极三角形”.

(2)极点和极线的两种特殊情况

⑴当四边形变成三角形时：曲线上的点E(F,M,N)对应的极线，就是切线PE;

(2)当四边有一组对边平行时，如：当尸H〃EG时，EG和的交点M落在无穷远处；点P的极线

NM2和点N的极线PM,满足：FH〃NM2//EG//PM,.

2.极点和极线的代数定义

对于定点P(3,彷)与非退化二次曲线r：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,过点P作动直线与曲线「

交于点4与点B,那么点尸关于线段的调和点Q的轨迹是什么？

可以证明：点Q在一条定直线/：Ae心+。防沙+。土尸+E/%+尸=。上，如下图.我们称点

P为直线Z关于曲线「的极点；相应地，称直线，为点P关于曲线F的极线.

一般地，对于圆锥曲线「：4/2+口磔/+32+。r+坳+尸=0,设极点尸(如比),则对应的极线为

LAgc+B幽产+3仅+。宁+E中+尸=0

【注】替换规则为：/一工如y2-yy0,XgT型中巴T空鲁,n.中工

（1）椭圆与+/=l（a>b>0）的三类极点极线

ab

⑴若极点P（g,仅）在椭圆外，过点P作桶圆的两条功线，切点为48,则极线为切点弦所在直线

xxyy

AB:—o厂+Q1；

azbz

（2）若极点P（g,彷）在椭圆上，过点P作椭圆的切线Z,则极线为切线等+猾=1;

ab

（3）若极点尸（g,涣）在桶圆内，过点P作椭圆的弦AB,分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为

极

a2b2

由此可得椭圆极线的几何作法：

22

（2）对于双曲线与一（=1,极点P（g,加）对应的极线为考一萼=1;

abab

⑶对于抛物线g2=2pi,极点P（g,g（））对应的极线为g=0（g+%）.

3.极点和极线的性质

22

（1）引理：已知椭圆方程为马+冬=i（a〉b>o）,直线/的方程为呼+喈=i,点不

aoab

与原点重合.过点P作直线交椭圆于43两点，河点在直线上，则''点在直线I上"的充要条

件是"P,"调和分割A,B'\即点=勰.

rJD1V1JD

【证明】先证必要性.设“点的坐标为（g,%）,则有挈+爷=1.设直线的参数方程为

'XQ+tXi

力=十

1匕+**为参数）

y0+ty!

与椭圆方程联立，得《+4-巾+2（等+曙-顼+（A患T）=。，

即(1+,—1^+(1+/—1)=°，该方程有两个不等实根，设为也风则£1+益=0.

即P,河调和分割A且也即得=*.

rr>JVIJD

将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.

设p是圆锥曲线r的一个极点，它对应的极线为2,过P任意引一条直线，交r于点4B,交/于点

Q,若点4是位于P,Q间的点，结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质：

(1)调和性

⑵共轨性

B,Q,AP四点也构成“调和点列”，即/+=备.

⑶等比性

(1)点Q、P是线段的内、外分点,甯=管=用

K-D|\Q^\

(2)若「为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心。时，QP|•\OQ\=|OA|2=|OB|2.

4.配极原则

若P点关于圆锥曲线「的极线通过另一点Q,则Q点的极线也通过P,称P、Q关于「调和共辗.

【证明】设点F(xp.yp),则相应的极线为小：下+爷=1,点Q(XQ,Q,相应的极线为Q：等+

"噜=1.因为小过点Q,Q坐标满足方程+=1,即F：+=1；则P点坐标满足方

baba"詈b。

程管+繁=1,这也说明，也就是Q过点P.

配极原则说明：2尸过点QoQ过点P,由此可得下面推论：

推论1：共线点的极线必然共点(4、G、O、E四点共线，它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的

极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F,它们的极点A、G,D、E四点共线).

推论2：如下图，过极点P作两条直线，与梆圆分别交于点48和C,。，则直线的交点T必

在极线上.

5.椭19的极点与极线的常用性质

对于椭圆，+1=1,极点P(g,%)(不是原点)对应的极线为等+竿=1,有如下性质:

性质1："类焦点”与“类准线”

当极点P(nz,0)(m¥0)在/轴上时，对应的极线c=宗平行于沙轴，当极点P(0,TI)(n¥0)在“轴

上时对应的极线y=W平行于/轴；特别地，当极点尸为椭圆的焦点时，极线为相应的准线.

性质2：平方模型

如下图，射线OP与椭圆交于点D,与点P的极线交于点C,则•\OC\=\OD\2-,当点P在

x轴上时，|OPb|OC|=a2;当点P在沙轴上时，•\OC\=b2.

性廉3：共朝方向

设极点P（g,彷）不在坐标轴上，则直线OP的斜率为kOP=—,极线八等+萼=1的斜率k

gab

b2x,,y（b2x\b2

="则0mil…0西0尸丁

【注】性质3表明：椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线

方向共轨.当极点P（x0,y0）在椭圆内时，极线I平行于以P为中点的弦所在直线EF（用点差法

易证）.设直线OP与椭圆相交于点D,过点D作椭圆的切线心则以P为中点的弦所在直线

EF、过点D的切线h、极点P的极线I,三线互相平行，如下图.

性质4:平行

如下图，设四边形ABCD为椭圆的内接梯形，AC//BD,AD^BC=Q,则点P的极线过Q,且与

直线AC.BD平行.特别地，若3C〃AO〃v轴时，点P的极线平行y轴，且与工轴的交点R

也是AC.BD交点，有。冏•|OP|=|OF|2=a2.

性质5:垂直

设圆锥曲线r的一个焦点为F,与F相应的准线为I,若过点F的直线与圆雉曲线r相交于M

,N两点，则r在M,N两点处的切线的交点Q在准线I上，且FQ.LMN.

【证明】以椭圆为例证明，双曲线与抛物线类似处理.

设P（g,彷），则P（如彷）对应的极线为7W：考+萼=1,由F（c,O）在直线MN上得空=

aba

1,所以此=£■,故Q在准线l：x=-^-_h.由易证kMN-kQF=—1,所以FQ±MN.

性质6：等角定理

如下图，A,B是椭圆「的一条对称轴I上的两点（不在「上），若A,B关于「调和共辗，过A

任作「的一条割线，交:T于P,Q两点，则ZPBA=AQBA.

证明：因「关于直线I对称，故在「上存在P,Q的对称点P',Q'.若P与Q重合，则Q'与P

也重合，此时P,Q关于I对称，有APAB=AQAB-,若P与Q不重合，则Q'与P也不重合,

由于A,B关于r调和共辗，故为「上完全四点形PQ'QP'的对边交点，即Q'在P'A上

也在PB上，故BP,BQ关于直线I对称，也有APBA=AQBA.

【注】事实上，性质6对于圆锥曲线都成立.我们还可以得到下列结论：

⑴直线PB与椭圆的另一交点为则Q'与Q关于，对称；

（2）ZPAO=ZQAB=AQ'AB-,

=

⑶k^p+kAQ>0.

类型1:判断位置关系

【例1】已知点M（a,b）在圆。:/+"=1外，则直线姐+她=1与圆O的位置关系是（）

A.相切B.相交