福建省各市2024年中考数学模拟试题分类解析：数量和位置变化

专题5：数量和位置变更

一、选择题

1.（2024福建龙岩4分）在平面直角坐标系中，已知点P（2,-3）,则点P在【】

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D。

【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征。

【分析】依据平面直角坐标系中各象限点的特征，推断其所在象限，四个象限的符号特征分

别是：第一象限（+,+）;其次象限（一，+）;第三象限（一，一）；第四象限（+,一）。

因此点P（2,-3）位于第四象限。故选D。

2.（2024福建宁德4分）一次函数yi=x+4的图象如图所示，则一次函数y2=-x+b的图象

与yi=x+4

的图象的交点不行能在【】

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】Do

【考点】两条直线相交问题，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】依据一次函数yi=x+4的图象经过的象限进行判定即可：

由图可知，一次函数yi=x+4的图象经过第一、二、三象限，依据交点坐标肯定在

函数图象上，

故两函数的图象的交点不行能在第四象限。故选D。

3.（2024福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A（l,1）,B（-l,1）,C（—1,—2）,

D（l,-2）.

把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽视不计）的一端固定在点A处，

并按A—B—C

-D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-1,-2)D.(1,-2)

【答案】Bo

【考点】分类归纳(图形的变更类)，点的坐标。

【分析】依据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个

单位长度，从而确定答案：

VA(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),

.\AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,DA=1-(-2)=3。

...绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10,

•1,2024-10=201...2,

，细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置。

...所求点的坐标为(-1,1)。故选B。

4.(2024福建厦门3分)已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表所示.

X-101

y-113

则y与x之间的函数关系式可能是【】

3

A.y=xB.y=2x+lC.y=x2+x+lD.y=~

【答案】Bo

【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】视察这几组数据，依据点在曲线上，点的坐标满意方程的关系，找出符合要求的关

系式：

A.依据表格对应数据代入不能全得出y=x,故此选项错误；

B.依据表格对应数据代入均能得出y=2x+l,故此选项正确；

C.依据表格对应数据代入不能全得出y=x2+x+l,故此选项错误；

D.依据表格对应数据代入不能全得出y=1,故此选项错误。

故选B。

二、填空题

1.（2024福建莆田4分）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建

立平面直角坐

标系如图所示.若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的

值最小的点，

则OPOQ=▲.

【答案】5o

【考点】轴对称（最短路途问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线

上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接AB并延长交x轴于点P,作A点关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点

Q,求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：

连接AB并延长交x轴于点P,

由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA-PB|的值最大的点。

点B是正方形ADPC的中点，

AP（3,0）即OP=3o

作A点关于y轴的对称点A，连接A-B交y轴于点Q,则AB即为QA+QB的最小

值。

VA,(-1,2),B(2,1),

设过AB的直线为：y=kx+b,

k=--

2=-k+bo；),即』O

则解得3.Q(0,-OQ=

l=2k+b33

b=-

3

.*.OP«OQ=3x|=5o

2.（2024福建南平3分）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是▲

【答案】y=2x+l。

【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性相识各式的关系。

【分析】直线y=2x经过点（0,0）,向上平移1个单位后对应点的坐标为（0,1）,

•••平移前后直线解析式的k值不变，.•.设平移后的直线为y=2x+b。

则2x0+b=l,解得b=l。.•.所得到的直线是y=2x+l。

3.（2024福建宁德3分）五一节某超市稿促销活动：①一次性购物不超过150元不享受实

惠；②一次性

购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折.王宁两次购

物分别付款120

元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款▲元.

【答案】480元或528元。

【考点】分段函数。

【分析】计算出两次购买应当付款的数额，然后依据实惠方案即可求解：

一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135

元，因而第一次

付款120元，没有实惠；

其次次购物时：若是其次种实惠，可得出原价是432X）.9=480（符合超过150不高

于500）,则两次共付款：120+480=600元，超过500元，则一次性购买应付款：600x0,8=480

7Lo

当其次次付款是超过500元时：可得出原价是432-0.8=540（符合超过500元），

则两次共应付

款：120+540=660元，则一次性购买应付款：660x0.8=528元。

一次性购买应付款：480元或528元。

三、解答题

1.（2024福建厦门10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,3）、B（6,3）,连结

AB.假如点P

在直线y=x-l上，且点P到直线AB的距离小于1,那么称点P是线段AB的“邻近点”.

75

(1)推断点C(/J)是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；

(2)若点Q(m,n)是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围.

6-

5-

4

3i_______2

2

1

j-------1------1——I——I--------

-Fo"123456%

-1

7S

【答案】解：(1)点C(；|)是线段AB的“邻近点”。理由如下:

7575

V2—1=21*5工*7点C(1,1)在直线y=x—l上.。

二,点A的纵坐标与点B的纵坐标相同，，AB〃x轴。

7551

C(],2)到线段AB的距皆是3—2=2°

175

・・・]V1,・・.C(],])是线段AB的“邻近点”。

(2)・・,点Q(m,n)是线段AB的“邻近点”，，点Q(m,n)在直线y=x—1上。

••n^m1o

①当mN4时，n=m—l>3o

又人8〃乂轴，，止匕时点Q(m,口)到线段AB的距离是n—3。

0<n—3<lo/.4<m<5。

②当mV4时，n=m—1V3。

又AB〃x轴，・•・此时点Q(m,n)到线段AB的距离是3—n。

.\0<3-n<lo・・・3Vm<4。

综上所述，3<m<5o

【考点】一次函数综合题，新定义，直线上点的坐标与方程的关系，点到直线的距离。

7S

【分析】(1)验证点C(1,分满意“邻近点”的条件即可。

(2)分m为和m<4探讨即可。

2.(2024福建南平12分)在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴

上，点B的坐标为(m,1)(m>0),将此矩形绕O点逆时针旋转90。，得到矩形OA，B，C.

(1)写出点A、A\。的坐标；

(2)设过点A、A\C的抛物线解析式为y=ax?+bx+c,求此抛物线的解析式；(a、b、c可

用含m的式子表示)

(3)摸索究：当m的值变更时，点B关于点O的对称点D是否可能落在(2)中的抛物线

上？若能，求出此时m的值.

【答案】解：(1):四边形ABCD是矩形，点B的坐标为(m,1)(m,0),C(0,1).

;矩形OABC，由矩形OABC旋转90。而成，」.从(0,m),C*(-1.0).(2)设过点

A、A\C，的抛物线解析式为尸x2+bx+c,

VA(tn,0),A'(0,m),C(-1,0).

am2+bm+c=0fa=-1

<c=m，解得，b=m-1>

a-b+c=0[c=m

.•.此抛物线的解析式为：y=—x2+(m—1)x+m.

(3):点B与点D关于原点对称，B(m,1),

.，点D的坐标为：(-m,—1),

假设点D(-m,-1)在(2)中的抛物线上，

.,.0=—(—m)2+(m-1)x(—m)+m=l,即2m2-2m+1=0,

(-2)2—4^2x2=—4<0,.,.此方程无解.

.•.点D不在(2)中的抛物线上.

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程

的关系，解方程组，关于原点对称的点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】(1)先依据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为(m,1)(m>0),求出点A、C

的坐标，再依据图形旋转的性质求出A，、C的坐标即可。

(2)设过点A、A\。的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、A\C三点的坐标

代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式。

(3)依据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛

物线的解析式看是否符合即可。

3.(2024福建宁德13分)如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半

轴上，且OD=10,OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点

A重合.

(1)干脆写出点A、B的坐标：A(,)、B(,)；

(2)若抛物线y=-/x2+bx+c经过点A、B,则这条抛物线的解析式是;

(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN±x轴于点N.问是否存在点M,

使AAMN

与4ACD相像？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

7

(4)当.x57,在抛物线上存在点P,使aABP的面积最大，求4ABP面积的最大值.

(备用图)

【答案】解：(1)(6,0),(0,-8)o

设M[m,-1-m2+^m-8j,

则N(m,0)MN=--m2+—m-8NA=6—m

33o

又DA=4,CD=8,

①若点M在点N上方，更凶="，则△AMNs^ACD。

CDDA

110

——m2+—m-8o

--------------------=—，BPm2-16m+60=0，解得m=6或m=10o

8------4

与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。

・・・此时不存在点M,使AAMN与4ACD相像。

②若点M在点N下方，更»=”，则△AMNs^ACD。

CDDA

1210

—m-----m+8o

6-m

33即m2-4m-12=0,解得m=—2或m=6。

84

与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。

・・・此时不存在点M,使aAMN与4ACD相像。

③若点M在点N上方，更凶=XA,则△AMNs^ACD。

DACD

一"％一8

6-m

33即2m2-23m+66=0,方程无解。

48

・・・此时不存在点M,使aAMN与4ACD相像。

④若点M在点N下方，更凶=XA,则△AMNs^ACD。

DACD

1111111uZ-«

—------------=-----,即2m2-17m+30=0,角军得m=一或m=6。

482

当m=』时符合条件。

2

57

・・・此时存在点M(—,—-),使AAMN与4ACD相像。

24

57

综上所述，存在点M(—,--),使aAMN与4ACD相像。

24

(4)设P(p,—ip2+^p-8),

在y=-gx2+£x-8中，令y=0,得x=4或x=6。

77

.,.y<x<7分为声xV4,4<x<6和6<x<7三个区间探讨:

7

①如图，当E0xV4时，过点P作PH，x轴于点H

PH=gp2-^p+8o

贝UOH=p,HA=6-p,

,•S^ABP=S^OABS梯形OBPH—^AAPH

1乙。1/12I。。/1小、/121。

+8+8

=6-8----p---P-P__7P+8

--p2+6p=-(p-3)2+9

7

当£Sx<4时,SAABP随p的增加而减小。

735

・••当时，SAABP取得最大值，最大值为于。

②如图，当40xV6时，过点P作PHLBC于点H,过点A

作AG±BC于点Go

贝！JBH=p,HG=6—p,PH=-^p2+^p-8+8=-^p2+^p,

・・SAABP=SABPH+S梯形PHGA—^AABG

1(12101(110x1

--P+—P-P+----P2+寸+8,(6_p)=6r8o

--p2+6p=-(p-3)2+9

・••当4WxV6时，Sgp随p的增加而减小。

.••当x=4时，取得最大值，最大值为8。

③如图，当63x37时，过点P作PH，x轴于点H。

则OH=p,HA=p—6,PH=gp2—gp+8o

•,S^ABP=S梯形OBPH—SA0AB—

iio。/i乙。i/八n2io

="--P2—p+8+8p---6-8---(p-6)«-p―■—p+8

乙\DJJ乙乙\DJ

=p2-6p=(p-3)2-9

・•・当6<x<7时，SAABP随p的增力口而增力口。

...当x=7时，SAABP取得最大值，最大值为7。

735

综上所述，当x三时，SAMP取得最大值，最大值为方。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程

的关系，相像三角形的判定，二次函数的性质。

【分析】（1）由OD=10,0B=8,矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上

的点A重合，可得OA2=AB2—OB2=1（）2—82=36,；.0A=6。；.A（6,0）,B（0,一8）。

（2）:,抛物线y=—"j^+bx+c经过点A、B,

,10

J-12+6b+c=0

解得一H。

[c=-8

c=-8

，这条抛物线的解析式是y=-、2+竺*-8。

33

（3）分①若点M在点N上方，分MN=N8A,②若点M在点N下方，M^N=N—A,

CDDACDDA

MNNAMNNA

③若点M在点N上方，,④若点M在点N下方，四种状况探讨即

DACDDACD

可。

7

（4）依据二次函数的性质，分FX<4,4<X<6和6<x<7三个区间分别求出最大

值，比较即可。

4.（2024福建三明12分）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线

y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N.

（1）如图①，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；（4分）

②点N的坐标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M,使得AOMN^AAOB

相像？若存在，

干脆写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（4分）

（备M图）

【答案】解：（1）①••,直线产2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B,，A（|,0）,

B（0,一5）。

当顶点M与点A重合时，M（0）o

2

抛物线的解析式是：y=,SPy=-2+5x--