2024年中考数学压轴题之二次函数篇二次函数-线段最大值问题（学生版）

第五讲二次函数-线段最大值问题

目录

必备知识点.............................................................................1

考点一单个线段的最大值................................................................1

考点二线段之和的最大值................................................................3

考点三线段之差的最大值................................................................8

考点四线段之比的最大值................................................................9

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必备知识点

基本原理;

竖直线段一个数学思想：转化思想

两个基本线段：竖直线段和水平线段

四个转化：水平线段一技化）竖直线段

斜线段.转化）竖直线段

AB=|x「Xz|=x2-Xj转化、

AB=|y「yzl=Vj-y2三角形周长.竖直线段

（纵坐标相减）（横坐标相减）

三角形面积-转化）竖直线段

上减下右减左

考点一单个线段的最大值

1.如图1,抛物线y=-/X2+6x+c过点N（3,2）,且与直线尸-x+日交于8、C两点，点C在

y轴上，点B的纵坐标为-A.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点。作DELx轴交直线BC于点E,点尸为

对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；

y

图i

2.如图，抛物线y=a/+6x+c与x轴交于/(-4,0),2(2,0),与y轴交于点C(0,2).

(I)求这条抛物线所对应的函数的表达式；

(2)若点。为该抛物线上的一个动点，且在直线NC上方，求点。到直线4C的距离的最大值

3.如图1,在直角坐标系中，抛物线G：>=0?+队+3(aWO)与x轴交于4,2两点(/在3的左

侧)，与7轴交于点C,已知tan4。4。=2,B(4,0).

(1)求抛物线Ci的表达式；

(2)若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE//x轴交BC于点£,求PE的最大值及此

时点P的坐标；

考点二线段之和的最大值

4.如图1,二次函数y=a/+6x+c(aWO)与x轴交于点A(-2,0)、点B(点/在点B左侧)，」与

y轴交于点C(0,3),tanZC5O=l.

2

(1)求二次函数解析式;

(2)如图2,点尸是直线2c上方抛物线上一点，〃了轴交3c于。，PE〃2C交x轴于点E,

求PD+BE的最大值及此时点P的坐标;

5.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-冬2_*号+加与x轴交于/、2两点(点/在

点B的左侧)，与了轴交于点C

图1

(1)求/、C两点的坐标；

(2)连接/C,点尸为直线/C上方抛物线上(不与/、C重合)的一动点，过点P作尸。L/C

交NC于点。，轴交NC于点及求尸D+DE的最大值及此时点P的坐标；

6.如图1,抛物线y=af+foc+c(a#0)与x轴交于/(-4,0),8(1,0)两点，交y轴于点C

(0,3).

(I)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点尸为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点尸作x轴的平行线

交抛物线于点。，过点尸作y轴的平行线交NC于点外求电)+PH的最大值及此时点尸的坐标；

图1

7.已知，抛物线(aXO)与x轴交于点/(-8.0)、8(2,0)(点/在点8的左侧)，

与y轴交于点C

(I)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点£、G是直线/C上方抛物线上的点，点E位于抛物线对称轴的左侧，设点G的

横坐标为g,则点£的横坐标比点G的横坐标g小2.过£作跖〃x轴，交抛物线于点凡过G

作G8〃x轴，交直线NC于点X,当EF+2Gx的值最大时，求EF+2Gx的最大值及此时点E的

坐标；

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6x+c经过点/(-1,0),3(2,0),直线y=x+工

22

与抛物线交于C,。两点，点尸是抛物线在第四象限内图象上的一个动点.过点尸作尸G,CO,

垂足为G,尸。〃y轴，交x轴于点0

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当近PG+PQ取得最大值时,求点P的坐标和&PG+P。的最大值；

9.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(°、6、c为常数,a^O)的图象与x轴交于

点/(1,0)、3两点”与丁轴交于点C(0,4),且抛物线的对称轴为直线x=-1.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线3C上方的抛物线上有一动点M,过点M作MVLx轴，垂足为点N,交直线于

点。；是否存在点M，使得返QC取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M的坐标；

2

若不存在，请说明理由;

图1

10.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线尸⑪2+bx+c(a、b、c为常数,a^O)的图象与x轴交

于点N(l,0)、3两点，与y轴交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为直线x=-1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线2c下方的抛物线上有一动点尸，过点P作尸轴，垂足为点交直线3c于

点N,求尸N+&CN的最大值，并求出此时点尸的坐标；

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸ax2+6x+c(aWO)与y轴交于点C,与x轴交于/,B

两点(点A在点B的左侧)，且/点坐标为(f历，0),直线的解析式为y=-V2x+4.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为线段3c上方抛物线上的任意一点，过点P作尸轴，交BC于点D,过点。作

DE//AC5Cx轴于点E.求PD+V2DE的最大值及此时点P的坐标；

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+fcc+4与x轴交于点N(-6,0),B(4,0与y

轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,点。与点C关于抛物线的对称轴对称，连接5D交y轴于点G,作直线0D,点尸

为线段AD上方的抛物线上任意一点，过点尸作PE〃了轴交2。于点E,过点尸作小，直线。。

于点F.当尸£+近■尸尸为最大时，求这个最大值及此时点尸的坐标；

13.在平面直角坐标系中，抛物线ynad+fcrM(。片0)的图象经过点/(-2,0),B(4,0),与

y轴交于点C,连接/C

(I)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,连接3C,点P为第一象限抛物线上一动点，过点尸作PM//X轴交直线BC于点M,

过点P作PN//AC交x轴于点N,求2厘尸N+尸河的最大值及此时点P的坐标；

5

14.在平面直角坐标系中，抛物线夕=公2+/+3(。*0)与x轴交于/(-1,0),B(3,0),与y

轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是直线上方抛物线上的一点，过点尸作如〃/C交5c于£,交x轴于点，

求芭叵PE+&BE的最大值以及此时点P的坐标；

5

图1

考点三线段之差的最大值

15.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(aXO)与x轴交于/,3两点(/在2的左侧)，与

y轴交于点C(0,6),其中N8=8,tan乙C48=3.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸是直线8c上方抛物线上一点，过点P作PD〃4c交x轴于点。，交BC于点E,求

V10PE-aBE的最大值及点P的坐标.

16.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+H+。与X轴交于4,5两点，与V轴交于点C,

已知/(-1,0),直线3C的解析式为y=x-3.

图1

(1)求抛物线的解析式;

(2)在线段8c上有一动点。，过点。作交抛物线于点£,过点E作y轴的平行线交

3c于点E求跖-返QE的最大值，以及此时点£的坐标；

2

考点四线段之比的最大