高中数学复习：全称量词与存在量词 练习（必修第一册）

1.5全称量词与存在量词（精练）

【题组一判断全称、特称量词命题的真假】

1.（2021•三亚）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（）

A.对任意的。、beR,都有“2+〃—2。—2b+2<0

B.菱形的两条对角线相等

C.YXGR,窄=X

D.正方形是矩形

2.（2021•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）

A.实数都大于0B.梯形两条对角线相等

C.有小于1的自然数D.三角形内角和为180度

3.（2021•安徽六安市•高一期末）下列四个命题，真命题的是（）

A.Vxe2,%2-1=0B.3xeZ,5x-l=O

C.BxeTV,1<4x<3D.R,x~+x+2>Q

4.（2021•合肥市）下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（）

A.乃是无理数B.使2%为偶数

C.对任意xeR,都有必+2%+1>0D.所有菱形的四条边都相等

5.（2020•深圳科学高中高一期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A.3x>l,X2-2X-3=QB.存在xeN,使得2x为偶数

C.所有菱形的四条边都相等D.乃是无理数

6.（2021•云南昆明市）已知集合上{x|x20},集合户{x|x>l},则以下真命题的个数是（）

①九一，x0gB；②现eB,x0gA；③X/xeA,xGB；@V%eB,

A.4B.3C.2D.1

7.（2021•宁乡市）下列命题为真命题的是（）

A.3x0eR,直<0

B.VxeR,x2+2x+l>0

C.“3x0e7?,2'。>x；”的否定为“Vx0e7?,2&<x；”

X2

D."VxeR,2x</”的否定为“\/龙€火，2<x"

8.（2021•浙江杭州市）下列是全称命题且是真命题的是（）

A.\/x&R,x2>0B.Vx,yeJ?,x2+_y2>0

2

C.\fx&Q,X^QD.3x0eZ,%Q>1

9.（2021•鱼台县第一中学高一月考）（多选）下列命题中真命题是（）

A.VxeH,2X2-3%+4>0B.MXGR,2X+1>0

C.至少有一个实数x,使％2<oD.两个无理数的和必是无理数

10.（2021•全国高一课时练习）判断下列存在量词命题的真假：

（1）有些实数是无限不循环小数；

（2）存在一个三角形不是等腰三角形；

（3）有些菱形是正方形；

（4）至少有一个整数%“2+1是4的倍数.

【题组二命题的否定】

1.（2021•江西）已知命题p:Vx>0,x+2—024,r-，则。的否定为（）

x

/+—<475x+—

A.3x0<0,B.Vx>0,<4A/5

工0X

x0+—<4A/5

c.v光<0,x+—<4小D.3x0>0,

X九0

2.（2021•浙江高一期末）命题“对VxeH,都有必+%>1”的否定是（）

A.BXER,X2+X>1B.X/x^R,都有炉+工三1

C.3%e7?,x2+x<lD.3X^7?,X2+X<1

3.（2021・浙江高一期末）已知命题;7：\/%€凡丁17丁41，贝1］（）

A.—;3xeR,\ll-x2>1B.—p；\/xeR,y/l-x2>1

C.—;3xeR,\Jl-x2>1D.-^p；\/x&R,A/1-X2>1

4.（2021•浙江高一期末）设命题°HxeZ,x222x+l,则〃的否定为（）

A.VxgZ,%2<2x+lB.VxeZ,A：2<2%+1

C.3xgZ,x2<2x+lD.3x&Z,x~<2x

5.（2021•全国高二专题练习）命题“\戊>1,2"—1>0”的否定是（）

A.3x>l,2T-l<0B.3x<l,2A-l>0

C.V%>1,2T-l<0D.Vx>l,2v-l>0

6.（2021•全国高一课时练习）将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并

写出它们的否定:

（1）平行四边形的对角线互相平分；

（2）三个连续整数的乘积是6的倍数;

（3）三角形不都是中心对称图形；

（4）一元二次方程不总有实数根.

【题组三求含有量词的参数】

1.（2021•湖南）（多选）命题“Ite[1,2],好<。”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>lB.a>4C.a>—2D.a=4

2.（2021•盐城市伍佑中学高一开学考试）（多选）命题"”为真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.a>4B.a<4C.a>5D.a>6

3.（2021•莆田第二十五中学高一期末）（多选）命题"Vxw[l,3],f―a<o”是真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.a>8B.a>9C.a>10D.a>ll

4.（2021•海南）若“*e[-1,2],公一根〉1"为假命题，则实数加的最小值为.

5.（2021•山西太原市）若命题“VxeR,/+依+120”是假命题，则实数。的取值范围是.

6.（2021•玉林市育才中学）若命题“王:«0,+8）,使得依〉龙2+4成立”是假命题，则实数。的取值范

围是■

7.（2021•全国高三专题练习（理））已知命题“VxeR,奴2-奴+1〉0”为真命题，则实数。的取值范围

是.

8.（2021•山东潍坊市•高一期末）若“BxeR,三一翻一2a<。”的否定是真命题，则实数a的取值范

围是•

9.（2021•安徽宣城市•高一期末）若命题f一2%+。<。”是假命题，则实数。的取值范围是

10.（2021•湖南长沙市•明达中学高一期末）已知命题pT/eR,闻2+叽+0<0是假命题，则实数。的

取值范围是.（用区间表示）

11.（2021•云南大理白族自治州•宾川四中高一开学考试）若命题mxeA,*+4%+1<0为假命题，则实数

力的取值范围是.

12.（2021•江苏省赣榆高级中学高一月考）若命题使得f+（a—1）%+1<0成立是真命题，则实

数。的取值范围是.

13.（2021咬徽淮南市•高一期末）若“上yR,炉+2x+a<0”是假命题，则实数。的取值范围是.

14.（2021•莆田第十五中学高一期末）若命题“*eR,2f+2℃+1<0”是假命题，则实数。的取值

范围是.

15.（2021•湖南长沙市•雅礼中学高一开学考试）已知命题“七6尺加/-x+l<0”是假命题，则实数

m的取值范围是.

16.（2021•高邮市临泽中学高一月考）若命题“t0c[—1,2],为假命题，则实数a的最小值

为.

17.（2021•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）“mmeA,使得方程m2%+1=0有两个不同

的实数解”是真命题，则集合A=

答案与解析

1.5全称量词与存在量词（精练）

【题组一判断全称、特称量词命题的真假】

1.（2021•三亚）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（）

A.对任意的。、beR,都有标+"一2a—2b+2<0

B.菱形的两条对角线相等

C.MXGR,4^=X

D.正方形是矩形

【答案】D

【解析】对于A选项，命题“对任意的。、b^R,都有储+〃—2a—2b+2<0”为全称命题，

fi«2+&2-2fl-2Z?+2=（fl-l）2+（&-l）2>0,该命题为假命题；

对于B选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题；

对于C选项，命题“VxeH,=为全称命题，当x<0时，岳=—x,该命题为假命题；

对于D选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题.

故选：D.

2.（2021•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）

A.实数都大于0B.梯形两条对角线相等

C.有小于1的自然数D.三角形内角和为180度

【答案】D

【解析】A.实数都大于0,是全称量词命题，假命题；

B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题；

C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；

D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.

故选：D

3.（2021•安徽六安市•高一期末）下列四个命题，真命题的是（）

A.\/XEQ,X2-1=0B.3xeZ,5x-l=0

C.3xeA^,1<4x<3D.Vxe7?,x2+x+2>0

【答案】D

【解析】对于A项，只有尤=±1时，i=o才成立，则A错误；

对于B项，5x-l=0,解得x=^eZ,则B错误；

5

13

对于C项，由1<4]<3,解得一<x<一,则C错误；

44

对于D项，判别式A=12-4xlx2<0，则VxeR,/+^+2>0,则D正确；

故选：D.

4.（2021•合肥市）下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（）

A.乃是无理数B.3x0^N,使2%为偶数

C.对任意XGR,都有必+2%+1>0D.所有菱形的四条边都相等

【答案】D

【解析】对于A,是特称命题；

对于B,是特称命题，是假命题；

对于C,是全称命题，ffijx2+2x+l=（x+l）2>0,所以是假命题；

对于D,是全称命题，是真命题，

故选：D

5.（2020•深圳科学高中高一期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A.3x>l,X2-2X-3=0B.存在*eN,使得2x为偶数

C.所有菱形的四条边都相等D.乃是无理数

【答案】C

【解析】A：Vx>1,X2-2X-3=0;是全称量词命题，但为假命题；

B：3x&N,使2x为偶数，是特称量词命题；

C：任意菱形的四条边都相等，是全称量词命题，也是真命题；

D：乃是无理数，为不含量词的命题；

故选：c

6.（2021•云南昆明市）已知集合在{x|x\O},集合庐{x|x〉l},则以下真命题的个数是（）

①比eA,x0gB；②丸eB,x0gA；③X/xeA,xGB；④VxeB,xG4

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】BA，：.3x0^A,x0^B,正确，故①正确；VxeB,xeA,故②不正确，③不正确，④

正确，所以正确的有2个.故选：C

7.（2021•宁乡市）下列命题为真命题的是（）

A.Bx0eR,氐<0

2

B.VxeR,%+2%+1>0

C.“3x0e/?,2%>x；”的否定为“Vx0e7?,2%<x；"

D."PXGR,2“〈炉”的否定为“VXGH,2X<x2"

【答案】B

【解析】对于A,由二次根式的性质可得故A错误；

对于B,VxeR,x2+2x+l=（x+l）2>0,故B正确；

对于C,命题“玉0©尺，2%>片”为特称命题，故其否定为“VxeH,2“W九2”，

故C错误；

对于D,命题“VxeH,2X<九2”为全称命题，故其否定为“eR,2V>x2”，

故D错误.

故选：B.

8.（2021•浙江杭州市）下列是全称命题且是真命题的是（）

A.X/x&R,x2>0B.\/x,y&R,x2+y2>0

C.VxeQ,—eQD.3x0eZ,>1

【答案】C

【解析】A选项，VxeR,必>。是全称命题，但％=0时，f=0,所以是假命题;

B选项，Vx,yeR,x?+y?〉0是全称命题，但x=y=O时，%2+y2=0,所以是假命题；

C选项，VxeQ,必6。是全称命题，且是真命题；

D选项，3x0GZ,XQ>1是特称命题；

故选：C.

9.（2021•鱼台县第一中学高一月考）（多选）下列命题中真命题是（）

A.VxeH,2X2-3x+4>0B.YxsR,2%+l>0

C.至少有一个实数x,使炉<0D.两个无理数的和必是无理数

【答案】AC

【解析】对于A选项中不等式2必—3X+4>0,其对应二次函数y=2f-3x+4开口向上，且

△=（—3）2—4x2x4=9—32=—23<0,所以不等式2好—3x+4>0恒成立，故A选项正确.

对于B选项，X=—2时，2x+l<0,所以B选项错误.

对于C选项，x=0时，%2<0，所以C选项正确.

对于D选项，2-&,2+JI都是无理数，但2-后+2+夜=4是有理数，所以D选项错误.

故选：AC

10.（2021•全国高一课时练习）判断下列存在量词命题的真假：

（1）有些实数是无限不循环小数；

（2）存在一个三角形不是等腰三角形；

（3）有些菱形是正方形；

（4）至少有一个整数%“2+1是4的倍数.

【答案】（D真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.

【解析】（1）实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如冬e等.故为真命题.

（2）等腰三角形有两条长度相等的边，但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.

（3）四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.

（4）假设有一个整数%/+1是4的倍数,则因为九2+1能被4整除，故"+1为偶数，故/为奇数,故〃为奇

数.设九=24+1,左wN,则/+i=4尸+4k+2,故r+1除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数",

使得〃2+1是4的倍数.故为假命题.

【题组二命题的否定】

1.（2021•江西）已知命题p：Vx>0,x+—>4A/5,则2的否定为（）

X

20）/-20r~

A.3x0<0,x0H---<4v5B.\/x>0,xH---<4yl5

%X

20/-20,f-

C.Vx<0,x-\---<4。5D.3x0>0,x0H---<4,5

Xxo

【答案】D

【解析】先变量词，将“V”改为“三”，再改结论，将“x+2N火”改为“七+竺<4否”,

%/

20/T

则〃的否定为：3x>0,%+——<4,5.故选：D.

xo

2.（2021•浙江高一期末）命题“对VXEA,都有的否定是（）

A.3XG7?,X2+X>1B.VxeT?,都有

C.3XG/?,X2+X<1D.3X^7?,X2+X<1

【答案】C

【解析】因为原命题为“对\/%£尺，都有炉+%>1"，所以其否定为故选：C.

3.（2021-浙江高一期末）已知命题〃：\/%£氏，5二^<1，则（）

A.—p:3%e1?,A/1-X2>1B.—p：VxG7?,yjl-x2>1

C.—）p:3%e/?,\ll-x2>1D.—p：Vxe/?,1l-x1>1

【答案】C

【解析】因为p：PxsRJI—X2Wl，所以—>],故选：c.

4.（2021•浙江高一期末）设命题p：ax£Z,/22%+l,则〃的否定为（）

A.VxZ,x2<2x+lB.VxGZ,x2<2x+l

C.3xZ,x2<2x+1D.BxeZ,%2<2x

【答案】B

【解析】命题0：玉:eZ,x?22x+l,则夕的否定为：VxeZ,x?<2x+l.故选：B

5.(2021•全国高二专题练习)命题“也>1,2*-1>0”的否定是()

A.Bx>l,2A-l<0B.Bx<l,2x-l>0

C.V%>1,2l-1<OD.V%>1,2x-l>0

【答案】A

【解析】根据全称命题的否定是特称命题得，该命题的否定为五>1,2v-l<0.故选：A.

6.(2021•全国高一课时练习)将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并

写出它们的否定：

(1)平行四边形的对角线互相平分；

(2)三个连续整数的乘积是6的倍数；

(3)三角形不都是中心对称图形；

(4)一元二次方程不总有实数根.

【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相

平分；

(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数；

(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形；

(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.

【解析】(1)任意一个平行四边形，它的对角线互相平分；

它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分；

(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数；

它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数；

(3)存在一个三角形不是中心对称图形；

它的否定:所有的三角形都是中心对称图形；

(4)存在一个一元二次方程没有实数根；

它的否定:任意一元二次方程都有实数根.

【题组三求含有量词的参数】

1.（2021•湖南）（多选）命题“Ice[1,2],/<a”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>lB.6Z>4C.a>—2D.a=4

【答案】BD

【解析】命题“mxe[1,2],J<a"等价于a21,即命题“七e\l,2],x2<a^^为真命题所对集合为[1,”），

所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于口,内），显然只有[4,+8）口,+8）,{4}

所以选项AC不符合要求，选项BD正确.

故选：BD

2.（2021•盐城市伍佑中学高一开学考试）（多选）命题"Vxe[l,2],x2_a<0”为真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.a>4B.a<4C.a>5D.a>6

【答案】ACD

【解析】命题“Vxe[l,2],x2—aw。”为真命题，

可化为Vxe[l,2],aN]2,恒成立，

即为真命题的充要条件为。24,

故其充分不必要条件即为集合{a\a>4\的真子集，

由选择项可知CD符合题意.

故选：ACD.

2w

3.（2021•莆田第二十五中学高一期末）（多选）命题"Vxw[l,3],x-fl<0是真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.a>8B.a>9C.a>10D.a>ll

【答案】CD

【解析】由题意，命题"Vxe[l,3],好―aWo”是真命题，

即V—a<0在％e[1,3]上恒成立，即a2/在^[1,3]上恒成立，

又由（/）2=32=9,即。》9，

结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C、D.

故选：CD.

4.（2021•海南）若[-1,2],必一根〉〃，为假命题，则实数加的最小值为.

【答案】3

【解析】因为“Ite[—1,2],%>i”为假命题，所以/—根<「，为真命题，所以

—1对xe[-l,2]恒成立，即加之=3.

故答案为：3.

5.（2021•山西太原市）若命题“X/xeR,/+依+120”是假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】y,-2）U（2,+a5）

【解析】VxeR,x2+«x+l>0<=>A=tz2-4<0^>ae[-2,2],

故若命题“VxeR,/+公+120”是假命题，贝iJae（Yo,—2）_（2,收）

故答案为：（-«>,-2）（2,入）

6.（2021•玉林市育才中学）若命题“王:«0,+8）,使得依>光2+4成立”是假命题，则实数。的取值范

围是■

【答案】（y,4]

【解析】若命题“mce（O,+8）,使得公>必+4成立”是假命题，

则有“Vxe（O,+8）,使得依wd+4成立”是真命题.

4/4、

即——,贝--,

XVx/min

又x+&N2j?=4,当且仅当尤=2时取等号，故aW4.

X

故答案为：（T»,4]

7.（2021•全国高三专题练习（理））已知命题“VxeR,以2—奴+1〉。”为真命题，则实数a的取值范围

是.

【答案】[0,4）

【解析】由题意得不等式以2—⑪+1>。对xeR恒成立.

①当。=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意.

C〃>0

②当。wO时，若不等式办2一办+1>。对XER恒成立，贝叶,

A=〃-4a<Q

解得0<a<4.

综上可得：0Ka<4,所以实数。的取值范围是［0,4）.

故答案为：［0,4）.

8.（2021•山东潍坊市•高一期末）若“3xeR,f—翻一2々<。”的否定是真命题，则实数a的取值范

围是______.

【答案】［-8,0］

【解析】由已知“VxeR,/—2a20”为真，故♦=〃+84<（）,解得—8WaW0,

故答案为：［-8,0］

9.（2021•安徽宣城市•高一期末）若命题“3xeR,三一2%+4<。”是假命题，则实数a的取值范围是

【答案】a>l

【解析】因为“BxeR，V—2x+a<0”是假命题，所以VxeH,V—2x+a>0恒成立.

所以4—4。<0,解得a>l.

故答案为：«>1.

10.（2021•湖南长沙市•明达中学高一期末）已知命题。：闻2+啄+a<0是假命题，则实数a的

取值范围是.（用区间表示）

【答案】0WaW4

【解析】因为命题。：三/eR,与？+也+a<0是假命题，

所以命题VxeR,X?+av+a20是真命题，

即不等式f+ar+a20对任意xeR恒成立，

所以只需八=储—4a<0，解得0WaW4,

11.（2021•云南大理白族自治州•宾川四中高一开学考试）若命题mf+4”+l<0为假命题，则实数

m的取值范围是.

【答案】—<m<—

22

【解析】由命题mxRR,*+4勿x+1VO为假命题，则VR,*+4勿x+120为真命题，

则/=(4而2—4W0,解得：-工4用4工，