高中数学复习：全称量词与存在量词 讲义（必修第一册）

1.5全称量词与存在量词(精讲)

思维导图

全称量词…短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词

全称量全称命题°含有全称量词的命题

词与全

形如“对M中的任意一个X,有p(x)成立”的命题，

称命题

符号表示入用符号简记为Vx£M,p(x)

------------------------------------:--------------------------

存在量词°短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词

特称命题八含有存在量词的命题.

存在量-------------<9"

词与特形如“存在M中的元素xo,使p(x0)成立”的命题，

称命题

符号表示入用符号简记为mxoGM,p(xo).

-------------

全

全

称

称

命

量全称命题PVxGMp(x)

t题

词

的

否

与

全称量词变对结论进定

是

存为存在量词行否定

特

在

称

G命

量它的否定r3«oMrp(4o)

题

词

特

称

命

特称命题P

3x0^Mtp(x0)题

的

>否

对结论进

存在量词变定

为全称量词行否定是

全

称

命

全称它的否定"V4£Mt->p(x)

题

与特

称命

题的

2不等式

否定ax+bx+c

a=0=>代入计算

[V(恒成立)：开口、A

|3(存在)：分离参数与无参函数的最值

/参数与无参函数的最值问题

xgR:分离参数法V;大于最大，小于最小

3：大于最小，小于最大

常见考法

全

称考点一判断全称、特称量词命题的真假

量

词

与

存

在

量

词

考点一判断全称、特称量词命题的真假

【例1-1](2021•全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假：

(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数；

(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

(3)对任意负数x,X2的平方是正数；

⑷梯形的对角线相等

【例1-2](2021•江苏无锡市•)有下列四个命题：

①PXGR,1+1〉0；

②V九wN,/〉o；

③*eN,x2<x；

@BxeQ,x2=2.其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【一隅三反】

1.（2021•山东潍坊市）（多选）下列命题中是假命题的是（）.

33

A.Vxe,x>0B.Hx0eR,x0=3

33

C.VxeQ,X>1D.Bx0&N,x0=3

2.（2021•淮安市）（多选）下列命题是真命题的有（）

A.3%G7?,x2>xB.R,x2>x

C.3%<0,x2-3x+2<0D.Vxe7?,x2+x+2>0

3.（2021•云南省云天化中学高一开学考试）（多选）下列命题正确的有（）

A.玉<0,X2-2X-1=0

B.m=0是函数=+〃欢+1为偶函数的充要条件

c.VxeH,E=X

D.x>l是（x—l）（x+2）>0的必要条件

4.（2021•浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（）

A.BxeZ,l<4x<3B.3xeZ,2x2-3x+l=O

C.VxeR,x2-1=0D.VxeR,x2+2x+2>0

考点二命题的否定

【例2-1]（2021•云南丽江市•高一期末）命题116尺/+1<0的否定是（）

A.\/XER,x2+1>0B.Bx&R,x2+l>0

C.VXG/?,X2+1>0D.3X&R,X2+1>0

【例2-2]（2021•全国高一单元测试）写出下列命题的否定：

(1)2x+lN0；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)"任何实数X都是方程5x—12=0的根;

(4),：有些分数不是有理数.

【一隅三反】

1.（2021•全国高三其他模拟）命题“V%>2,炉+2>6”的否定（）

A.3X>2,X2+2>6B.3x<2,x2+2<6

C.3X<2,X2+2>6D.3X>2,X2+2<6

2.（2021•四川遂宁市）设命题£氏君一3%+1<0,则一^为（）

A.Vxe??,x2-3%+1>0

B.3x0G7?,XQ-3x0+l>0.

C.Vxe7?,x2-3x+l<0

D.3x0e7?,-3%o+1<0.

3.（2021•黑龙江大庆市）命题“VXEA,V—l+2021>0”的否定是（）

A.3XQ£R,XQ2—XQ+2021<0B.3XQWR,—%。+2021<0

C.VxeT?,X2-^+2021<0D.Vxe/?,x2-x+2021<0

4.（2021•浙江高一期末）命题“Vxv0,x2+ax—i之o”的否定是（）

A.Bx>0,x2+tzx—1<0B.3x>0,x2+ax—1>0

C.3x<0,x2+ax—1<0D.3x<0,x2+ax—1>0

考点三求含有量词的参数

【例4】（1）（2021•全国高一课时练习）若“IveR,有kW-下+1成立”是真命题，则实数人的取值范围

是____________

⑵（2021•黑龙江哈尔滨市）已知命题0:使得2x-IN-'是真命题，则实数加的最大值是____.

【一隅三反】

1.（2021•全国高三专题练习（文））若对也e[1,2],都有依2—%<0,则实数。的取值范围是.

2.（2021•安徽芜湖市•高一期末）已知命题。：“VxeR,26？+丘-§<0恒成立”是真命题，则实数左

的取值范围是.

3.（2021•江西）已知命题“存在xeR,使依？-x+2W0”是假命题，则实数。的取值范围是.

4.（2021•福建高一期末）若命题“VxeR,x2+2na+m+2»0”为真命题，则加的取值范围是

5.（2021•河北）己知4=卜|/一8X-2OW。｝,5=1x||x-m|<21

⑴若“Me/,使得为真命题，求力的取值范围；

（2）是否存在实数出使是“底8”必要不充分条件，若存在，求出〃的取值范围；若不存在，请

说明理由.

答案与解析

考点一判断全称、特称量词命题的真假

【例1-1](2021•全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假：

(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数；

(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

(3)对任意负数x,X2的平方是正数；

⑷梯形的对角线相等

【答案】(1)真命题;(2)真命题；(3)真命题;(4)假命题.

【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.

(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.

(3)对任意负数％<0,不等式两边同时乘以负数％有炉>o.故为真命题

(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.

【例1-2】(2021•江苏无锡市•)有下列四个命题：

①WXGR,7?+1>0!

②VxeN,x2>0；

③HreN,x2<x；

④=2.其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，X/x&R,+1>1>0故命题成立；

对于②，显然当X=O时满足xeN,但f=0,故命题为假；

对于③，显然X=O时满足xeN,02Vo成立，故命题为真；

对于④，f=2的实数根为工=土0，是无理数，故命题为假.

综上，真命题的个数为2.

故选：B.

【一隅三反】

1.（2021•山东潍坊市）（多选）下列命题中是假命题的是（）.

33

A.\/x&R,x>0B.3x0eR,x0=3

3

C.VxeQ,X>1D.Bx0&N,xj=3

【答案】ACD

【解析】取尤=-—，x3=—<0,所以选项A,C不正确；

28

由/3=3得/=再是无理数，所以选项B正确，选项D不正确，

故选：ACD

2.（2021•淮安市）（多选）下列命题是真命题的有（）

A.3%e7?,x2>xB.Vxe7?,%2>x

C.3%<0,x2-3x+2<0D.Vxe7?,x2+x+2>0

【答案】AD

【解析】对选项A,当x=2时，满足*eR,x2>x,故A为真命题；

对选项B,当x=g时，不满足VxeR,x?〉x,故B为假命题；

对选项C,X2-3X+2<0.解得1<%<2,

所以不满足mxvO,——3x+2<0,故C为假命题.

对选项D,因为X2+X+2=[X+_L]+1>0恒成立，

I2J4

所以满足Vxe尺,犬+工+2>0,故D为真命题.

故选：AD

3.（2021•云南省云天化中学高一开学考试）（多选）下列命题正确的有（）

A.玉<0,X2-2X-1=0

B.m=0是函数/（%）=必+〃欢+1为偶函数的充要条件

C.X/xGR,=x

D.x>l是（x—l）（x+2）>0的必要条件

【答案】AB

【解析】对于A,工2—2x—1=0,解得％=生垂=1土虚，所以土<0,X2-2X-1=0.所以A正确；

2

对于B,“加=0”时，函数〃力=/+1是偶函数，“函数〃力=/+叩+1是偶函数时，由/（—力=/（“

得到m=0,故B正确.

对于C,4r=国，所以VxeR,4r=工不正确，所以C不正确.

对于D,x>l可得（X—1乂l+2）>0,反之不成立，所以D不正确.

故选：AB.

4.（2021•浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（）

A.3xeZ,l<4x<3B.3xeZ,2x2-3x+l=0

22

C.VxeR,x-1=0D.VXGR,x+2x+2>0

【答案】AC

13

【解析】A.由I<4xv3,得一<xv—,故错误；

44

B.由2f—3%+1=0得：x=,或尤=1,故正确；

2

C.由％2一1=。得：X=±lf故错误；

D.由丁+2尤+2=（工+1）2+1>0,故正确；

故选：AC

考点二命题的否定

【例2-1］（2021•云南丽江市•高一期末）命题引6尺/+1<0的否定是（）

A.VxeT?,x2+1>0B.x2+l>0

C.VxeT?,x2+l>0D.3xe/?,x2+l>0

【答案】A

2

【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题U3XG/?,X2+1<0"的否定是"VxeR,x+l>0

故选：A

【例2-2】（2021•全国高一单元测试）写出下列命题的否定：

⑴pHxeR,2%+1>0:

⑵P：所有自然数的平方都是正数；

⑶口任何实数X都是方程5x—12=0的根；

（4）/2：有些分数不是有理数.

【答案】（l）［p：VxeR,2%+1<0；（2）可：有些自然数的平方不是正数；（3）可：存在实数x不是方

程5x-12=0的根；（4）一切分数都是有理数.

【解析】（l）［p：VxeR,2x+l<0；

（2）可：有些自然数的平方不是正数；

⑶「P:存在实数x不是方程5%—12=0的根；

（4）可：一切分数都是有理数.

【一隅三反】

1.（2021•全国高三其他模拟）命题“Vx>2,f+2>6”的否定（）

A.BX>2,X2+2>6B.3x<2,x2+2<6

C.3X<2,X2+2>6D.3X>2,X2+2<6

【答案】D

【解析】因为原命题“也>2,必+2〉6"，所以其否定为“王〉2,f+246”，

故选：D.

2.（2021•四川遂宁市）设命题夕与不€氏只一34+1<0,则-］?为（）

A.VxeJ?,x2-3x+1>0

B.3x0&R,XQ-3xa+1>0.

C.Vxe7?,x2-3x+1<0

D.3x0e7?,XQ-3x0+1<0.

【答案】A

【解析】命题。：三/eR,^-3x0+l<0,

由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论,

则一P为：\/XER,x2-3x+l..O.故选：A.

3.（2021•黑龙江大庆市）命题“VxeH,V—%+2021>0”的否定是（）

—2

A.3XQeR,XQ~XQ+2021<0B.3XQeR,x0—+202IWO

C.VxeH,X2-X+2021<0D.\/XER,X2-X+2Q21<Q

【答案】B

【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，

22

可得命题7XGR,X-X+2Q21>0”的否定是“3x0e7?,x0-x0+2021<0

故选:B.

4.（2021•浙江高一期末）命题“VxvO,/+0—120”的否定是（）

A.3x>0,x2+ax—1<0B.Bx>0,x2+ax—1>0

C.3x<0,x2+ax—1<0D.<0,x2+ax—1>0

【答案】C

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“Vxv0,x2+5-120”的否定是

"3x<0,x2+—1<0.

故选:C

考点三求含有量词的参数

【例4】⑴（2021•全国高一课时练习）若“Ite氏有左W-x'+l成立”是真命题，则实数%的取值范围

是____________

⑵（2021•黑龙江哈尔滨市）已知命题?：”也之3,使得2x-l*7”是真命题，则实数加的最大值是—.

【答案】⑴左W1（2）5

【解析】（1）由题意可得左4（-尤2+1）而，函数y=—V+1的最大值为1,.♦.左《I.故答案为：k<l.

（2）当时，2xN6=2x—125,

因为“使得2x-1上机”是真命题，所以加45.故答案为：5

【一隅三反】

1.（2021•全国高三专题练习（文））若对Vxe[1,2],都有依2—x〈o,则实数a的取值范围是.

…冬J1]

【答案】I

【解析】因为Vxe[l,2],都有加7<0,所以\/尤«1,2],都有avL令g（x）=L%e[l,2],因为

X兀

g（x）=L在XG[1,2]上单调递减，所以且⑺而小且⑵二卜所以

即实数a的取值范围是;

故答案为：1一°°，5

3

2.（2021•安徽芜湖市•高一期末）已知命题P：“VxeR,269？+丘-§<0恒成立”是真命题，则实数左

的取值范围是

【答案】（—3,0]

,3一

【解析】已知命题。："VxeR,2kx"+kx<0恒成立"是真命题.

8

3

当左=0时，则有——<0恒成立，合乎题意;