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文档简介
华师2024届高三数学独立作业(1)
一、单选题
1,已知集合/==2w,〃ez}B=x=3/7+l,nez},则=)
A.x=6n+2,neZ)B.x=6〃+4,〃ez}
C.x=3??+l,neZ)D.x=3"+2,〃wzl
2.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成两排拍合照,每排3人,要求甲不站在前排,且乙、
丙2人相邻,则不同的排队方法共有()
A.24种B.48种C.72种D.96种
2
3.设口B是两个单位向量,若3+3在5上的投影向量为国5,则cos住曰=()
A.-1B.1C,一任D.出
3333
4,已知(3x-l)5=a+ax+axi+•+axs,则网+因+…+网=()
A.1024B.1023C,1025D,512
5,函数了=x(sinx-sin2x)的部分图象大致为()
6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析,数学成绩X近似服
从正态分布N(72,82),则数学成绩位于[80,88]的人数约为()
参考数据:P(P-o<X<p+o)=0.6827,P(|J-2o<^<p+2o)^0.9545,
P(|J-3o<^<p+3o)=0.9973.
A.455B.2718C.6346D.9545
7.已知公差不为零的等差数列3}满足“+«=«+1,且。,a,a成等比数列,则。=()
n2782482023
第1页共5页
A.2023B.-2023C.0D,
8.已知定义域为R的函数/(x),其导函数为尸(x),且满足/(x)-2y(x)<0,/(0)=1,
则()
A.e2/(-l)<lB./(I)>e2
二、多选题
9.已知复数Z的共轲复数为N,则下列说法正确的是()
A.Z2=|z|2B.z+z•一定是实数
C.若复数Z,z满足|z+z|=|z-zI则2.z=0
12112lI12l12
D.若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数
10,已知正三棱柱的各棱长都为1,£为的中点,则()
A.咐//平面/产B.二面角斗一g-N的正弦值为坐
C.点A到平面//J的距离为卓
D.若棱柱的各顶点都在同一球面上,则该球的半径为包
6
11.如图,已知双曲线:m-匕=1的左右焦点分别为尸,F,以尸尸为直径的圆与双曲线
41212
在第一象限交于点5连接8勺,BF,与双曲线左支交于点尸,与渐近线分别交于点
,4
C.过厂的双曲线的弦的长度的最小值为8D.点3到两条渐近线的距离的积为上
25
12.如图,曲线C:X2=2y的焦点为尸,直线/与曲线C相切于点尸(异于点。),且与x轴,
第2页共5页
y轴分别相交于点£,T,过点尸且与/垂直的直线交>轴于点G,过点P作准线及y轴的
则下列说法正确的是()
切线/的方程为2》一2y一3=0
B.无论点p(异于点O)在什么位置,,都平分〃尸7
C.无论点~异于点。)在什么位置,都满足吓=4/[叩
D.无论点P(异于点。)在什么位置,都有|尸勺[G叫<|PG|.产叫+\GF\-\PM\成立
三、填空题
13.人群中患肺癌的概率约为0.1%,在人群中有15%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.5%,
则不吸烟者中患肺癌的概率是.(用分数表示)
一注普2sin20°-cosl0°
14.计算:-------------=
sin10°
15.已知三棱锥尸-/8C的三条侧棱两两垂直,且其外接球半径为2,则S+S+S
△PAB.PACAPBC
的最大值为.
16.如图,已知抛物线Cy2=2x,圆E:+产=4,直线04,分别交抛物线于
A,8两点,且直线。/与直线。8的斜率之积等于-2,则直线N8被圆£所截的弦长最小
四、解答题
第3页共5页
17.已知数列J}(“eN)满足。=1,a=空±。,且方=土.
«+1n+177nnn
(1)求数列0}是通项公式;(2)求数列L}的前〃项和S.
a史-sinA
18.已知△4BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且用=n=(cosC,c),
,3
b=m-n(1)求角/的大小;(2)若a=3,求的周长£的取值范围.
19.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,通过对数据的收集、
整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画,来帮助人们作出合理的决策.
⑴现有池塘甲,已知池塘甲里有50条鱼,其中/种鱼7条,若从池塘甲中捉了2条鱼.用E
表示其中/种鱼的条数,请写出E的分布列,并求E的数学期望E(E)
(2)另有池塘乙,为估计池塘乙中的鱼数,某同学先从中捉了50条鱼,做好记号后放回池塘,
再从中捉了20条鱼,发现有记号的有5条.
(1)请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
(ii)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法一最大似然估计,其原理是使用概率模
型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树,即在什么情况下最有可能发生已知的事
件.请从条件概率的角度,采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
20.如图,在直角梯形48。中,ADUBC,ADLCD,四边形C£>E尸为平行四边形,对
角线CE和。尸相交于点H平面C/历尸J_平面/BCD,BC=2AD,NDCF=60。,G是线
段BE上一动点(不含端点).
(1)当点G为线段BE的中点时,证明:/G〃平面COM;
(2)若4D=1,8=DE=2,且直线DG与平面CO斯成45。角,求二面
角E-DG-尸的正弦值.
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21.已知函数/■(尤)=a,+sinx的图象在点(0J(0))处的切线与y轴垂直
⑴求实数。的值.
⑵讨论/Q)在区间(-兀,无)上的零点个数.
22.已知。为坐标原点,F(-1,O),<(1,0)是椭圆£的两个焦点,斜率为1的直线(与E交
于A,B两点,线段A8的中点坐标为&,-g),直线:过原点且与E交于C,D两点,椭
圆E过C的切线为%的中点为G.
⑴求椭圆E的方程.
⑵过G作直线彳的平行线:与椭圆石交于/,N两点,在直线/,上取一点。使西=用,
求证:四边形MQNC是平行四边形.
⑶判断四边形MQNC的面积是否为定值,若是定值请求出面积,若不是,请说明理由.
第5页共5页
参考答案:
1.B
【分析】根据题意,化简集合48,然后由交集的运算即可得到结果.
【详解】由题意可得,集合Z={x|x=2〃,〃ez},即集合A中的元素是2的倍数,
集合8={x|x=3〃+1,〃ez},即集合B中的元素是3的倍数余1,
故/C5既是2的倍数,又是3的倍数余1,
所以AcB={x\x=6n+4,nez}
故选:B
2.D
【分析】根据给定条件,利用两个计数原理结合位置关系及相邻问题列式计算作答.
【详解】求不同排除方法数有两类办法:
乙丙站前排,有C;种方法,甲站后排有C;种方法,排余下3人有A;,乙丙的排列有A;种,
不同排法数为Cf;A拦种,
乙丙站后排,有Ci种方法,甲站后排有1种方法,排余下3人有A3,乙丙的排列有A2种,
232
不同排法数为C;A汽种,
所以不同的排队方法有:C.CIA3A2+CIA3A2=96(种).
故选:D
3.A
【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.
【详解】〔.4+6在万上的投影向量为
。+5)石52r
____=,___•_^_=_b,
⑸网3
1rr
,5=飞,又点3是两个单位向量,即同=「卜1,
故选:A.
4.B
答案第1页,共16页
[分析]利用赋值法得到。。=7,+«-a=(-3-1>=-1024,结合二项式展
开式的系数正负得到因+|*|+…+巴|的值,进而求出答案.
5
[详解](3x-1)=a+ax+a%2+…+ax5中,令x=0得a=-1
…*0125o
(3x-l1的通项公式T=C,(3x)5—(-l)"故a,a,a<0,a,a>0,
5
'=a+QX+4X2+…+4X5中,
x=—1,彳导a--u+。—a—(—3-11=11024,
所以网+因+…+1(7I——(〃—a+Q—Q+Q-Q)=1024
5)012345
又因=1,所以囱+因+…+网=1023.
故选:B.
5.C
【分析】判断函数的奇偶性,再用赋值法,排除ABD,即可.
【详解】由了=/(无)=x(sinx-sin2x),
得/(-x)=-x[sin(-x)-sin(-2x)]=-x(-sinx+sin2x)=/(尤),
所以/(x)为偶函数,故排除BD.
当x=g时,了=/=(sin-Sin7t)=>0,排除A.
故选:C.
6.B
【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80,88]的人数.
【详解】由题意可知,P=72,0=8,P(80<X<88)=P(M+O<X<M+2O)
=;[尸(p-2。vXsM+2O)-P(p-a<X<|J+O6.9545-0.6827i0.1359
则数学成绩位于[80,88]的人数约为0.1359x20000=2718.
故选:B
7.A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组,即可求解.
【详解】设等差数列{1}的首项为«-公差为d,
答案第2页,共16页
贝"a+a=a+1<=>2tz+7d=a+7d+l,a—1,
278111
因为《成等比数列,所以“厂好,即(1+3办=(1+据+7力
因为dwO,所以d=1,
所以。=a+(2023-1)x</=2023.
“I八20231
故选:A
8.C
【分析】构造函数g(x)=£@,由/'(x)-2/(x)<0得g,Q)<0,进而判断函数g(x)的单调
C2x
性,判断各选项不等式.
,
f(r)(\/(x)-e2x-2/G)e2x/1G:)-2/(t)
【详解】g(%)=・,贝1Jg(、)=————=一一,
因为/'(x)-2/(x)<0在R上恒成立,
所以g'(x)<0在我上恒成立,
故gQ)在R上单调递减,
所以g(-l)>g(O),、'(I=e2/(-l)>/。)=1,故A不正确;
''e-2eo
所以g(l)<g(0),即gp/(l)<e2/(0)=e2,故B不正确;
C2eo
g@)<g(。),即£^)<也=1,即e,故C正确;
'eieo
g@)>g(i),即/Q)j(i),即/(i)〈炉Q),故D不正确;
eie2
故选:c.
9.BD
【分析】根据复数与共轲复数的概念、复数的运算逐项判断即可.
【详解】当复数z=i时,Z2=-1,|邛=1,故A错;
设z=〃+Z?i(a,beR),则亍=〃—6i,所以2+亍=2QER,故B对;
设2=〃+Z?i(a,bGR)Fz=a+/?i(a,beR),
1111122222
由|z+z|=|z-zI可得|z+z|2=(Q+a)2+(b+b)2=\z-z|2=Q-a>+(6-b)2,
田I12I112II12I1212I12I1212
答案第3页,共16页
所以学「叱=。,
而zz=(a+6i)(a+bi}=aa—bb+{ab+ba)i=2aa+{ab+ba)i,不一■定为0,故C
J12112212121212121212一-,、
错;
设z=a+Z?i(Q,GR),贝[]Z2=。2—/?2+0bi为纯虚数.
ai-bi=0网=14
所以2abw0,则LLo'故。对・
故选:BD.
10.ACD
【分析】A选项,连接《C,/,,使相交于R连接ER通过证明跖〃8,即可判断选项
正误;B选项,通过证明CE,平面/防4,可得二面角/「sc-/的平面角为a=/区4;
C选项,利用等体积法结合「可得答案;D选项,利用正弦定理,可得“3C外接圆半
11
径,后可得球的半径.
【详解】A选项,连接《C,/,,使相交于R连接ER因尸,£分别为中点,
则£尸〃3,,因EFu平面«C£,平面4CE,则8卬1平面/产C故A正确;
B选项,由题可得,平面N5C,又CEu平面/2C,则C£1又CE_L4B,
11
AAC\AB=A力/u平面AABB,ABu平面4ABB,则CE±平面AABB,
i'iiiiiii
又/fu平面44R8,则C£14E,结合CE1皿可知二面角4_£C—的平面角为
_AA_1_2事
a=N/E/,则sin01=於=丁丁=-故B错误;
11/I+-
V4
C选项,设点/到平面N/C/的距离为4取ZC中点为G,连接3G.
则忆=ls-BG=Lsd=V
B-AAC3^AAC3.ABCA-ABC'
i11i1i1i
又S=LAAAC=1BG=£BA=BC=^2,AC=1,由余弦定理可得
共21112121111
答案第4页,共16页
史
4回
1/7S-BG--
得S=-BA-BC•sinN/8C=L很111=-----£7故c正确.
.ABC211114S
11^ABC4
c1
2r=___=>r
D选项,设“BC外接圆半径为r,由正弦定理,木
~T
又设三棱锥外接球半径为火,则三棱锥外接球与以人必c匕外接圆为底面的圆柱外接
=叵.故D正确
球相同,则火=BB
6
11.AD
【分析】由1叱IT"1=2,若|=加>°结合已知可得加=2,设3(尤J)且X,y>°,应
用点在双曲线上、两点距离公式求B坐标,写出直线3,求出尸,W,N坐标,进而判断各项
的正误即可.
【详解】由题设I叱勺=2,若[瓦1二冽>0,贝[J|BF|=m+2,
1
BF\i+|BF\i=4。=20,即加2+2m-8=0,可得加=2,
2
工=芷
4)故父
若5(%/)且兀>>0,贝IJ产f可得
y=4
所以,直线8勺为了=3(尤+W),即x-2y+W=0,而渐近线为了=±2》,
2
所以“(一,则|5N产丁
x-30x-7p
4x2=4
-yi5丁’故千
,
又x-2y+y/5=0可得_4£(舍)或
y=—!—
,一丁15
答案第5页,共16页
所以|尸叫=2雅即|PM|=|BN|,A正确;而S=1勺=4,B错误;
令x=c=屈,则4x5-产=4,可得〉=±4,故过苒垂直于X轴所得弦长为8,
而过1和两顶点的直线,所得弦长为2,所以过苒的双曲线的最短弦为2,C错误;
3434
|2X_L-_L|C|-2X_L-_L|
由8到y=2x的距离为忑不=2,B到y=_2尤的距离为忑忑=2,
忑5事
4
所以B到两条渐近线的距离的积为5,D正确.
故选:AD
12.BCD
【分析】由题意,求导即可判断A,证明四边形尸尸7M为菱形即可判断B,由可尸丹・|。M=
41PMi.|ON|即可判断C,证明四边形G跟中为平行四边形,再结合基本不等式即可判断D.
【详解】因为曲线C:X2=2.y,即y=:X2,所以y=x,
设点%”),贝叱J",』。,
1
所以切线/的方程为>
当x=l时,切线方程为2x-2y-l=0,故A错误:
0
由题意尸U加屋小小-'1)
所以I尸叫=|叮|=/:+;,
因为PMUFT,所以四边形屏7加为平行四边形,
又归耳=|尸所以四边形尸尸7M为菱形,可得尸M平分角NP4,故B正确:
因为N(0,%),7(0,-{),
6fr|)lIPT\2=X2+4j2=2y+4”,
“'八0000
1
4产|憎|=4产叫0叫=4y4--\y=2y+4y2
02I000
所以|尸T|2=4产故C正确:
直线G尸方程:k-黄+'+1,可得G(O』+y0),所以|G牛9人,
0-
又「叫二4十;,所以G尸〃且尸勺=悭?|,
答案第6页,共16页
所以四边形G门呼为平行四边形,故忸G|=W"|.
田2+
|PG卜产叫+产叶,灼=烂邛+pFp=
2
,,,,\PF|2+GM|2
因为PG与G尸不垂直,所以归同w|GM|,所以!_LJ----'_>\PF\-\GM\,
gp\PF\\GM\<|PG|-\FM\+|GF||故D正确;
故选:BCD.
1
13-3W
【分析】设患肺癌为事件a吸烟为事件5由题有尸(/)=尸(5)p«p)+尸切AQ,),
即可得答案.
【详解】设患肺癌为事件4吸烟为事件8,则PQ)=0.1%,尸W=15%,
尸Q件)=0.5%尸G)=85%,不吸烟者中患肺癌的概率为PQ件)
又由全概率公式有尸(/)=p(2)p«p)+尸份》Q『),
则0.15x0.5%+0.85/(/,)=0.1%,解得pQ户)=3I0.
故答案为:3400
14.-73
【分析】把20。转化为30。-10。,利用差角的正弦公式化简即得解.
/\2|J-coslO0-2^,sinlO°I-cosl0°
【详解】原式_2sin(30O-l(F)-cosl0。—(22)一^sinlO。
―smi0°―smi0="sinlO°
=->/3
故答案为:一出
15.8
【分析】由长方体模型得出。2+62+C2=16,再由基本不等式得出最值•
【详解】设P4=a,PB=b,PC=c,因为三棱锥尸-/3C的三条侧棱两两垂直,
所以由长方体模型可知,JB+;+C2=2,即B+62+C2=16.
S+S+S=L(ab+ac+bc)<\-[^a2+bi\G2+02IL+a)=1x32=8,当且仅
△PAB^PACAPBC24L-I4
答案第7页,共16页
当“=Z)=c=¥时,取等号.
即的最大值为8.
故答案为:8
16.2^/3
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程,得出直线N8过定点(1,0),再利用直线与圆
的位置关系计算弦长确定最值即可.
【详解]设/(U),BG,/,,设,:7"X+7沙=1,又产=2x,=_P=2x(s+町),
(yY
/.yi-2nxy-2mx2=0,/.I_I|—,——2m=0
•—i-•—a.=k-k=—2m=—2m=1,
,,xxOAOB
12
直线45恒过点
当圆心E到动直线AB的距离最大时,即
当直线时,弦长最短,此时弦,最小为254_(2—1)2=2/.
故答案为:2/
17.(1)6=3”T
n
(2«-l)3„1
⑵——+4
【分析】⑴将。换为,仍代入。=^la中化简,根据定义即可判断以}为等比数列,
■.、/〃nn+1rinn
由首项公比写出通项公式即可;
答案第8页,共16页
(2)由(1)中的通项公式求得。,再利用乘公比错位相减得出前〃项和即可.
n
3〃+34c。
【详解】⑴解:因为a+1=r—a,所以;
〃+innn+1n
又b=,,所以%=j,所以.=3,又b=a=1,
nnn+\n+\Dii
n
所以数列3}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以6=3„-1;
nn
(2)由⑴知,b='=3〃-i,所以〃二〃Bi,
nn«
以S—1,3o+2*3i+3*32+4,3s+,•,+—1)3〃-2+n•3«-i,
n
3s=1-3i+2•32+3-3s+4-34H----F(〃—1)・3〃-I+n-3n,
n
两式相减可得:—2S=3o+3i+32+33+34+…+3—i
n
3〃-1।»(2〃-1)3〃1
所以-2S=.........-n,3n,故S=-------------+_.
〃2〃44
,TI
18.(1)A=_
(2)LG(6,9]
【分析】⑴由条件6=质•日可得6=acosC+4cs//,再结合正弦定理及三个角之间的关
系可得=进而求出/;
(2)利用余弦定理再结合基本不等式,求得3<6+cW6,即可得到周长工的范围.
【详解】⑴由题意庆=,«=(cosC,c\b=m-n.
所以6=acosC+2^csinA,
/3
由正弦定理,可得sinB=sinAcosC+J-sinCsinA,
因为5=TI-(4+C),所以sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,
又由。£(0,n),贝lJsinC>0,
整理得又因为/£(0,n),所以/二9.
(2)由(1)和余弦定理Q2=/?2+c2-2&ccos/,BP32=Z72+C2-2bccosh=b2+C2-bc,
即62+02-60=9,整理得(b+c)2-36c=9,
答案第9页,共16页
h+c
又由be<(―^―)2(当且仅当b=c=3时等号成立)
从而9工3+。)2-3(、S)2=;(6+c)2,可得b+c<6,
又6+c>a=3,;.3<6+cW6,从而周长£€(6,9].
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用,以及基本不等式求最值的应用,其
中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和
余弦定理,结合基本不等式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
19.⑴分布列见解析,£怎)=(
(2)(i)200;(ii)199或200
【分析】(1)根据超几何概率公式即可求解概率,进而得分布列和期望,
(2)根据抽样比即可求解总数,根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.
【详解】(1)E=0,1,2,
答=言尸(E=2)=3
尸(E=o)=
宴…=k
5050
故分布列为:
012
129433
P175175175
「缶、八129143c37
=Ox---+lx---+2x---=一.
(2)(i)设池塘乙中鱼数为加,则彳=言,解得机=200,故池塘乙中的鱼数为200.
(ii)设池塘乙中鱼数为〃,令事件8="再捉20条鱼,5条有记号”,事件0="池塘乙中鱼数为
n“
C5C15
则p,,=P(B\C)=,由最大似然估计法,即求最大时"的值,其中n65,
n
.p,_(7/-49)(Z7-19)
p(n-64)(〃+1)
n
当〃=65,198时^^>1,
n
当“=199时分=1,
n
答案第10页,共16页
当〃=200,201,…时v1
n
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
20.⑴证明见解析
【分析】(1)连接G〃,4G,由三角形中位线和边长关系可知四边形/DHG是平行四边形,
即可证明AGH平面CDEF,
(2)根据题意可知,以C为原点建立空间直角坐标系,可设居=入苑利用空间向量即可
表示出双,进而确定G点位置,再分别求得两平面的法向量即可得出二面角E-DG-b的
正弦值为半•
【详解】⑴证明:
连接G",/G,如下图(1)中所示:
因为四边形CD跖为平行四边形,所以77是CE中点,
又G点为线段3E的中点,则GH7/BC,且G〃=:8C,
又ADUBCaAD=;BC,所以G〃///Z),GH=/D,
所以四边形NDHG是平行四边形,所以4G//DH,
(2)以。为原点,C2,C。为X/轴,过C且在平面CDE厂内与。垂直的直线为,轴,建立
空间直角坐标系,如图(2)所示:
由平面CDEA_L平面48cZ),4)CF=60。,CO=DE=2可知,
YCDFNDEF均为边长为2的正三角形,
则有。(0,2,0),3(2,0,0),E(0,3,g)尸6,1,/),
答案第11页,共16页
设第=入苑=1-2入,3人,出人ZO<X<1
(一2人,3人,抬入)一(一2,2,0)=(2-2入,3入-2,4入),
贝IJ9=肘-彷=
9=(1,0,0)为平面CDEF的法向量,
解得入=:(其中入=0舍去)斯以G1,2,2^
设平面EQG的法向量为』=(1,々]),则有
fft-DE=(x,y,z)-Y),195A^=y+&=0
111*1,1
m-DG=(x,y,z=x-Ly+=0
iiii2i2i
令彳=1,贝IJ\==一3,故可取加=1r,-0,14
设平面FDG的法向量为「=(3匕/),则有
n-DF=(x,y,z)-C,-l,JT1-y+&=0
222V2Y2
H-DG=(x,y,z)-11,-J_,史=x-Ly+也彳=0
222(22J22222
令z=1,则x=0,y=73,故可取
222
所以cos(薜玛
所以二面角E-DG-F的正弦值为
/42
即二面角E-DG-F的正弦值为".
21.(l)a=-l
⑵/(x)在区间(-私兀)上的零点个数为2
【分析】⑴求出函数的导函数,依题意可得;"(0)=。,解得即可;
答案第12页,共16页
⑵由⑴知/(町=+sinx,求出函数的导函数,令机(x)=/(x),利用导数说明加(尤)
Qx
的单调性,即可得到/(无)在(-兀,0)上的零点情况,当xe(0㈤时,将/Q)变形得
/(x)=_L(e*sinx-x),令"x)=e,sinx-x,利用导数说明尸(无)的单调性,即可判断其零
e%
点个数,从而得解.
X]—X
[详解](D因为/(x)=a—+sinx,贝=——+cosx,
CxCx
由题意得,函数/■(♦的图象在点(oj(o))处的切线斜率为0,
即/'(0)=〃+1=0,解得。=一1.
xx—1
(2)由(1)矢口/(%)=_4+sinX,/(0)=0,f\x)=__+cosx
令加(x)=/F(x)=^__J-4-cosx,贝=_--sinx.
exe》
当xe(-兀,0)时,—>0,sinx<0,此时利(x)>0,/'(x)单调递增,
Qx
/'(x)</'(0)=-1+1=0,故函数/(x)单调递减,
所以〃x)>"0)=0,故函数/(Q在(-兀,0)上无零点.
当Xe(0㈤时,将/(X)变形得/(X)=——+Sinx=一(exsin尤-尤),
QxCx
设方(%)=e、sin)-),贝!I/'(%)=ex(sinx+cos%)—1,
设左(x)=e«sinx+cosx)—l,贝1左'(%)=2excosx,
易知当xe(0,3时,^(%)>0,当xeg,兀|时,k'(x)<0,
故人(x)在(0,3上单调递增,在0,兀)上单调递减,又发(0)=0,^)=e:-l>0,
左(兀)=-en-1<0,
故存在X。使左(,)=0,当xeQx。)时,k{x}>0,b(x)单调递增;
当xe(x,7t)时,左(x)<0,尸Q)单调递减,又尸(0)=0,故尸(x)>0,又F(兀)=-兀<0,
故函数/(X)在(0,x°)上没有零点,在(二严)上有1个零点•
综上所述,/G)在区间(-兀,兀)上的零点个数为2.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单
答案第13页,共16页
调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、
不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
22.⑴胃+”=1
(2)证明见解析
⑶定值,半
X2V2y
一+-=1
,1Q2bl[Lai+b^xi+Laimx+a2m2
【分析】⑴设/y=-x+m联立<-aibi=0
1U6J2
V=_X+"2
4
利用韦达定理结合。c关系,即可求出6=2,62=1,得出椭圆的标准方程.
(2)设。(",匕),“(”,乙),•(?,乙)/(与乙),由已知得”—为
GW]
根据过椭圆上任一点的切线斜率公式得出过C点的切线方程斜率为
一旦=-1,得出/,联立椭圆方程利用韦达定理和化简得出x==2上,夕=匕口_,
aiy2y4G2G2
cc
判断出G是九W的中点,又结合而=而,即可得证.
(3)设点C到直线4的距离为〃,结合(2)表示出儿W和〃,即可判断结果.
【详解】(1)由题知,设椭圆方程为一X2+1V2=1,
ai02
设/「k,忆屈X"),则c=l,
X2V2y
—+_=1
Q2blLai+hi1
联立<得X2+_a21
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