华师2024届高三数学独立作业(一)带答案

华师2024届高三数学独立作业（1）

一、单选题

1,已知集合/==2w,〃ez}B=x=3/7+l,nez},则=)

A.x=6n+2,neZ)B.x=6〃+4,〃ez}

C.x=3??+l,neZ)D.x=3"+2,〃wzl

2.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成两排拍合照，每排3人，要求甲不站在前排，且乙、

丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.96种

2

3.设口B是两个单位向量，若3+3在5上的投影向量为国5,则cos住曰=()

A.-1B.1C,一任D.出

3333

4,已知(3x-l)5=a+ax+axi+­­•+axs,则网+因+…+网=()

A.1024B.1023C,1025D,512

5,函数了=x(sinx-sin2x)的部分图象大致为()

6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服

从正态分布N（72,82）,则数学成绩位于［80,88］的人数约为（）

参考数据：P(P-o<X<p+o)=0.6827,P(|J-2o<^<p+2o)^0.9545,

P(|J-3o<^<p+3o)=0.9973.

A.455B.2718C.6346D.9545

7.已知公差不为零的等差数列3}满足“+«=«+1,且。,a,a成等比数列，则。=()

n2782482023

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A.2023B.-2023C.0D,

8.已知定义域为R的函数/(x),其导函数为尸(x),且满足/(x)-2y(x)<0,/(0)=1,

则()

A.e2/(-l)<lB./(I)>e2

二、多选题

9.已知复数Z的共轲复数为N,则下列说法正确的是()

A.Z2=|z|2B.z+z•一定是实数

C.若复数Z,z满足|z+z|=|z-zI则2.z=0

12112lI12l12

D.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

10,已知正三棱柱的各棱长都为1,£为的中点，则()

A.咐//平面/产B.二面角斗一g-N的正弦值为坐

C.点A到平面//J的距离为卓

D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为包

6

11.如图，已知双曲线：m-匕=1的左右焦点分别为尸，F,以尸尸为直径的圆与双曲线

41212

在第一象限交于点5连接8勺，BF,与双曲线左支交于点尸，与渐近线分别交于点

,4

C.过厂的双曲线的弦的长度的最小值为8D.点3到两条渐近线的距离的积为上

25

12.如图，曲线C：X2=2y的焦点为尸，直线/与曲线C相切于点尸(异于点。)，且与x轴,

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y轴分别相交于点£,T,过点尸且与/垂直的直线交＞轴于点G,过点P作准线及y轴的

则下列说法正确的是（）

切线/的方程为2》一2y一3=0

B.无论点p（异于点O）在什么位置,,都平分〃尸7

C.无论点~异于点。）在什么位置,都满足吓=4/［叩

D.无论点P（异于点。）在什么位置,都有|尸勺［G叫＜|PG|.产叫+\GF\-\PM\成立

三、填空题

13.人群中患肺癌的概率约为0.1%,在人群中有15%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.5%,

则不吸烟者中患肺癌的概率是.（用分数表示）

一注普2sin20°-cosl0°

14.计算：-------------=

sin10°

15.已知三棱锥尸-/8C的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2,则S+S+S

△PAB.PACAPBC

的最大值为.

16.如图，已知抛物线Cy2=2x,圆E：+产=4,直线04,分别交抛物线于

A,8两点，且直线。/与直线。8的斜率之积等于-2,则直线N8被圆£所截的弦长最小

四、解答题

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17.已知数列J｝(“eN)满足。=1,a=空±。，且方=土.

«+1n+177nnn

(1)求数列0｝是通项公式；(2)求数列L｝的前〃项和S.

a史-sinA

18.已知△4BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且用=n=(cosC,c),

，3

b=m-n(1)求角/的大小；(2)若a=3,求的周长£的取值范围.

19.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、

整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

⑴现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中/种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用E

表示其中/种鱼的条数，请写出E的分布列，并求E的数学期望E(E)

(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘,

再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.

(1)请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.

(ii)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法一最大似然估计，其原理是使用概率模

型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事

件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

20.如图，在直角梯形48。中，ADUBC,ADLCD,四边形C£>E尸为平行四边形，对

角线CE和。尸相交于点H平面C/历尸J_平面/BCD,BC=2AD,NDCF=60。,G是线

段BE上一动点(不含端点).

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：/G〃平面COM；

(2)若4D=1,8=DE=2,且直线DG与平面CO斯成45。角，求二面

角E-DG-尸的正弦值.

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21.已知函数/■（尤）=a，+sinx的图象在点（0J（0））处的切线与y轴垂直

⑴求实数。的值.

⑵讨论/Q）在区间（-兀，无）上的零点个数.

22.已知。为坐标原点，F（-1,O）,＜（1,0）是椭圆£的两个焦点，斜率为1的直线（与E交

于A,B两点，线段A8的中点坐标为&，-g）,直线：过原点且与E交于C,D两点，椭

圆E过C的切线为%的中点为G.

⑴求椭圆E的方程.

⑵过G作直线彳的平行线：与椭圆石交于/，N两点，在直线/,上取一点。使西=用,

求证：四边形MQNC是平行四边形.

⑶判断四边形MQNC的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.

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参考答案:

1.B

【分析】根据题意，化简集合48,然后由交集的运算即可得到结果.

【详解】由题意可得，集合Z={x|x=2〃,〃ez},即集合A中的元素是2的倍数，

集合8={x|x=3〃+1,〃ez},即集合B中的元素是3的倍数余1,

故/C5既是2的倍数，又是3的倍数余1,

所以AcB={x\x=6n+4,nez}

故选:B

2.D

【分析】根据给定条件，利用两个计数原理结合位置关系及相邻问题列式计算作答.

【详解】求不同排除方法数有两类办法：

乙丙站前排，有C；种方法，甲站后排有C；种方法，排余下3人有A;,乙丙的排列有A；种,

不同排法数为Cf;A拦种,

乙丙站后排，有Ci种方法，甲站后排有1种方法，排余下3人有A3,乙丙的排列有A2种,

232

不同排法数为C；A汽种,

所以不同的排队方法有:C.CIA3A2+CIA3A2=96（种）.

故选:D

3.A

【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.

【详解】〔.4+6在万上的投影向量为

。+5）石52r

____=,___•_^_=_b,

⑸网3

1rr

，5=飞,又点3是两个单位向量，即同=「卜1,

故选：A.

4.B

答案第1页，共16页

［分析］利用赋值法得到。。=7,+«-a=(-3-1>=-1024,结合二项式展

开式的系数正负得到因+|*|+…+巴|的值，进而求出答案.

5

［详解］(3x-1)=a+ax+a%2+…+ax5中，令x=0得a=-1

…*0125o

(3x-l1的通项公式T=C,(3x)5—(-l)"故a,a,a<0,a,a>0,

5

'=a+QX+4X2+…+4X5中,

x=—1,彳导a--u+。—a—(—3-11=11024,

所以网+因+…+1(7I——(〃—a+Q—Q+Q-Q)=1024

5)012345

又因=1,所以囱+因+…+网=1023.

故选：B.

5.C

【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD,即可.

【详解】由了=/(无)=x(sinx-sin2x),

得/(-x)=-x［sin(-x)-sin(-2x)］=-x(-sinx+sin2x)=/(尤)，

所以/(x)为偶函数，故排除BD.

当x=g时，了=/=(sin-Sin7t)=>0,排除A.

故选：C.

6.B

【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于［80,88］的人数.

【详解】由题意可知，P=72,0=8,P(80<X<88)=P(M+O<X<M+2O)

=；［尸(p-2。vXsM+2O)-P(p-a<X<|J+O6.9545-0.6827i0.1359

则数学成绩位于［80,88］的人数约为0.1359x20000=2718.

故选：B

7.A

【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.

【详解】设等差数列｛1｝的首项为«-公差为d,

答案第2页，共16页

贝"a+a=a+1<=>2tz+7d=a+7d+l,a—1,

278111

因为《成等比数列，所以“厂好，即（1+3办=（1+据+7力

因为dwO,所以d=1,

所以。=a+（2023-1）x</=2023.

“I八20231

故选：A

8.C

【分析】构造函数g（x）=£@,由/'（x）-2/（x）＜0得g，Q）＜0,进而判断函数g（x）的单调

C2x

性，判断各选项不等式.

,

f（r）（\/（x）-e2x-2/G）e2x/1G:）-2/（t）

【详解】g（%）=・，贝1Jg（、）=————=一一，

因为/'（x）-2/（x）＜0在R上恒成立，

所以g'（x）＜0在我上恒成立，

故gQ）在R上单调递减，

所以g（-l）＞g（O）,、'（I=e2/（-l）＞/。）=1,故A不正确；

''e-2eo

所以g（l）＜g（0）,即gp/（l）＜e2/（0）=e2,故B不正确；

C2eo

g@）＜g（。），即£^）＜也=1，即e,故C正确；

'eieo

g@）＞g（i）,即/Q）j（i）,即/（i）〈炉Q）,故D不正确；

eie2

故选：c.

9.BD

【分析】根据复数与共轲复数的概念、复数的运算逐项判断即可.

【详解】当复数z=i时，Z2=-1,|邛=1,故A错;

设z=〃+Z?i（a,beR）,则亍=〃—6i,所以2+亍=2QER,故B对；

设2=〃+Z?i（a,bGR）Fz=a+/?i（a,beR）,

1111122222

由|z+z|=|z-zI可得|z+z|2=（Q+a）2+（b+b）2=\z-z|2=Q-a＞+（6-b）2,

田I12I112II12I1212I12I1212

答案第3页，共16页

所以学「叱=。，

而zz=(a+6i)(a+bi}=aa—bb+{ab+ba)i=2aa+{ab+ba)i,不一■定为0,故C

J12112212121212121212一-，、

错;

设z=a+Z?i(Q,GR),贝[]Z2=。2—/?2+0bi为纯虚数.

ai-bi=0网=14

所以2abw0,则LLo'故。对・

故选：BD.

10.ACD

【分析】A选项，连接《C，/，，使相交于R连接ER通过证明跖〃8,即可判断选项

正误；B选项，通过证明CE,平面/防4,可得二面角/「sc-/的平面角为a=/区4;

C选项，利用等体积法结合「可得答案；D选项，利用正弦定理，可得“3C外接圆半

11

径，后可得球的半径.

【详解】A选项，连接《C,/，，使相交于R连接ER因尸，£分别为中点，

则£尸〃3,，因EFu平面«C£，平面4CE，则8卬1平面/产C故A正确；

B选项，由题可得，平面N5C,又CEu平面/2C,则C£1又CE_L4B,

11

AAC\AB=A力/u平面AABB,ABu平面4ABB,则CE±平面AABB,

i'iiiiiii

又/fu平面44R8,则C£14E,结合CE1皿可知二面角4_£C—的平面角为

_AA_1_2事

a=N/E/,则sin01=於=丁丁=-故B错误；

11/I+-

V4

C选项，设点/到平面N/C/的距离为4取ZC中点为G,连接3G.

则忆=ls-BG=Lsd=V

B-AAC3^AAC3.ABCA-ABC'

i11i1i1i

又S=LAAAC=1BG=£BA=BC=^2,AC=1,由余弦定理可得

共21112121111

答案第4页，共16页

史

4回

1/7S-BG--

得S=-BA-BC•sinN/8C=L很111=-----£7故c正确.

.ABC211114S

11^ABC4

c1

2r=___=>r

D选项,设“BC外接圆半径为r,由正弦定理,木

~T

又设三棱锥外接球半径为火，则三棱锥外接球与以人必c匕外接圆为底面的圆柱外接

=叵.故D正确

球相同，则火=BB

6

11.AD

【分析】由1叱IT"1=2,若|=加>°结合已知可得加=2,设3（尤J）且X,y>°,应

用点在双曲线上、两点距离公式求B坐标，写出直线3,求出尸，W，N坐标，进而判断各项

的正误即可.

【详解】由题设I叱勺=2,若［瓦1二冽>0,贝［J|BF|=m+2,

1

BF\i+|BF\i=4。=20,即加2+2m-8=0,可得加=2,

2

工=芷

4）故父

若5(%/)且兀>>0,贝IJ产f可得

y=4

所以，直线8勺为了=3（尤+W），即x-2y+W=0,而渐近线为了=±2》,

2

所以“（一,则|5N产丁

x-30x-7p

4x2=4

-yi5丁’故千

,

又x-2y+y/5=0可得_4£(舍)或

y=—!—

,一丁15

答案第5页，共16页

所以|尸叫=2雅即|PM|=|BN|,A正确；而S=1勺=4,B错误；

令x=c=屈,则4x5-产=4,可得〉=±4,故过苒垂直于X轴所得弦长为8,

而过1和两顶点的直线，所得弦长为2,所以过苒的双曲线的最短弦为2,C错误；

3434

|2X_L-_L|C|-2X_L-_L|

由8到y=2x的距离为忑不=2,B到y=_2尤的距离为忑忑=2，

忑5事

4

所以B到两条渐近线的距离的积为5，D正确.

故选：AD

12.BCD

【分析】由题意，求导即可判断A,证明四边形尸尸7M为菱形即可判断B,由可尸丹・|。M=

41PMi.|ON|即可判断C,证明四边形G跟中为平行四边形，再结合基本不等式即可判断D.

【详解】因为曲线C：X2=2.y,即y=：X2,所以y=x,

设点%”），贝叱J"，』。，

1

所以切线/的方程为＞

当x=l时，切线方程为2x-2y-l=0,故A错误：

0

由题意尸U加屋小小-'1）

所以I尸叫=|叮|=/:+;,

因为PMUFT,所以四边形屏7加为平行四边形，

又归耳=|尸所以四边形尸尸7M为菱形，可得尸M平分角NP4,故B正确:

因为N（0,%）,7（0,-｛）,

6fr|）lIPT\2=X2+4j2=2y+4”，

“'八0000

1

4产|憎|=4产叫0叫=4y4--\y=2y+4y2

02I000

所以|尸T|2=4产故C正确:

直线G尸方程：k-黄+'+1,可得G（O』+y0）,所以|G牛9人,

0-

又「叫二4十；,所以G尸〃且尸勺=悭？|,

答案第6页，共16页

所以四边形G门呼为平行四边形，故忸G|=W"|.

田2+

|PG卜产叫+产叶,灼=烂邛+pFp=

2

,,,,\PF|2+GM|2

因为PG与G尸不垂直，所以归同w|GM|,所以!_LJ----'_>\PF\-\GM\,

gp\PF\\GM\<|PG|-\FM\+|GF||故D正确;

故选：BCD.

1

13-3W

【分析】设患肺癌为事件a吸烟为事件5由题有尸(/)=尸(5)p«p)+尸切AQ,),

即可得答案.

【详解】设患肺癌为事件4吸烟为事件8,则PQ)=0.1%,尸W=15%,

尸Q件)=0.5%尸G)=85%,不吸烟者中患肺癌的概率为PQ件)

又由全概率公式有尸(/)=p(2)p«p)+尸份》Q『)，

则0.15x0.5%+0.85/(/,)=0.1%,解得pQ户)=3I0.

故答案为：3400

14.-73

【分析】把20。转化为30。-10。，利用差角的正弦公式化简即得解.

/\2|J-coslO0-2^，sinlO°I-cosl0°

【详解】原式_2sin(30O-l(F)-cosl0。—(22)一^sinlO。

―smi0°―smi0="sinlO°

=->/3

故答案为：一出

15.8

【分析】由长方体模型得出。2+62+C2=16,再由基本不等式得出最值•

【详解】设P4=a,PB=b,PC=c,因为三棱锥尸-/3C的三条侧棱两两垂直，

所以由长方体模型可知，JB+；+C2=2,即B+62+C2=16.

S+S+S=L(ab+ac+bc)<\-[^a2+bi\G2+02IL+a)=1x32=8,当且仅

△PAB^PACAPBC24L-I4

答案第7页，共16页

当“=Z）=c=¥时，取等号.

即的最大值为8.

故答案为：8

16.2^/3

【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线N8过定点（1,0）,再利用直线与圆

的位置关系计算弦长确定最值即可.

【详解］设/（U），BG,/，，设,：7"X+7沙=1,又产=2x,=_P=2x（s+町）,

(yY

/.yi-2nxy-2mx2=0,/.I_I|—,——2m=0

•—i-•—a.=k-k=—2m=—2m=1,

,,xxOAOB

12

直线45恒过点

当圆心E到动直线AB的距离最大时，即

当直线时，弦长最短，此时弦，最小为254_（2—1）2=2/.

故答案为：2/

17.(1)6=3”T

n

(2«-l)3„1

⑵——+4

【分析】⑴将。换为，仍代入。=^la中化简，根据定义即可判断以｝为等比数列,

■.、/〃nn+1rinn

由首项公比写出通项公式即可;

答案第8页，共16页

(2)由(1)中的通项公式求得。，再利用乘公比错位相减得出前〃项和即可.

n

3〃+34c。

【详解】⑴解：因为a+1=r—a，所以;

〃+innn+1n

又b=，,所以%=j,所以.=3,又b=a=1,

nnn+\n+\Dii

n

所以数列3｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以6=3„-1；

nn

(2)由⑴知，b='=3〃-i,所以〃二〃Bi,

nn«

以S—1,3o+2*3i+3*32+4,3s+,•,+—1)3〃-2+n•3«-i,

n

3s=1-3i+2•32+3-3s+4-34H----F(〃—1)・3〃-I+n-3n,

n

两式相减可得:—2S=3o+3i+32+33+34+…+3—i

n

3〃-1।»(2〃-1)3〃1

所以-2S=.........-n,3n,故S=-------------+_.

〃2〃44

,TI

18.(1)A=_

(2)LG(6,9]

【分析】⑴由条件6=质•日可得6=acosC+4cs//,再结合正弦定理及三个角之间的关

系可得=进而求出/；

(2)利用余弦定理再结合基本不等式，求得3<6+cW6,即可得到周长工的范围.

【详解】⑴由题意庆=,«=(cosC,c\b=m-n.

所以6=acosC+2^csinA,

/3

由正弦定理，可得sinB=sinAcosC+J-sinCsinA,

因为5=TI-(4+C),所以sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

又由。£(0,n),贝lJsinC>0,

整理得又因为/£(0,n),所以/二9.

(2)由(1)和余弦定理Q2=/?2+c2-2&ccos/,BP32=Z72+C2-2bccosh=b2+C2-bc,

即62+02-60=9,整理得(b+c)2-36c=9,

答案第9页，共16页

h+c

又由be<(―^―)2(当且仅当b=c=3时等号成立)

从而9工3+。)2-3(、S)2=；(6+c)2,可得b+c<6,

又6+c>a=3,；.3<6+cW6,从而周长£€(6,9].

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其

中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和

余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

19.⑴分布列见解析，£怎)=(

(2)(i)200；(ii)199或200

【分析】(1)根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，

(2)根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.

【详解】(1)E=0,1,2,

答=言尸(E=2)=3

尸(E=o)=

宴…=k

5050

故分布列为:

012

129433

P175175175

「缶、八129143c37

=Ox---+lx---+2x---=一.

(2)(i)设池塘乙中鱼数为加，则彳=言,解得机=200,故池塘乙中的鱼数为200.

(ii)设池塘乙中鱼数为〃，令事件8="再捉20条鱼,5条有记号”，事件0="池塘乙中鱼数为

n“

C5C15

则p,,=P(B\C)=，由最大似然估计法，即求最大时"的值，其中n65,

n

.p,_(7/-49)(Z7-19)

p(n-64)(〃+1)

n

当〃=65,198时^^>1,

n

当“=199时分=1,

n

答案第10页，共16页

当〃=200,201,…时v1

n

所以池塘乙中的鱼数为199或200.

20.⑴证明见解析

【分析】（1）连接G〃,4G,由三角形中位线和边长关系可知四边形/DHG是平行四边形，

即可证明AGH平面CDEF­,

（2）根据题意可知，以C为原点建立空间直角坐标系，可设居=入苑利用空间向量即可

表示出双，进而确定G点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角E-DG-b的

正弦值为半•

【详解】⑴证明：

连接G",/G,如下图（1）中所示：

因为四边形CD跖为平行四边形，所以77是CE中点，

又G点为线段3E的中点，则GH7/BC,且G〃=：8C，

又ADUBCaAD=；BC,所以G〃///Z）,GH=/D,

所以四边形NDHG是平行四边形，所以4G//DH,

（2）以。为原点，C2,C。为X/轴，过C且在平面CDE厂内与。垂直的直线为，轴，建立

空间直角坐标系，如图（2）所示：

由平面CDEA_L平面48cZ）,4）CF=60。，CO=DE=2可知，

YCDFNDEF均为边长为2的正三角形，

则有。（0,2,0）,3（2,0,0）,E（0,3,g）尸6,1,/）,

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设第=入苑=1-2入,3人,出人ZO<X<1

（一2人,3人,抬入）一（一2,2,0）=（2-2入,3入-2,4入）,

贝IJ9=肘-彷=

9=（1,0,0）为平面CDEF的法向量,

解得入=:（其中入=0舍去）斯以G1,2,2^

设平面EQG的法向量为』=(1，々］),则有

fft-DE=(x,y,z)-Y),195A^=y+&=0

111*1,1

m-DG=(x,y,z=x-Ly+=0

iiii2i2i

令彳=1,贝IJ\==一3,故可取加=1r,-0,14

设平面FDG的法向量为「=(3匕/)，则有

n-DF=(x,y,z)-C,-l,JT1-y+&=0

222V2Y2

H-DG=(x,y,z)-11,-J_,史=x-Ly+也彳=0

222(22J22222

令z=1,则x=0,y=73,故可取

222

所以cos（薜玛

所以二面角E-DG-F的正弦值为

/42

即二面角E-DG-F的正弦值为".

21.(l)a=-l

⑵/（x）在区间（-私兀）上的零点个数为2

【分析】⑴求出函数的导函数，依题意可得;"（0）=。，解得即可;

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⑵由⑴知/(町=+sinx,求出函数的导函数，令机(x)=/(x),利用导数说明加(尤)

Qx

的单调性，即可得到/(无)在(-兀,0)上的零点情况，当xe(0㈤时，将/Q)变形得

/(x)=_L(e*sinx-x),令"x)=e,sinx-x,利用导数说明尸(无)的单调性，即可判断其零

e%

点个数，从而得解.

X］—X

［详解］(D因为/(x)=a—+sinx,贝=——+cosx,

CxCx

由题意得，函数/■(♦的图象在点(oj(o))处的切线斜率为0,

即/'(0)=〃+1=0,解得。=一1.

xx—1

(2)由(1)矢口/(%)=_4+sinX,/(0)=0,f\x)=__+cosx

令加(x)=/F(x)=^__J-4-cosx,贝=_--sinx.

exe》

当xe(-兀,0)时，—>0,sinx<0,此时利(x)>0,/'(x)单调递增，

Qx

/'(x)</'(0)=-1+1=0,故函数/(x)单调递减，

所以〃x)>"0)=0,故函数/(Q在(-兀,0)上无零点.

当Xe(0㈤时，将/(X)变形得/(X)=——+Sinx=一(exsin尤-尤)，

QxCx

设方(%)=e、sin)-)，贝!I/'(%)=ex(sinx+cos%)—1,

设左(x)=e«sinx+cosx)—l,贝1左'(％)=2excosx,

易知当xe(0,3时，^(%)>0,当xeg,兀|时，k'(x)<0,

故人(x)在(0,3上单调递增，在0,兀)上单调递减，又发(0)=0,^)=e：-l>0,

左(兀)=-en-1<0,

故存在X。使左(,)=0,当xeQx。)时，k{x}>0,b(x)单调递增；

当xe(x,7t)时，左(x)<0,尸Q)单调递减，又尸(0)=0,故尸(x)>0,又F(兀)=-兀<0,

故函数/(X)在(0,x°)上没有零点，在(二严)上有1个零点•

综上所述，/G)在区间(-兀，兀)上的零点个数为2.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单

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调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、

不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.

22.⑴胃+”=1

（2）证明见解析

⑶定值，半

X2V2y

一+-=1

,1Q2bl[Lai+b^xi+Laimx+a2m2

【分析】⑴设/y=-x+m联立＜-aibi=0

1U6J2

V=_X+"2

4

利用韦达定理结合。c关系，即可求出6=2,62=1,得出椭圆的标准方程.

（2）设。（"，匕），“（”，乙），•（？,乙）/（与乙）,由已知得”—为

GW]

根据过椭圆上任一点的切线斜率公式得出过C点的切线方程斜率为

一旦=-1，得出/，联立椭圆方程利用韦达定理和化简得出x==2上,夕=匕口_,

aiy2y4G2G2

cc

判断出G是九W的中点，又结合而=而，即可得证.

（3）设点C到直线4的距离为〃,结合（2）表示出儿W和〃，即可判断结果.

【详解】（1）由题知，设椭圆方程为一X2+1V2=1,

ai02

设/「k，忆屈X"），则c=l,

X2V2y

—+_=1

Q2blLai+hi1

联立＜得X2+_a21