北师大七年级下册数学 生活中的轴对称 知识点总结

第五章生活中的轴对称

知识点总结：

一、轴对称图形

1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点:

(1)指一个图形；

(2)存在一条直线(对称轴)；

(3)图形被直线分成的两部分互相重合；

(4)轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；

(5)线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；

二、轴对称

1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这

条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意:

(1)有两个图形；

(2)沿某一条直线对折后能够完全重合；

(3)轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；

(4)对称轴是直线而不是线段；

轴对称图形轴对称

区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系

对称轴可能不止一条对称轴只有一条

共同点沿某条直线对折后都能够互相重合

如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；

如果把轴对称图形分成两部分(两个图形)，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

三、角平分线的性质

1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3、判定定理：到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直.平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

3、判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。

五、等腰三角形

1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

2、一相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；

3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；

4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴(等边三角形除外)，其底边上的高或顶角的平分线,

或底.边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。

9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并

非其他。

10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：

(1)两条边相等的三角形是等腰三角形；

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。

六、等边三角形

1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。

2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。

4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是60°。

3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

图形定义性质

1、两腰相等，两底角相等。

有两

2、顶角=180°-2X底角。底角=（180°-顶

边相

等腰三角）/2。

的

角形3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三

角

线合一”。

形

4、轴对称图形，有一条对称轴。

等边三边

1、三边都相等，三内角相等，且每个内

角形都相

角都等于60°o

（又叫的

2、具有等腰三角形的所有性质。

正三角角

3、轴对称图形，有三条对称轴。

形）形

七、轴对称的性质

1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应

线段，能够重合的角称为对应角。

2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。

5、类似地，轴对称图形的性质有：

（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。

（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对

称图形。

课堂练习:

一、填空题

1.等腰三角形的两个内角之比是1:2,那么这个等腰三角形的顶角度数为.

2.AABC和关于直线L对称，若AABC的周长为12cm,的面积为6cm2,则A

的周长为,△ABC的面积为-

3.ZXABC中，AD_LBC于D,且BD=CD,若AB=3,贝UAC=.

4.等腰三角形的周长为22cm,其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为.

5.轴对称图形有一条对称轴，有两条对称轴，有四条对称轴，有无数条对

称轴.(各填上一个图形即可)

6.如图，是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB的对应线段是,EF

的对应线段是ZC的对应角是连结CE交L于0,则±,

且=

7.如图，0C平分NAOB,D为0C上任一点，DE_L0B于E,若DE=4cm,贝i|D至1J0A的距离为.

8.如图，在△AC。中，AD=BD=BC,若NC=25°,则.

9.如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若/

BAF=60°,则/DAE=.

10.如图，在4ABC中，/C=90°,DE是AB的垂直平分线，ZA=40°,则NCDB=,Z

CBD=.

11.如图，在AABC中AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC,则/1=,图中有个等腰三

角形。

12.如图，AABC中AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D.⑴.若NA=38°,则/

DBC=。

(2),若AC+BC=10cm,则ADBC的周长为。

13.如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是0

14.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3:2两部分，则此三角形的底边长

为.

二.选择题。

1.如图所示，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的有（）

ABCD

2.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（）

A.这直线的两旁B.这直线的同旁

C.这直线上D.这直线两旁或这直线上

3.下列说法中，不正确的是（）

A.等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线

B.等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分

C.一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形

D.两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的

4.在线段、直线、射线、角、等腰三角形、任意的一个三角形、五角星这些图形中，轴对称图形

有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

5.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）

BBBBaB

（A）（B）（C）（D）

6.如图，把一个正方形三次对折后沿0虚线剪下,得到的图形是（）

7.如图是人字形屋架的设计图，由、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊

接点，且AB=AC,D为BC中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D,如果

焊接工身边只有可检验直角直尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应焊接的两根钢条及焊接

点是（）

A.AB和BC,焊接点BB.AD和BC,焊接点D

C.AB和AC,焊接点AD.AB和AD,焊接点A-------38题

8.下列图形中，不是轴对称图形的是)

A.有两个内角相等的三角形B.有一个内角是45°直角三角形

C.有一个内角是30°的直角三角形D.有两个角分别是30°和120°的三角形

9.下列说法中正确的是（）

①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等②角是轴对称图形

③线段不是轴对称图形④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②④

10.下列图形中，线段AB和A'B'（AB=A'B'）不关于直线L对称的是（）

A.B.C.

11.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示实际时间是

A.21：10B.10：21C.10：51D.12：

12.如图，直线12,&表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公

路的距离相等，则可供选择的地址有（）I

A.1处B.2处C.3处D.4处

三.解答题。

1.（4分）下面两个轴对称图形分别只画出一半。请画出它的另一半。（直线L为对称轴）

2.（5分）如图，已知：Z^ABC中，BC<AC,AB边上的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,AC=9

cm,ABCE的周长为15cm,求BC的长.

3.（5分）已知，如图AABC中，AB=AC,D点在BC上，且BD=AD,DC=AC.将图中的等腰三角形

全都写出来.并求NB的度数.

4（5分）.以给定图形“00、△△、”（两个圆、两个等边三角形、两条平行线段）为构件，

构思独特且有意义的轴对称图形.举例：如图，左框中是符合要求的一个图形。你还能构思出其它

的图形吗？请在右框中画出与之不同的一个图形,并写出一两句贴切、诙谐的解说词.

解说词：两盏电灯解说词.

5.（5分）某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河

边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点.

6.（6分）如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在图中添一个小正方形,

使它成为轴对称图形.

7（6分）.如图，已知P点是/AOB平分线上一点，PC±OA,PD±OB,

垂足为C、D,（1）NPCD=NPDC吗？为什么？（2）OP是CD的垂直

o'DB

平分线吗？为什么？

课后作业：

1.如图(1)、图⑵都是轴对称图形，图(1)有条对称轴，图(2)有条对称轴。

2.AABC和AA，B，C关于直线L对称，若AABC的周长为12cm,△的面积为6cm则△

的周长为,△ABC的面积为-

3.如图(3),在AABC中AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC,则/1=,图中有

个等腰三角形。

4.如图(4),AABC中AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D。(1).若NA=38°,则

ZDBC=o(2).若AC+BC=10cm,则ADBC的周长为»

5.如图(5),将标号A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四个

图形。按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形，”的对应关系，填空：A与对应，B与

对应，C与对应，D与对应。

6.如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是0

7.数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12X231=132X21；仿照上面的形式填空，并判断

等式是否成立：(1)12X462=—X—(),(2)18X891=—X—()。户,\

5.下列图形中，是轴对称图形的有——个:①角；②线段;③等腰三角形；

④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四边形;⑧五边形.//

A.5个B.6个C.7个D.8个

6.如图，NAOB内一点P,Pi、P2分别是P关于OA、0B的对称点，PR交0A于M,交0B于N,若

PR=5cm,则APMN的周长是（)

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

7.若等腰三角形的周长为12,则腰长的取值范围是（）

A.a>5B.a<5C.4<a<7D.3<a<6

8.如图,BC=BD,AD=AE,DE=CE,ZA=36°,则NB=（）

A.45°B.36°C.72°D.30°

9.如图,AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于点D,

DE〃AB交BC于E,EF〃BD交CD于F,则图中等腰三角形的个数

为（）A.5个B.6个C.7个D.8个

11.将两块全等的直角三角形（有一锐角为30°）拼成一个四边形，其中

轴对称图形的四边形有多少个（）A.1B.2C.3D.4

二、填空题:

15.如图3,若B、D、F在MN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD,EC=ED=EF,ZA=20°,

则ZFEB=

16.如图，在AABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3,ZiABD的周长为13,那

么4ABC的周长为

17.如图，已知：在AABC中，D、E是BC上的两点，且AD=BD,AE=CE,

ZADE=ST,ZAED=48°,则N5AC=

18.如图，△ABC中，AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是AABC的中线，AE是AABD

的角平分线，DF〃AB交AE延长线于F,则DF的长为

19.如图，在AABC中，D是BC上的一点，DE平分NADB,DF平分

ZADC,且EF〃BC,若EF交AD于M,EF=12,则DM=

二、选择题：

8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）三角形

A.有两个内角相等的B.有一个内角是45°直角

C.有一个内角是30°的直角D.有两个角分别是30°和120°的

9.下列图形中，轴对称图形有）个A.lB.2C.3D.4

念A众A

10.下列说法中正确的是)A.①②③④B.①

②③C.②④D.②③④

①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等

②角是轴对称图形③线段不是轴对称图形

④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

11.下列图形中，线段AB和A，B，（AB=A，B，）不关于直线L对称的是（）

12.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示实际时间是

14.下面两个轴对称图形分别只画出一半。请画出它的另一半。（L为对称轴）

四、观察与思考

15.如图，己知P点是NAOB平分线上一点，PCXOA,PDXOB,垂足为C、D,

(1)NPCD=NPDC吗？为什么？

(2)0P是CD的垂直平分线吗？为什么？

DB

16.如图，EFGH为矩形台球桌面，现有一白球A和一彩球B.应怎样击打白球A,才能使白球A

碰撞台边EF,反弹后能击中彩球B?

17、如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CELBF,垂足为M,请找出和BE

相等的线段，并证明你的结论。AF

18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置

,图2是由它抽象出的几何图形，B,C,E在同一条直线上，

连结。C.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说

明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC1BE.

19、如图，己知△ABC中，AB=AC=10厘米，3c=8厘米，点。为A3的中点.

(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CAA

上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BP。与/\

△CQ尸是否全等,请说明理由；\

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够,使\

△BPD与△CQP全等？/।、/\

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发,“mC

逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

c

20.如图，P是平分线AD上一点，P与A不重合,

求证：/

军饮马问题一一线段和最短

一.六大模型

1.如图，直线/和/的异侧两点A、B,在直线/上求作一点P,使PA+PB最小。

B

2.如图，直线/和/的同侧两点A、B,在直线/上求作一点P,使PA+PB最小。

3.如图，点P是NMON内的一点，分别在OM,ON上作点A,B。使APAB的周长最小。

4.如图，点P,Q为NMON内的两点，分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最

小。

5.如图，点A是NMON外的一点，在射线OM上作点P,使PA与点。B'JN

小。

.4八」

O匕BTV

6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON