2024年高考数学易错题：导数及其应用（学生版新高考专用）

专题04导数及其应用

易错点：忽略切点所在位置及

酗一：毁的慨蔽5M•-

\求导简化形式

—题型二：利用■研究函数的…易错点：转化为恒成立后参变

导数及其应用

单调性\分离变号的前提条件

题型三：利用导数研究函数的

气易错点：误判最值与极值所在位置

极值与最值

易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）

一、导数的概念和几何性质

1.概念函数“X）在X=x。处瞬时变化率是lim=lim；我们称它为函数了=/⑴在

x=%处的导数，记作/''（x。）或.

诠释：①增量AX可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ax与0之间距离要

多近有多近，即|-01可以小于给定的任意小的正数；

②当Ax-0时，”在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包=〃x。+Ax）-/（x。）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/'（%）=lima=lim"纹.

——°AxAX

2.几何意义函数y=在》=x0处的导数/'（%）的几何意义即为函数y=/（x）在点尸（%，打）处的切

线的斜率.

3.物理意义函数s=s«）在点办处的导数s'&）是物体在时刻的瞬时速度v,即」=5'6）；v=v（0

在点务的导数v'Co）是物体在L时刻的瞬时加速度a,即。=M&）.

二、导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(C为常数)/'«=0

/"(X)=x"(aeQ)f\x)=axa~x

/(x)=ax(q>0,qw1)f\x)=axina

/(x)=log。x(q>0,aw1)仆)=;

xlna

/(X)=e*rn

/(x)=lnxf'M=-

X

/(x)=sinx/'(x)=cosx

/(x)=cosxf\x)=-sinx

2.导数的四则运算法则

⑴函数和差求导法则："(x)±g(x)]'=r(x)士g(x)；

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

⑶函数商的求导法则：g(x-O,则[△2]=/'(x)g(x)-/(x)g'(x)

g(x)g(x)

3.复合函数求导数

复合函数y=/[g(x)]的导数和函数y=/3),w=g(x)的导数间关系为匕=无"、.：

应用1.在点的切线方程

切线方程y-f(x0)=/'(x0)(x-x0)的计算：函数y=/(x)在点A(x0,/(x0))处的切线方程为

y-/(^o)=/'(^o)(x-xo))抓住关键

I后=/(x0)

应用2.过点的切线方程

设切点为尸(%,%),则斜率后=/'(%),过切点的切线方程为：y-y0=f'(x0Xx-x0),又因为切线方

程过点4加，〃)，所以〃-%=/'(%)(%-%)然后解出/的值.(%有几个值，就有几条切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

易错提醒：1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.注意以下几点：

连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，

再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外

向内逐层求导，必要时可换元

2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.

(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点.

(3)曲线了=/(”“在”点尸(七,外)处的切线与“过”点2(%,%)的切线的区别：曲线了=f(x)在点

P(x。,%)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为左=/'(无。)，是唯一的一条切线；曲线

了=/(外过点尸(七,%)的切线，是指切线经过点P,点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可

能有多条.

3.利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，

进而求出参数的值或取值范围.

4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

(1)注意曲线上横坐标的取值范围；

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.

三9

例.已知函数/(x)="x2_exlnx.

⑴当Q=e时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若Vx>0,都有;■(x"lnx+；,求。的取值范围.

变式1.已知函数/'(x)=e*-办2+x-l.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若/(月=0有两个不等的实根，求实数。的取值范围.

变式2.已知函数/(x)=lnx-ax-l(a>0).

⑴当"=0时，求过原点且与/(x)的图象相切的直线方程；

(2)若g⑴=e"+#>0)有两个不同的零点网,Z(0<网<马)，不等式网£>《恒成立，求实数m的取

值范围.

变式3..已知函数/(x)=-2x+lnx.

⑴求曲线y=/(x)在处的切线方程;

(2)若对Vxe(O,+s),恒成立.求实数。的取值范围.

1.已知函数/(尤)=欣与g(x)的图象关于直线y=x对称，直线/与g(x),/z(x)=em-l的图象均相切，贝J/

的倾斜角为()

c37r

ABD.——

-7-14

若曲线〃x)=F存在与直线了=丘垂直的切线，则A的取值范围是()

2.

_j，°)U(0,+8)

A.(-a?,0)U(0,+oo)B.

3

c.^-7?,ojlJ(0,+oo)D.(-oo,0)U[2e,+ooj

过点(加,0)作曲线〃x)=xe'的切线有且只有两条，切点分别为(再,〃再)),(X,/(X)),则，+，=()

3.22

X]x2

A.-1B.1C.~mD.m

4.曲线y=e*在点(x°,e'。)处的切线在y轴上的截距的取值范围为()

A.(-1,1]B.(5]C.(-8,0]D.(0,1]

5.已知函数〃幻=竽，则()

A.函数〃x)在x=l处的切线方程为无-即-1=0B.函数〃x)有两个零点

C.函数〃x)的极大值点在区间。,2)内D.函数〃x)在[2,+⑹上单调递减

6.已知直线/与曲线/(x)=lnx+Y相切，则下列直线中可能与/平行的是()

A.3x—y—1=0B.2x—y+1=0C.4x—y+l=0D.5x—y+3=0

7.已知函数〃X)=2尤3一3x,则()

A./(x)的图象关于原点中心对称

B./3在区间[-2』上的最小值为_&

C.过点(2,⑼有且仅有1条直线与曲线y=〃x)相切

D.若过点P。,/)存在3条直线与曲线y=/(x)相切，则实数1的取值范围是

8.已知函数/(x)=e[x2-(2a+l)x+l]

⑴若求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线；

(2)讨论〃x)的单调性;

⑶当。>0时，若对任意实数X,〃x)>(2-3a)e2"恒成立，求a的取值范围.

9.已知函数/(x)=2a"-gbx"+2,a>0且awl,beR.

⑴当a=e时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设〃l)=2a,g(x)=/(x+l)-2,x>-l,讨论函数g(x)的零点个数.

10.已知函数/(%)=©4。-4aln(2x).

⑴当。=1时，求曲线/(X)在点七，吗]处的切线方程；

⑵当。>0时，若关于x的不等式〃x”a+aln(2G恒成立，求实数a的取值范围.

11.已知aeR,函数/(x)=e*-ax,g(x)=ar-lnx.

⑴当a=e时，若斜率为0的直线/是gj)的一条切线，求切点的坐标；

⑵若“X)与g(x)有相同的最小值，求实数a.

易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件(利用导数研究函数的单调性)

1.求可导函数单调区间的一般步骤

第一步：确定函数/(x)的定义域；

第二步：求/'(X),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

第三步：把函数/(x)的间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和/'(x)=0的各实根按由小到大的顺

序排列起来，然后用这些点把函数/(%)的定义域分成若干个小区间;

第四步：确定/'(X)在各小区间内的符号，根据/'(X)的符号判断函数/(X)在每个相应小区间内的增

减性.

注意①使/'(x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当/'(X)在某个区间内离散点处为零，在其余点

处均为正(或负)时，/(X)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如，在(-叫+8)上，/(X)=X3,

当X=O时，/'(^)=0；当XNO时，/'(x)>0,而显然/(x)=d在(_*+00)上是单调递增函数.

②若函数y=/(x)在区间(凡人)上单调递增，则/'(x)NO(/'(x)不恒为0),反之不成立.因为

/'(x"0,即/'(x)>0或/'(x)=0,当_f(x)>0时,函数y=/(x)在区间Qb)上单调递增.当f'(x)=0

时，/(X)在这个区间为常值函数；同理若函数y=/(x)在区间Qb)上单调递减，则/'(x)wo(/'(x)

不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不

必要条件.于是有如下结论：

/'(%)>0n/(%)单调递增；/(x)单调递增=>/'(%)n0；

f\x)<0n/(x)单调递减；/(%)单调递减=>f\x)<0.

技巧：L利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性

问题，再由单调性比较大小或解不等式.

2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路

第一步：由函数在区间可上单调递增(减)可知/'(x"0(/'(x)wO)在区间可上恒成立列出不等式;

第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；

第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使r(x)在整个区间恒等于o,若/恒等于0,则参

数的这个值应舍去；若只有在个别点处有_r(x)=o,则参数可取这个值.

易错提醒：一：研究单调性问题

1.函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/口)>0,则y=/(x)为增函数；如

果/'(x)<0,则y=/(x)为减函数.

2.已知函数的单调性问题

①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有了'(x"0恒成立(但不恒等于0);反之，要满足

/,(%)>0,才能得出/(x)在某个区间上单调递增；

②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有r(x”0恒成立(但不恒等于0);反之，要满足

/'(x)<o,才能得出/(x)在某个区间上单调递减.

二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数

正负区间段已知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导);

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连

续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间.

例.已知函数/'(力=詈+加(^(0€2，尸(力为函数/(尤)的导函数.

⑴若.V-2,讨论一(X)在(0,2兀)上的单调性;

(2)若函数g(x)=〃x)+/(x),且g(x)在(0,兀)内有唯一的极大值，求实数。的取值范围.

变式1.已知函数/(x).

⑴若判断函数/(x)的单调性.

(2)若/(X)有两个不同的极值点三,超(Xj<%2),求证：X[X2+111^+lnx2>1.

变式2.已知函数八尤)=注.

CLQ

⑴求/(X)的单调区间；

(2)若一--</(x)+2x,求。的取值范围.

变式3.设函数〃x)=#-8x+21nx.

⑴求〃x)的单调区间；

(2)若正数芯，芍满足/(占)+〃％)=7,证明：X1+X2>9.

1,若方程2入11次=-£("0)在(。,0)上有实根，则a的取值范围是()

xex

A.(-oo,-2)B,(-2,0)C.(-co,-ln2)D.(-ln2,0)

2.已知函数/(%)=lg(幺-2@+202ST+2023I,则不等式〃3x)<〃x+3)成立的x的取值范围是()

a-H4)b-K@哈I)C.(T0)U(0,|)D.停2

3.设函数/(X)是奇函数/("(尤eR)的导函数，/(-1)=0,当尤>0吐必■'(尤)一/3<0,则不等式/^)<0

的解集为()

A.(-oo,-l)U(0,1)B.(-1l,0)u(l,+oo)

C.(-c»,-l)U(-l,0)D.(0,l)U(l,+oo)

4.已知函数〃x)及其导函数/'(x)的定义域均为1-得,且〃X)为偶函数,/图=2

3/(x)cosx+/'(x)sinx>0则不等式/(x+^Jcosl

,■的解集为()

A♦(一(IB.匿)C.1T27'1?兀J、D.…(2兀八、

5.定义在(0,+8)上的函数"X)的导函数为/(X),J1,卜2+工"(外一〃切>0恒成立，则下列结论正确的有

()

A.4/(1)<3/(2)B.16/(3)>15/(4)

C.6/(2)<5/(4)D.25〃4)>24〃5)

6.已知g(x)是定义域为R的函数/(x)的导函数，〃0)=1,〃l)=0,g(x)+g(2r)=0,小)+g(”>o,

x-1

则下列说法正确的是()

A./(2)=1

B./(3)>|(e为自然对数的底数，e，2.71828…)

C,存在％eR,/(x0)<0

D.若尤。式0,1),则

7.设/(x)=/+&+Z)x+c,若/1(1)=1,/(2)=2〃3)=3,下列说法正确的是()

A./(4)=4B.无极值点

2023女

C./(x)的对称中心是(2,2)D.y46

8.已知函数〃x)=a(x-l)+(x+l)hu,aeR,则下列说法正确的是()

当，时,

A.Q=ln/(2)=/

8

B.当a>0时，/(。)<2。2-a

C.若〃x)是增函数，则。>-2

D.若〃x)和尸(x)的零点总数大于2,则这些零点之和大于5

9.已知函数/(月=亦2-0>(：11次(4€1^且。*0).

⑴讨论了(X)的单调性；

(2)若不等式恒成立，求实数。的最大值.

10.已知函数〃x)=axe*-gf-x,xeR.

⑴讨论函数/(x)的单调性.

⑵若关于x的方程f(x)=lnx-1x2有两个实数根，求实数a的取值范围.

11.已知函数尸(x)=(x—3)e“-a(x2-4x).

⑴当。=5时，求函数尸(%)的单调递增区间；

⑵若尸(X)存在极小值点％,且尸(x°)<2a,求。的取值范围.

易错点三：误判最值与极值所在位置(利用导数研究函数的极值与最值)

1.函数的极值

函数/(X)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(X)</(x0),则称/(X。)是函数的一个极大

值，记作了极大值=/®).如果对与附近的所有点都有/(x)>〃Xo),则称/(X。)是函数的一•个极小值，记作

V极小值=/(/).极大值与极小值统称为极值，称X。为极值点.

求可导函数/(X)极值的一般步骤

第一步：先确定函数/(X)的定义域；

第二步：求导数/(X)；

第三步：求方程/'(x)=o的根；

第四步：检验/'(X)在方程/G)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为

负，那么函数>=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数

y=f(x)在这个根处取得极小值.

2.函数的最值

函数y=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(x)最小值为极小值与靠近极

大值的端点之间的最小者.

1

导函数为f(x)=ax+bx+c=a(x-x^x-x2)(m<xi<x2<ri)

(1)当。>0时，最大值是"xj与〃")中的最大者；最小值是/(超)与/("?)中的最小者.

(2)当。<0时，最大值是/(超)与)(〃?)中的最大者；最小值是〃再)与/(〃)中的最小者.

一般地，设y=/(x)是定义在M句上的函数，y=/(x)在(仅，〃)内有导数,求函数耳=/(尤)在Mn]

上的最大值与最小值可分为两步进行：

第一步：求y=/(x)在(m,〃)内的极值(极大值或极小值)；

第二步：将y=/(x)的各极值与〃加)和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一，个为最小值.

技巧：

1.由图象判断函数y=f(x)的极值，要抓住两点：⑴由片/'(X)的图象与X轴的交点，可得函数v=/(x)

的可能极值点；(2)由导函数了=r(x)的图象可以看出y=/(x)的值的正负，从而可得函数y=/(x)的单调

性.两者结合可得极值点.

2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条

件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于。不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系

数法求解后必须检验.

3.求函数/(X)在闭区间m可内的最值的思路

(1)若所给的闭区间[。,可不含有参数，则只需对函数/(X)求导，并求/'(x)=o在区间司内的根，

再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与/(•),/■他)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一

个是最小值.

(2)若所给的闭区间可含有参数，则需对函数/(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调

性，从而得到函数/(x)的最值.

结论：1、若函数/(x)在区间。上存在最小值/(外神和最大值/(x)皿，则

不等式y(x)>a在区间。上恒成立。y(x)min>«；

不等式a在区间。上恒成立=/(x)min>a；

不等式/(x)<b在区间。上恒成立o/(x)max<b；

不等式/(x)Wb在区间。上恒成立o/(x)maxvb；

2、若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(能，〃)，则

不等式/(尤)>a>a)在区间。上恒成立omza.

不等式/(x)<6(或/1(x)<b)在区间。上恒成立omwb.

3,若函数〃尤)在区间。上存在最小值/(XL和最大值/(Mmax，即/(无)目加刈，则对不等式有解问

题有以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解。。〈/⑴皿/

不等式av/(x)在区间。上有解oav/(x)max；

不等式a>/(可在区间^上有解。。>/^)福；

不等式a2/(x)在区间°上有解0az/(x)一

4、若函数/(九)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，〃)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(x)(或aw/(x))在区间0上有解oa<n

不等式或bN/(x))在区间0上有解。6>优

5、对于任意的可日见可，总存在/elm,n],使得〃再)”优)0〃%)1mxMg(%)1mx;

6、对于任意的西可名可，总存在/6[m,n],使得〃%)*(%)0/(%).Ng(%L；

7、若存在再十，b],对于任意的『引m,n],使得〃/g(w)o〃石)。1fa“㈤.；

8、若存在占中,b],对于任意的/e[m,n],使得/(占)3卜)。〃占)皿3仇心

9、对于任意的国€[a,b],x2e[m,,使得/(须)"g(%2)o/(项)1rax产g、).；

10、对于任意的%!e[a,b\,X2G[m,川使得/(再"g(%)o/(国心二g(%L；

11、若存在西G[a,b]，总存在x2G[m,n],使得/(再)wg(%)o/(%)*wg(x2

12、若存在占中，可，总存在％e[m,n],使得〃㈤。/(再)1以马).

易错提醒：(1)①可导函数/(X)在点％处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即/(x0)=0,

且在X。左侧与右侧，/'(X)的符号导号.

②/(%)=0是X。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(X)=x3,/'(0)=0,但X。=0不是极值点.另

外，极值点也可以是不可导的，如函数/1(X)=|x|,在极小值点升=0是不可导的，于是有如下结论：升为

可导函数/(x)的极值点=>/'(%)=0；但f'(x0)=O^xo为/(x)的极值点.

(2)①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最

值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

三

例.已知函数〃x)=x?-尤-Hnx存在两个极值点外,三，且再<%.

⑴求。的取值范围；

(2)若/(占)-/(%)〈叫尤2,求小的最小值.

变式1.已知函数/(x)=ax2-lwc+(l-2a)x,其中“eR.

⑴若x是函数/(x)的极值点，求a的值；

⑵若”0,讨论函数/(x)的单调性.

变式2.若函数/(力=；/-&+4,x=2为函数/(x)的极值点.

⑴求6的值；

⑵求函数的极值.

变式3.已知函数/（x）=x+——,aeR.

x

⑴当°=时，求函数/（x）的极值；

⑵若有两个极值点出x2,求证：小）+/»>4.

+x2

2

1.已知函数/（x）=fcdnx-=-Ax（左eR）,在（0,e?）有且只有一个极值点，则上的取值范围是（）

A.[0,e）B,（-co,0）Uy,+cojlj{e}

,、「e?、,

C.（-oo,0）U—,+coD.（0,e]

_2J

2.已知x=0是函数〃x）=fe，-2xe，+2e，-.3的一个极值点，贝ij0的取值集合为（）

A.{小11}B.{0}C,{1}D.R

3.若函数〃x）=（x-2）e'qy+奴"用在x=l处取得极小值，则实数。的取值范围是（）

A.(-℃,0)B.(O,e)C.(-oo,eD.(e,+c»)

兀1/八、,_、_,I兀7L

4.设函数〃x)=sinCOX-7）（3>0）在区间，兀内有零点，无极值点，则3的取值范围是（）

2

£545

A.B.C.11D.U

6533?3143?3

5.关于函数/（x）=siiu-xcosx,下列说法正确的是（）

A./（x）是偶函数B.0是〃x）的极值点

C.〃x）在卜/方）上有且仅有1个零点D.〃x）的值域是[-1,1]

6.若函数lnx+1在其定义域内的一个子区间（左-1,左+1）内不是单调函数，则实数A的取值范

围（）

A.[1,+同B.l，1'）

丫2Ipy

7.已知函数〃尤)=6'+5-11«的极值点为0函数〃(x)=鬓的最大值为芍，贝I」()

A.再>工2B.工2>x\C.项N%2D.%2-X1

8.当x=2时，函数〃-=/+/-12》取得极值,则/⑺在区间［-4,4］上的最大值为()

A.8B.12C.16D.32

9.已知函数/3=2尸+。旨-1).

(1)当a=0时，求〃x)的极值；

(2)当a=1时,求〃x)在［1,+8)上的最小值;

⑶若〃x)在(l,e)上存在零点，求。的取值范围.

10.已知函数/(切=/-办2+工-1.

⑴若〃(无)为函数〃x)的导函数，求人(无)的极值；

⑵若/(x)=0有两个不等的实根，求实数。的取值范围.

11.已知函数/(x)=arsinx+cosx在无=甘处取得极值.

⑴求。的值；

(2)求在［0,可上的值域.

易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式(利用导数研究函数零点问题)

1.判断函数尸f(幻在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数

尸f㈤在区间区句上的图象是否连续，然后看是否有他)<0.若有，则函数y=/(x)在区间(。,6)

内必有零点.

2.判断函数内(力的零点个数时，常用以下方法：

(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；

(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断；

(3)通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与x轴交点的个数来判断.

3.已知函数有零点(方程有根)，求参数的取值范围常用的方法：

方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决.

方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解.

4.解决函数应用问题的步骤

第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

第二步：建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数

学模型；

第三步：解模：求解数学模型，得出数学结论；

第四步：还原：将数学结论还原为实际问题的意义.

技巧：判断函数零点个数的方法：

方法1：利用零点存在性定理判断法；

方法2：代数法：求方程/(x)=0的实数根；

方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数了=/(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或

利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.

方法技巧：已知函数零点(方程根)的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围2、

分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决

2、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解

结论拓展：与砂和Inx相关的常见同构模型

①ae"voe"Ine"vblnb,构造函数〃芯)=xlnx或g(x)=xe"

②《