2024年中考数学突破将军饮马等8类常见最值问题（解析版）

将军饮马等8类常见最值问题

aW题型•解读/

题型一两定一动型（线段和差最值问题）

题型二双动点最值问题（两次对称）

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

题型四垂线段最短

题型五相对运动平移型将军饮马

题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

题型七化斜为直，斜大于直

题型八构造二次函数模型求最值

满分•技巧/

一、单动点问题

【问题1】在直线/上求一点R使期+阳最小

问题解决：连接力6,与/交点即为Q两点之间线段最短〃+尸8最小值为力6

［问题2］在直线/上求一点尸，使外+尸B最小

问题解决：作6关于/的对称点6台尸8=则弘+88=24+尸8,当Z,P,6共线时取最小,

原理：两点之间线段最短，即可+阳最小值为28

【问题3］在直线/上求一点P,使24-尸身最大

问题解决：连接力6,当4B,尸共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△/)«「中，|Q4—尸切WZ8

［问题4］在直线/上求一点P、使得最大

问题解决：作8关于直线/的对称点6一阳=由，|Q4—8向=|以一夕

原理：三角形两边之和大于第三边，连接Z8,在△Z8尸中一尸8|W46

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线/1，4上分别求点MN,使△尸A力/周长最小

问题解决：分别作点尸关于两直线的对称点尸‘和尸'，PM=PM,PN=P'N,

原理：两点之间线段最短，P,P',与两直线交点即为MN,则/例+/VW+尸/V的最小值为线段

尸尸，的长

【问题6】P,Q为定点，在直线4，4上分别求点例N,使四边形「Q/WA/周长最小

问题解决：分别作点尸，。关于直线4，4的对称点尸和Q，PM=PM,QN=QN

原理：两点之间线段最短，连接尸Q,与两直线交点即为MN,则尸例十例2+Q/V的最小值为线

段尸。的长，周长最小值为尸Q+QQ

Q'

\、/，2

M'工

P'

【问题7】4E分别为4，，2上的定点，M/V分别为4,4上的动点，求/N+MN+8河最小值

问题解决：分别作/,3关于4的对称点⑷，B',赋AN=A'N,BM=B'M,⑷外即所求

原理：两点之间距离最短，A,N,M,8共线时取最小，则AN+MN+BM=AN+MN+BMwAB

B'

NB~

\：NB-

1/

A'

三、动线段问题（造桥选址）

［问题8］直线m//n,在777,n上分别求点M,N,使MN1.m,且AM+MN+EA/的最小值

问题解决：将点E向上平移例2的长度单位得B,连接BM,当力6例共线时有最小值

原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM+MN+BN=AM+MN+BM^AB+MN

【问题9］在直线/上求两点M,在左）且MN=a,求AM+MN+BN的最小值

问题解决：将6点向左移动a个单位长度，再作6关于直线/的对称点当共线有最小

值

原理：通过平移构造平行四边

AM+MN+BN=AM+MN+B''M<AB''

B'

B"

四、垂线段最短

【问题10］在直线4,4上分别求点AB,使PB+Z8最小

问题解决：作尸关于4的对称点P，作尸1/1于4交4于3尸工即所求

原理：点到直线，垂线段最短，PB+AB=P'B+4BvP'A

hh

B

五、相对运动，平移型将军饮马

【问题11］在直线/上求两点M,M例在左）且MN=a,求AM+Z/V的最小值

问题解决：相对运动或构造平行四边形

策略一：相对运动思想

过点Z作M/V的平行线，相对点2在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题

策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.

六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹

【问题12］如图，点P在直线8C上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°,得到点Q,求。点

轨迹？

Qi

问题解决：当4P与/。夹角固定且4P为定值的话，P,。轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线

段的时候，可以任取两个时刻的0点的位置，连线即可，比如0点的起始位置和终点位置，连接即

得。点轨迹线段.

原理：由手拉手可知故4=//C3,故Q点轨迹为直线

七、化斜为直，斜大于直

【问题13】已知：40是RfZUBC斜边上的高

An

(1)求把的最大值；(2)若/。=2,求3C的最大值

问题解决：取8C中点M(1)则迎v出4(2)BC=24Mw2AD=4

BCBC2

八、构造二次函数求最值

这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相

似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或

者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值.当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个

超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需栗配方.

【问题14］正方形/BCD的边长为6,点。在边5上，且CD=3CQ,P是边BC上一动点，连接尸。，

过点P作EPLP0交边于点£,设2P的长为x,则线段3E长度的最大值为.

DQc

x

B

问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到△尸C0s2\£5尸，进而根据相似

199

比得到5£=——x-3+-,利用二次函数求最值方法求解即可得到答案

2、72

【详解】易知：.MPCQs/\EBP,.•.耍=生，

BPBE

26—x

;CD=3CQ,36,QC=2=

fxBE

ii,、]Q

/.BE=—x（6-x）=（x2-6xj=（x-3）7+—（0<x<6）,

,.---<0,.,.8E=-L（X-3）2+2在x=3时有最大值，最大值为2

22''22

雅核心•题型/

题型一两定一动型（线段和差最值问题）

1.（2023•西安•模拟预测）如图，正方形/5CD的边长为4,点M在边8c上，MC=\,尸为正方

形内（含边上）一点，且必讪=；s正方体检力G为边C。上一动点，连接MG,GP,则MG+GP的

最小值为.

【答案】3

【分析】先确定组成点尸的所有点为过/D，8C的中点E*的线段，作点”关于C。的对称点,

连接证明"户的长为MG+GP的最小值，因此求出拉户的长即可.

【详解】解：过点尸作跖〃褴，分别交/D，3C于点£,F,

■：四边形48co是正方形，

四边形ABFE和四边形EFCD都是矩形，

S4PAe=；S正方体皿,正方形ABCD的边长为4,

11,

-x4-£^=-x42,

24

解得胡=2,

CF=DE=AD-AE=4-2=2,

作点M关于CD的对称点M',连接MG,

则"G=MG,M'C=MC=1,

MG+GP=M'G+GP>M'F,

MG+GP的最小值为“斤的长，

M'F=M'C+CF=1+2=3,

.1MG+GP的最小值为3

2.透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离底部3cm

的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处.求蚂蚁吃到饭

粒需要爬行的最短路程是多少？

【答案】13

【详解】•.•高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点8处有一饭粒,

此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点力处,

:.AD=5cm,BD-12-3+AE=12cm,

将容器侧面展开，作/关于&的对称点,

连接4B,则为'8即为最短距离,

力,B=4A:D2+BD2=13(cm).

3.如图，在平面直角坐标系中，MAO48的顶点4在x轴的正半轴上.顶点3的坐标为（3,G）,

点C的坐标为（1,0）,且乙402=30。点P为斜边。8上的一个动点，则P/+PC的最小值为

（）

A.5/2B.也c.5/7D.VT'i"

【答案】c

【分析】过点C作C关于OB的对称点C,连接AC与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC

与OB的交点即为所求的点P,PA+PC的最小值=人。,过点C作CD_LOA于D,求出CC,2OCC=60。,

再求出CD、CD,然后求出AD,再根据勾股定理列式计算即可得解.

【详解】解；如图，过点C作C关于OB的对称点C1连接AC与OB相交，

则AC与OB的交点即所求的点P,PA+PC的最小值=人。,

过点。作CD_LOA于D,

•.•点C的坐标为（1,0）,且4AOB=30°,

/OCC'=90°-30°=60°,

OC=1,CC=2xlx；=l,

.-.CD=y,CD=@,

22

•.・顶点B的坐标为（3,G）,点C的坐标为（1,0）,ZOAB=90°,

.-.AC=3-1=2,

15

.-.AD=2+-=-,

%Z

在RtAACT）中，由勾股定理得，ACf=Ven2+AD2=1^+[1]

4.如图，点A,8在直线九W的同侧，A至IJM2V的距离ZC=8,8至U儿W的距离8£>=5,已知CD=4,

P是直线AGV上的一个动点，记尸N+P3的最小值为。，|尸即的最大值为6,则的值

为（）

A.160B,150C.140D.130

【答案】A

【分析】作点A关于直线MN的对称点H,连接©5交直线MN于点P,则点P即为所求点，过点

5作直线NE18。，在根据勾股定理求出线段/'8的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于

点P,此时P'/-P'3=”，由三角形三边关系可知/8>阳-尸耳，故当点P运动到p时|尸/一尸回最

大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是|尸的最大值，代入计算即可得.

【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点4,连接交直线MN于点P,则点P即

为所求点，过点H作直线4EiBD,

AC=8,BD=5,CD=4,

A'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在RtA'EB中，根据勾股定理得，

A'B=>jBE+A'E=V132+42=VT85，

即PA+PB的最小值是a=J185;

如图所示，延长AB交MN于点P,

•.­P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

,当点P运动到P点时，|尸/-尸用最大,

过点B作8E1NC,则BE=CD=4,

AE=AC-BD=8-5=3,

在Rt，AEB中,根据勾股定理得，

AB=yjAE2+BE2=A/32+42=5，

...\PA-PB\=5,

即6=5,a2-Z>2=(7185)2-52=160

5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5.动点P满足$楸。=工5矩/ABCD-则点P到B,C两点距离

3

之和PB+PC的最小值为

D

【答案】V41

【解答】解：设△尸3C中BC边上的高是九

3

-BC*h=-AB•BC,

23

2

:.h=—AB=2,

3

,动点?在与8C平行且与3C的距离是2的直线/上，如图，作8关于直线/的对称点E,连接CE,

则CE的长就是所求的最短距离.

在中，:BC=5,BE=2+2=4,

-CE=dBc2+BE。=正+42=V41，

即PB+PC的最小值为国

6.（2023•泰州•三模）如图，在矩形/3CD中，AB=5cm,8c=6cm,点E在直线M上，从点A

出发向右运动，速度为每秒0.5cm,点尸在直线上，从点B出发向右运动，速度为每秒2cm,

BE、AF相交于点G,则BG+CG的最小值为cm.

【答案】10

【分析】过点G作直线MN/8C,分别交3、3c于点必N,过点G作直线PQ〃CD,分别交/从

DC于点P、Q,易知四边形ABNM、PBNG、GNCQ为矩形，证明AGAE-GFB,由相似三角形

的性质可得理=也；设£、F两点运动时间为/,则/E=0.5f,BF=2t,易得GM=lcm,GN=4cm；

BFGN

作点C关于直线的对称点K,由轴对称的性质可得CG=KG,故当反G、K三点共线时，

8G+KG的值最小，即8G+CG取最小值，此时，在R38CK中，由勾股定理求得8K的值，即可

获得答案.

【详解】解：如下图，过点G作直线MN1BC,分别交加、BC于点、M、N,过点G作直线尸。〃C。，

分别交48、DC于点P、Q,

易知四边形PBNG、GNC0为矩形，MN=AB=5cm,

■;四边形/BCD为矩形，

AD//BC,AB//DC

ZGAE=NGFB,AGEA=AGBF,

AGAEIGFB,

AEGM

"BF~~GN，

设E、尸两点运动时间为/,则/E=0.57,BF=2t,

、*GM0.5/1

则有——=—=-,FpGN=4GM,

GN2t4

'：MN=5cm,

GM=1cm,GN=4cm,

•.•四边形GN。。为矩形，

.QC=GN=4cm,

作点。关于直线尸。的对称点K,如图，

则QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由轴对称的性质可得CG=KG,

当反G、K三点共线时，5G+KG的值最小，即BG+CG取最小值,

此时，在Rtz\8CK中，BK=^BC2+KC2=762+82=10cm.

BG+CG的最小值为10cm

22

7.已知x,y,S满足s=J(x+2)2+(y-3)2+^(x_2)+(y-6),则S的最小值为.

【答案】5

【分析】根据J（x+2）2+（了-3）2表示平面内点（xj）与（-2,3）之间的距离,J（无一2）2+（夕一6）2表示平

面内点（"）与（2,6）之间的距离，得出当点（”）在（-2,3）与（2,6）之间的线段上时，这两个距离之

和最小，求出这个最小距离即可.

【详解】解：;J（x+2/+（广3）2表示平面内点（x,y）与（-2,3）之间的距离,J（x-2）2+（了一6）2表示

平面内点（x,y）与（2,6）之间的距离，

S=J（x+2y+（1-3）2+7（X-2）2+（J；-6）2表示这两个距离之和，

1•两点之间线段最短，

当点（xj）在（-2,3）与（2,6）之间的线段上时，这两个距离之和最小，

S的最小值为J（-2_2）2+（3-6）2=5.

8.探究式子川北1+卮不l（xNO）的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取

AB=4,作/Ci/2于A.BD，AB于B,且/C=l,5。=1,点E在AB上，设/E=x,则

BE=4-x,于是，ylx2+i=CE,&-4丫+1=DE,因此，可求得CE+DE的最小值

为,已知y=Ja+5」+52—/白+32（尤「0）,则y的最大值是.

【答案】2后V29

【分析】作C关于48的对称点尸，连接FD交48于连接CD,利用勾股定理求CE+0E的最

小值即可；构造图形如图，过点。作DM/4C交/C于求V的最大值结合三角形的三边关系，

根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：如图，作。关于的对称点尸，连接万'。交于中,连接C0,

则4F=NC=1,CE'=FE',

此时CE+DE的值最小为：CE'+DE'=FE'+DE'=DF,

ACLAB,BD1AB,

AC//BD,

■：AC=BD=\,

四边形ABDC是平行四边形，

'：ZCAB=90°,

四边形4BDC是矩形，

ZFCD=90°,CD=AB=4,

'：CF=CA+AF=2,

.­.DF=VCF2+CZ)2=A/22+42=2#)

如图，NN=90。,/。=5,AB=5,BD=3,BE=x,

A5BXE

则CE=J。+（5+x）2,DE=JX2+32,

'：CE-DE<CD,

:.CE-DE的最大值为CO的长度，

过点。作。M//C交NC于"，

则四边形4RDM为矩形，

DM=AB=5,AM=BD=3,

:.CM=2,

CD=4CM-DM1=A/22+52=729，

y的最大值为A/29

9.如图,43两点在直线外的同侧，/到ACV的距离/C=16,3到肱V的距离6D=10,CD=8,

点P在直线上运动，则|山-尸理的最大值等于.

【答案】10

【分析】延长N8交跖V于点P,过点3作的L/C,由题意可知尸'"-93=23同尸/-必|,即说

明当点尸运动到尸'点时，|"-「同最大，即为48的长.最后根据勾股定理求出的长即可.

【详解】解：如图，延长N8交AGV于点P,过点8作BE,/C,

，当点P运动到P点时，|尸”-尸创最大，即为/B的长.

:BD=10,CO=8,AC=16,

BE=CD=8,AE^AC-CE=AC-BD=16-W=6,

AB=yjAE2+BE2=A/62+82=10，

目的最大值等于10

10.已知：如图，在矩形Z8CL1中，48=3,40=4.动点P为矩形/8CO内一点，且满足

【答案】4+2君

2

［分析】过点P作MN1AD,交/。于点/,交BC于点、N,由S"BC=矩物，可得PN=pN=2,

过尸点作G47/4D,交N5于点G,交CQ于点作A点关于G〃的对称点H连接4D与GH交

点即为所求点P,在Rt△44'D中,40=4,AA'=2,即可求

【详解】解：迂晨P作MN，AD,交/。于点M,交8c于点N,

-xBCxPN=-xBCxMN,

23

：.PN=-MN,

3

:AB=3,

MP=l,

过P点作GH//4D,交于点G,交CO于点作A点关于GH的对称点4连接AD与GH交

点即为所求点尸，

\'AP=APt

AP+PD=A'D,

\'AG=L

:.AA'=2f

在△AAD中，4D=4,AA=2,

:.AD=2/,

AADP周长的最小值2出+4,

故答案为4+2班.

2022•绥化・中考真题

11.在平面直角坐标系中，已知一次函数X=/x+6与坐标轴分别交于4(5,0),两点，且与

反比例函数为=与的图象在第一象限内交于P,K两点‘连接。尸,尸的面积为:.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若。为线段。4上的一个动点，当PC+KC最小时，求APKC的面积.

【答案】(1)必=-；x+|>%=，•；|

22x5

【详解】⑴解：1•一次函数%=左》+6与坐标轴分别交于4(5,0),两点,

.•.把./(5,0),3(0,g)代入必=Kx+6得，

5尢+6=0k[=—

,L5,解得，

h=—5

一次函数解析式为必=—gx+|>

过点尸作1X轴于点H

•「4(5,0),

/.。/=5,

又S〉PAO=W，

.\-x5xPH=-

24

2

151

了.——'+—=一,

222

x=4,

尸(4,；)

•/P(4,1)在双曲线上,

.•.左2=4x1=2,

22

2

一.%=一・

x

(2)解：作点K关于x轴的对称点K',连接KK'交x轴于点M则K'(1,-2),OM=lf

连接尸K'交x轴于点C,连接KC,则PC+KC的值最小，

设直线尸K'的解析式为＞=%+〃，

m+w=-2

把P(4,；),K'(l,-2)代入得,

1

44m+n=—

2

5

m=—

6

解得，，

17

n=---

6

517

了.直线尸K，的解析式为y=-x-----

66

517171717

当歹=0时，—%——=0,解得，%=一，C(—,0)/.0C=—

66555

171217R

MC=0C-0M=—―1=—,AC=OA-OC=5——=-,3=0/_(W=5—1=4,

5555

XXXXX6

S2KC=SMKM-SAO/C-S"AC=142-1^2-18X1=

2252525

题型二双动点最值问题(两次对称)

12.如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、

MN,NA,则四边形AEMN周长的最小值为。

【答案】6

【解答】解；延长ND至,使/D=ZX4',延长AB至E',使BE=BE：连接HE',

交BC于M,燹DC于N,此时4V=/'N,EM=E'M,四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A'

E'+AE,根据两点之间线段最短，A'E'+NE就是四边形NEMN周长的最小值；

-：AD=2,AE=BE=\,

:.A'D=AD=2,BE=BE'=1,

:.AE'=3,AA'=4,

■-A'£'=+=5,

四边形AEMN周长的最小值为5+1=6.

13.（2023・淄博一模）如图，在四边形48CD中，NB=ND=90。，ND43=140。，M,N分别是

边DC,3c上的动点，当△㈤W的周长最小时，ZMAN=°.

【答案】100

【分析】作点N关于CD、C3的对称点及F,连接E尸分别交CD、CB于点、H、G,连接/〃、AG.

EM、FN,则当点河与点〃重合，点N与点G重合时，zUAW的周长最小，则易得NM4N的大

小.

【详解】解：如图，作点/关于。（、CB的对称点及F,连接EF分别交C。、CB于点、H、G,连

接/H、AG.EM、FN,

由对称性知：EM=AM,EH=AH,NF=NA,GF=GA,

AM+MN+NA=EM+MN+NF>EF,

当点M与点〃重合，点N与点G重合时，△力脑V的周长最小;

/GA=GF,EH=AH,

ZGAF=AGFA,ZHEA=ZHAE,

ZAGH=2/GFA,ZAHG=2ZHEA

•「NrU5=140。，

/.AGFA+AHEA=180。—ZDAB=40°,

•「ZAGH+ZAHG=2ZGAF+2ZHEA=2x40。=80°,

：,AGAH=180。-(N/G"+/AHG)=180°-80°=100°,

即/MAN=100°,

故答案为：100.

14.四边形ABCD中，ZBAD=125°,乙B=/D=90。，在BC、CD上分别找一点M、N,当三角形AMN

周长最小时，乙MAN的度数为

【答案】70

【解答】解：延长到/使得艮4'=AB,延长/O到/〃使得=AD,

连接4A"马BC、CQ分别交于点M、N.

乙ABC=AADC=90°,

:.A.Af关于8c对称，4A〃关于CO对称,

此时△4W的周长最小,

-：BA=BA',MBLAB,

:.MA=MA',同理：NA=NA",

乙4=乙MAB,AA"=乙NAD,

■：AAMN=AA'+AMAB=2AA',AANM=AA"+乙NAD=2乙A",

AAMN+AANM=2(△/'+AA"),

/BAD=125",

AA'+AA"=180°-ABAD=55°,

AAMN+AANM=2x55°=110°.

AMAN=180°-110°=70°,故答案为：70°

15.（2023•西安•二模）如图，在四边形A8CD中，ZS=ZD=90。，ZBAD=120°,AB=2,AD=4,

P、Q分别是边BC、CO上的动点，连接4P,我，PQ,则△APQ周长的最小值为.

【答案】4币

【分析】如图，由4=/。=90。，作A关于8C对称的点作A关于CD对称的点4,连接

与8C交点为尸，与C。交点为0,连接/〃，AQ',由对称的性质可得AQ'=A'Q',

A'D=AD=-AA'=4,A"B=AB=-AA"=2,则/P'+尸'。'+/。'=N"P'+尸。'+/'O',可知当

22

A\P\Q\⑷四点共线时，△/尸0的周长最小为4Z",如图，过/'作⑷EL4D的延长线于E,

由N2/O=120。，可得NN"/E=60°,则Z"E=A4".sinZ4"J£=2g,AE=AA"-cosAA"AE=2,

A'E=10,根据H/"=YJA'E2+A"E2，计算求解即可.

【详解】解：如图，由ZS=ZD=90。，作A关于3c对称的点/"，作A关于。对称的点连接

与3C交点为尸，与C。交点为0,连接NP',AQ',

£口

由对称的性质可得=AQ'=A'Q1,A'D=AD=-AA'=4,A"B=AB=-AA"=2,

22

AP'+P'Q'+AQ'=A"P'+P'Q'+A'Q',

.•.当『、P\Q\4'四点共线时，△XP。的周长最小为44',

如图，过/'作的延长线于E,

ZBAD=120°,

NA'AE=60°,

:.A"E=AA'-sinZA'AE=2®AE=AAn-cosNA'AE=2,

A'E=10,由勾股定理得A1A"=ylA'E2+A"E2=477

16.如图，在平行四边形45co中，对角线/C、AD相交于点。，点£、尸分别是边/£＞、上的点,

连接OE、OF、EF,若AB=6,BC=2,ADAB=30°,贝UAOEF周长的最小值是.

【分析】作点。关于的对称点点。关于的对称点N,连接MN,MF,NE,AN,AM,

则AOE尸的周长=OE+O尸+斯="£'+£尸+披，故当E、F、N四点共线时ME+E尸+MR,

即此时A。跖的周长最小，最小值为九W的长，证明△M4N是等边三角形，得到==

过。作OP1交直线48于尸，由平行四边形的性质得到/O=8C=2,OD=OB=^BD,由含

30度角的直角三角形的性质得到。尸==1,则4?=6，OD=OB==,即可得到点尸与点

B重合,则CM=+082=正由此即可得到答案.

2

【详解】解：作点O关于AB的对称点M,点、O关于AD的对称点N,连接MV,MF,NE,AN,AM,

由作图得：AN=AO=AM,ANAD=ADAO,AMAB=ABAO,NE=OE,MF=OF,

AOEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+MF,

，当M、E、F、N四点、共线时ME+E产+MF,即此时AOE产的周长最小，最小值为MN的长,

NDAB=30°,

AMAN=60°,

是等边三角形，

MN=AM=AO；

过。作DP±AB交直线于P,

■：四边形/SCO是平行四边形，

AD=BC=2,OD=OB=-BD,

2

在RtA4D尸中，4。4P=30°,乙DP/=90°,

DP=-AD=\,

2

AP=y/AD2-BD2=V3.OD=OB=；BD=；,

AB=AP=V3，

.•.点P与点3重合，

OA=^AB1+OB2=—.

2

MN=—

2

AOEF的周长最小值为史,

题型三动线段问题：造桥选址(构造平行四边形)

鞍山•中考真题

17.如图，在平面直角坐标系中，已知4(3,6),5(-2,2),在x轴上取两点C,D(点C在点D左侧),

且始终保持CD=1,线段CO在x轴上平移，当40+8。的值最小时，点。的坐标为

【分析】作点B关于x轴的对称点B',将B，向右平移1个单位得到B",连接AB",与x轴交于点D,

过点B，作AB"的平行线，与x轴交于点C,得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB”,得到点D

坐标，从而可得点C坐标.

【详解】解；如图，作点B关于x轴的对称点B。将B，向右平移1个单位得到B",连接AB",与x

轴交于点D,过点B，作AB"的平行线，与x轴交于点C,

可知四边形B'B"DC为平行四边形，

则BC=B"D,

由对称性质可得：BC=B,C,

AD+BC=AD+B'C=AD+B"D=AB",

则此时AB”最小，即AD+BC最小，

/A(3,6),B(-2,2),

，B'(-2,-2),

，B"(-1,-2),

设直线AB”的表达式为；y=kx+b,

6=3k+bk=2

则c,解得:

-2=-k+bb=0

直线AB”的表达式为；y=2x,

令y=0,解得：x=0,即点D坐标为(0,0),

.•.点C坐标为(-1,0),

故答案为：(-1,0).

聊城•中考真题

18.如图，在直角坐标系中，矩形O45C的顶点。在坐标原点，顶点aC分别在X轴，y轴上，B,

。两点坐标分别为8(-4,6),D(0,4),线段即在边CM上移动，保持£尸=3,当四边形

BDEF的周长最小时，点E的坐标为.

【答案】(-0.4,0)

【详解】解：如图所示，:D(0,4),

二。点关于x轴的对称点坐标为“(0,-4),

:.ED=EH,

将点〃向左平移3个单位，得到点G(-3,-4),

:.EF=HG,EF//HG,

四边形EFG8是平行四边形，

:.EH=FG,

:.FG=ED,

:B(-4,6),

BD=^(-4-0)2+(6-4)2=2A/5,

/；EF=3,

四边形BDEF的周K=BD+DE+EF+BF=2M+FG+3+BF,

要使四边形ADE厂的周长最小，则应使尸G+B尸的值最小,

而当足G,8三点共线时尸G+8尸的值最小，

设直线8G的解析式为：y=Ax+6(左/0)

:B(-4,6),G(-3,-4),

f-4k+b=6

A[-3k+b=-4'

p=-io

A[b=-34，

..y=-10x-34,

当产0时，x=-3A,

；.尸(-3.4,0),

£(-0.4,0)

故答案为：(-0.4,0).

19.如图，在平面直角坐标系中有4（。,3）,。（5,0）两点.将直线小＞=x向上平移2个单位长度得

到直线4,点B在直线4上，过点3作直线4的垂线，垂足为点C,连接43,BC,CD,则折

线ABCD^AB+BC+CD的最小值为.

【答案】275+72

【分析】先证四边形48CF是平行四边形，可得AB=CF,则48+3C+CD=3+近+。0，即当

点C,点。，点下三点共线时，Cb+CD有最小值为。尸的长，即/B+8C+CD有最小值，即可求

解.

【详解】解：如图，将点A沿了轴向下平移2个单位得到石（0,1）,以NE为斜边，作等腰直角三角形

AEF,则点尸（1,2）,连接CF,

,二△/E尸是等腰直角三角形，

:.AF=EF=6，ZAEF=45°,

；将直线4：夕=》向上平移2个单位长度得到直线4，

ZAOC=45°,BC=近,

BC=AF=42,ZAEF=ZAOC=45°,

:.EFHOC,

'：AFLEF,BCLOC,

AFIIBC,

，四边形48CF是平行四边形，

AB=CF,

AB+BC+CD=CF+41+CD,

，当点C,点。，点尸三点共线时，C尸+CD有最小值为。歹的长，即48+8C+CD有最小值,

二点£)(5,0),点方(1,2),

DF=7(5-I)2+(2-0)2=2sJ~5,

二折线4BCD的长4B+3C+CD的最小值为2行+&

广西来宾中考真题

20.如图，已知点火3,0),8(1,0),两点C(-3,9),。(2,4)在抛物线了=/上，向左或向右平移抛物

线后，C,。的对应点分别为。，D。当四边形的周长最小时，抛物线的解析式

为.

【详解】解：•.•4(3,0),5(1,0),C(-3,9),Z>(2,4),

Z8=3-l=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性质可知：C'D'=CD=54i,

四边形48clO'的周长为AB+BC'+C'D'+D'A=2+BC'+5y[l+D'A；

票使其周长最小，则应使3O+DN的值最小；

设抛物线平移了0个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移;

C'(-3+a,9),。(2+0,4),

将。响左平移2个单位得到。4),则由平移的性质可知：BD"=AD：

将。"(a,4)关于x轴的对称点记为点£,则典°,-4),由轴对称性质可知，BD”=BE,

BC'+D'A^BC'+BE,

当8、E、C'三点共线时，3C'+3£的值最小，

90

将E点坐标代入解析式可得：-4=——。+——,

a-44-a

25___________________

解得：«=—，2匕时8C'+8E=C'£=J（-3+a-ay+（9+4）2

此时四边形4BCD'的周长为AB+BC'+C'D'+D'A=2+542+yfnS•

当a=4时，0（1,9）,£>'（6,4）,4（3,0）,8（1,0）,

此时四边形ABCD'的周长为：

N8+BO+C'D+ZT/=2+（9-0）+5&+46-3『+（4-0）2=16+50；

2+5A/2+V178<16+5V2,

，当a=1|时，其周长最小，所以抛物线向右平移了II个单位，所以其解析式为：y=(x

题型四垂线段最短

21.（2023下•湛江•二模）如图，在Rt^ABC中，44cs=90。，AC=6,BC=8,AB=10,4D平

济NCAB交BC于点、D,点、E、F分别是、NC边上的动点，则CE+跖的最小值为.

【详解】解：如图，在NB上取一点尸，使/尸=/尸，连接EF,作

,：4D平分/BAC,

\ODAC=GDAB,

'：AE=AE,

AAEF\AE叫SAS'）,

EF=EF',

:.CE+EF=CE+EF',

，当点C,E,尸在同一条线上，且CE//3时，CE+EF最小,即CE+E尸最小，其值为CH,

7S,

△AZsJCr=2-ACBC=-2AB-CH,

“ACBC6x824

CH-----------=------=—,

AB105

24

即CE+EF的最小值为彳

22.如图，2MON=45。,OP平分4MON,点/为射线。河上一点，04=4,点及/分别为射线

0P,。河上的动点，连接EF,贝U/E+跖的最小值为.

【解析】在ON上截取OG=OF,连接EG,过点A作AH_LON于点H.

•.OG=OF,ZEOG=ZEOF,OE=OE,

AOEG^AOEF,EG=EF,

AE+EF=AE+EGNAH.

5

■：AMON=45°,0A=4,/.AH=——OA=272.