河北省唐山市古冶区2024年中考数学五模试卷（含解析）

河北省唐山市古冶区2024年中考数学五模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.2017上半年，四川货物贸易进出口总值为2098.7亿元，较去年同期增长59.5%,远高于同期全国19.6%的整体进

出口增幅.在“一带一路”倡议下，四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长.将2098.7亿

元用科学记数法表示是（）

A.2.0987x103B.2.0987x101°C.2.0987xlOuD.2.0987xl012

11

2.若点A（a,b）,B（一,c）都在反比例函数7=一的图象上，且-ICcVO,则一次函数y=（…）x+ac的大致

ax

图象是（）

3.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为AACF、ACEF的内心.若AF=2,则PQ的长度为何？（）

A.1B.2C.273-2D.4-273

4.如图，网格中的每个小正方形的边长是1,点M,N,。均为格点，点N在。。上，若过点”作。。的一条切线

MK,切点为K,则MK=（）

A.372B.2y/5C.5D.用

5.如图，在矩形ABCD中，连接BD,点O是BD的中点，若点M在AD边上，连接MO并延长交BC边于点M，,

连接MB,DM，则图中的全等三角形共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

6.如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该

几何体的主视图是（）

CEjD.曲

C.昱D.-

32

8.如图，钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3亚m,某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC

的位置，此时露在水面上的鱼线为3#m,则鱼竿转过的角度是（）

A.60°B.45°C.15°D.90°

9.已知a,b为两个连续的整数，且a<JTT<b,则a+b的值为（）

A.7B.8C.9D.10

10.如图，AB/7CD,点E在线段BC上，CD=CE,若NABC=30。，则ND为（）

A.85°B.75°C.60°D.30°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

H.有下列各式：①土上；②二+2；③9土2；④4•四.其中，计算结果为分式的是_____.（填序号）

yxyaXxbb

12.已知点A（2,4）与点B（b-1,2a）关于原点对称，则ab=.

13.四边形A5CD中，向量AB+6C+C£>=.

14.如图，正AABC的边长为2,顶点B、C在半径为夜的圆上，顶点A在圆内，将正△A5c绕点B逆时针

旋转，当点A第一次落在圆上时，则点C运动的路线长为（结果保留兀）；若A点落在圆上记做第1次旋转,

将△A5C绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上记做第2次旋转，再绕C将△A5C逆时针旋转，当点5第

一次落在圆上，记做第3次旋转……，若此旋转下去，当AA3C完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置—

次.

15,尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线.

已知：如图，直线/与直线/外一点P.

求作：过点尸与直线/平行的直线.

作法如下:

（1）在直线/上任取两点A、B,连接AP、BP；

（2）以点3为圆心，A尸长为半径作弧，以点尸为圆心，A3长为半径作弧，如图所示，两弧相交于点M；

（3）过点P、M作直线；

请回答：平行于/的依据是.

16.如图A5是。直径，C、£）、E为圆周上的点，则NC+NO=

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在AABC中，ZABC=90°,D,E分别为AB,AC的中点，延长DE到点F,使EF=2DE.

（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；

（2）当NACB=60。时，求证：四边形BCFE是菱形.

18.（8分）九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调

查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.

男、女生所选项目人数统计表学生所选项目人敷扇形统计图

项目男生人数女生人数

机器人79

3D打印m4

航模22

其他5«

根据以上信息解决下列问题:加=,〃=；扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数

为。；从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）

求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

19.(8分)如图，在AABC中，AD=15,AC=12,DC=9,点B是CD延长线上一点，连接AB,若AB=L

求：AABD的面积.

BDC

20.(8分)某校对学生就“食品安全知识”进行了抽样调查(每人选填一类)，绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)。

请根据图中信息，解答下列问题：

食品安全知识”调点扇形统计图

”食品安全知识"调宜条摩统计图

人,<A>

(1)根据图中数据，求出扇形统计图中〃Z的值，并补全条形统计图。

(2)该校共有学生900人，估计该校学生对“食品安全知识”非常了解的人数.

21.(8分)如图1,已知抛物线(a/0)经过A(6,0)、B(8,8)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；

(3)如图2,若点N在抛物线上，且NN80=NA5。，则在(2)的条件下，在坐标平面内有点P,求出所有满足

△的点尸坐标(点尸、。、。分别与点N、。、3对应).

22.(10分)如图1,反比例函数y=&(x>0)的图象经过点A(26，1),射线A5与反比例函数图象交于另一点

B(1,a),射线AC与y轴交于点C,NR4c=75。，AO_Ly轴，垂足为O.

(1)求左的值;

(2)求tanNZMC的值及直线AC的解析式；

(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线Ux轴，与AC相交于点N,连接CM,求4CMN

面积的最大值.

23.(12分)关于1的一元二次方程(左+3■+2左+2=0.求证：方程总有两个实数根；若方程有一根小于1,求

上的取值范围.

24.已知关于x的一元二次方程2/+4%+左—1=0有实数根.

(1)求发的取值范围；

(2)若左为正整数，且方程有两个非零的整数根，求上的取值.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

将2098.7亿元用科学记数法表示是2.0987x1011,

故选：C.

点睛：本题考查了正整数指数科学计数法，对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成oxiO"的形式，其中

1<|«|<10,"是比原整数位数少1的数.

2、D

【解析】

将4（。力），3代入y=L得axb=l,-xc=l,然后分析A—c与ac的正负，即可得到y=0—c）x+ac

\cijxa

的大致图象.

【详解】

将A（a,b）,3］士。）代入y=L得axb=T,—xc=1,

、aJxci

即Z?=—9ci—c,

a

.111-c2

・・b-c=c=—c=--------

acc

V-l<c<0,A0<c2<bAl-c2>0.

即1—/与。异号.

/.b—c<0.

XVac>09

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，得出人-。与的正负是解答本题的关键.

3、C

【解析】

先判断出PQJLCF,再求出AC=2若，AF=2,CF=2AF=4,利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG,然后计算出

PQ即可.

【详解】

；P、Q两点分别为△ACF、ACEF的内心,

APF是NAFC的角平分线，FQ是NCFE的角平分线,

11

AZPFC=-NAFC=30°,ZQFC=-ZCFE=30°,

.•.ZPFC=ZQFC=30°,

同理，ZPCF=ZQCF

；.PQ_LCF,

.•.△PQF是等边三角形，

；.PQ=2PG；

易得AACF丝4ECF,且内角是30。，60°,90。的三角形,

；.AC=2若，AF=2,CF=2AF=4,

gAFxAC=；x2x273=273

SAACF=

过点P作PM_LAF,PN1AC,PQ交CF于G,

\•点？是小ACF的内心,

，PM=PN=PG,

：・SAACF=SAPAF+SAPAC+SAPCF

111

=-AFxPM+-ACxPN+-CFxPG

222

111

=-x2xPG+-x2，rxPG+-x4xPG

=(1+73+2)PG

=(3+73)PG

=273，

,"六31'

：.PQ=2PG=2(73-1)=273-2.

故选C.

【点睛】

本题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心

的意义.

4、B

【解析】

以OM为直径作圆交。。于K,利用圆周角定理得到NMKO=90。.从而得到瓦MLOK,进而利用勾股定理求解.

【详解】

MK="+42=26

故选：B.

【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直

关系.

5、D

【解析】

根据矩形的对边平行且相等及其对称性，即可写出图中的全等三角形的对数.

【详解】

图中图中的全等三角形有AABM丝△CDM，，AABD^ACDB,△OBM^AODM5,

△OBM^AODM,△M'BM四△MDM',△DBM四△BDM',故选D.

【点睛】

此题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟知矩形的对称性.

6、C

【解析】

A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.

【点睛】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线,

看不到的线画虚线.

7、A

【解析】

根据特殊角三角函数值，可得答案.

【详解】

tan60°=6

故选:A.

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

8,C

【解析】

＞-PHjS*3+r-.../「AHBC3y/2^2

试题解析：•sinZCAB=-----=-------=------

AC62

.,.ZCAB=45°.

...CRJBC_36

AC62

:*NC，AB，=60。.

...NCAC'=600-45°=15°,

鱼竿转过的角度是15。.

故选C.

考点：解直角三角形的应用.

9、A

【解析】

,.,9＜11＜16,

:〈万〈历，

即3＜而＜4，

；a,b为两个连续的整数，且。＜而＜沙，

a=3,b=4,

/.a+b=7,

故选A.

10、B

【解析】

分析：先由AB〃CD,得NC=NABC=30。，CD=CE,得ND=NCED,再根据三角形内角和定理得,

ZC+ZD+ZCED=180°,即30°+2ZD=180°,从而求出ND.

详解：VAB//CD,

/.ZC=ZABC=30°,

又；CD=CE,

ND=NCED,

VZC+ZD+ZCED=180°,即30°+2ZD=180°,

ZD=75°.

故选B.

点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出NC,再由CD=CE

得出ND=NCED,由三角形内角和定理求出ND.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11>②④

【解析】

根据分式的定义，将每个式子计算后，即可求解.

【详解】

XV..xbxa上羽=4故选②④.

——=1不是分式,---=3不是分式,

yxyaybXXbb/

【点睛】

本题考查分式的判断,解题的关键是清楚分式的定义.

12、1.

【解析】

由题意，得

b-l=-Lla=-4,

解得b=T,a=-l,

.*.ab=(-l)x(-l)=l,

故答案为1.

13、AD

【解析】

分析：

根据“向量运算”的三角形法则进行计算即可.

详解：

如下图所示，由向量运算的三角形法则可得:

AB+BC+CD

=AC+CD

uuur

=AD-

,,uuer

故答案为AD-

点睛：理解向量运算的三角形法则是正确解答本题的关键.

14、1.

3

【解析】

首先连接OA，、OB、OC,再求出NCBC的大小，进而利用弧长公式问题即可解决.因为△ABC是三边在正方形CBA'C"

上，BC边每12次回到原来位置，2017+12=1.08,推出当△ABC完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置1次.

【详解】

如图，连接OA\OB、OC.

；OB=OC=&,BC=2,

•••△OBC是等腰直角三角形，

ZOBC=45°；

同理可证：NOBA，=45。，

ZA,BC=90°；

,/ZABC=60o,

.,.ZA,BA=90o-60°=30°,

:.NC'BC=NA'BA=30°,

当点A第一次落在圆上时，则点C运动的路线长为：三丝一=2

1803

VAABC是三边在正方形CBA，C”上，BC边每12次回到原来位置,

20174-12=1.08,

当^ABC完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置1次,

7T

故答案为：i.

【点睛】

本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、规律问题等知识，解题的关键是循环利用数形结合的思想解决问题，

循环从特殊到一般的探究方法，所以中考填空题中的压轴题.

15、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线.

【解析】

利用画法得到PM=A5,BM^PA,则利用平行四边形的判定方法判断四边形A5MP为平行四边形，然后根据2平行

四边形的性质得到PM//AB.

【详解】

解：由作法得BM=PA,

二四边形ABMP为平行四边形，

：.PM//AB.

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线.

【点睛】

本题考查基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线;

作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了平行四边形的判定与性质.

16、90°

【解析】

连接OE,根据圆周角定理即可求出答案.

【详解】

解：连接OE,

根据圆周角定理可知：

11

ZC=-ZAOE,ZD=-ZBOE,

22

贝!JNC+ND」(ZAOE+ZBOE)=90°,

2

故答案为：90°.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，解题要掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)由题意易得，EF与3c平行且相等，利用四边形3C尸E是平行四边形.

(2)根据菱形的判定证明即可.

【详解】

(1)证明：：VD.E为AB,AC中点

ADE为AABC的中位线，DE=—BC,

2

，DE〃BC,

即EF〃BC,

；EF=BC,

二四边形BCEF为平行四边形.

(2)•.•四边形BCEF为平行四边形，

VZACB=60o,

.♦.BC=CE=BE,

二四边形BCFE是菱形.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

2

18、(1)8,3；(2)144;(3)

3

【解析】

试题分析：(D利用航模小组先求出数据总数，再求出n.(2)小组所占圆心角=照等；6下；(3)列表格求概

数据总数

率.

试题解析：(1)…二二；；

⑵二」；

(3)将选航模项目的一名男生编上号码7,将一名女生编上号码，.用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有，种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“名男生、名女生”有：种可能.尸(1名男

生、1名女生)如用树状图，酌情相应给分)

考点：统计与概率的综合运用.

19、2.

【解析】

试题分析：由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，NC=90。，再由勾股定理求出BC,得出BD,即可得出结

果.

解：在AADC中，AD=15,AC=12,DC=9,

AC2+DC2=122+92=152=AD2,

即AC2+DC2=AD2,

.'△ADC是直角三角形，ZC=90°,

在RtAABC中，BC=J7^=^S^=16,

.,.BD=BC-DC=16-9=7,

.'.△ABD的面积="7x12=2.

20、(1)m=35,补全条形统计图见解析；(2)该校学生对“食品安全知识”非常了解的人数为135人。

【解析】

试题分析：

(1)由统计图中的信息可知，B组学生有32人，占总数的40%,由此可得被抽查学生总人数为：32+40%=80(人),

结合C组学生有28人可得：m%=28+8OxlO0%=35%,由此可得m=35；由80-32-28-8=12(人)可知A组由12人，

由此即可补全条形统计图了；

(2)由(1)中计算可知，A组有12名学生，占总数的12+8OxlO0%=15%,结合全校总人数为900可得900xl5%=135

(人)，即全校“非常了解”“食品安全知识”的有135人.

试题解析：

(1)由已知条件可得：被抽查学生总数为32+40%=80(人)，

二m%=28+80x100%=35%,

/.m=35,

A组人数为：80-32-28-8=12(人)，

将图形统计图补充完整如下图所示：

“食品安全知识,调育条彩统计图

(2)由题意可得:900x(124-80xl00%)=900xl5%=135(人).

答：全校学生对“食品安全知识”非常了解的人数为135人.

21、(1)抛物线的解析式是尸一1%2-3X；(2)。点的坐标为(4,-4)；(3)点P的坐标3是45或(435，3=).

2416164

【解析】

试题分析：(1)利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；

(2)首先求出直线OB的解析式为y=x,进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；

(3)首先求出直线A，B的解析式，进而由APiODsaNOB,得出APIODSANIOBI,进而求出点PI的坐标，再利

用翻折变换的性质得出另一点的坐标.

试题解析：

(1):抛物线尸叱+打(存0)经过A(6,0)、B(8,8)

1

64〃+8Z?=8Q=­

，将A与5两点坐标代入得：〈36a+6b=0'解得:2,

”=—3

二抛物线的解析式是y=-x2-3x.

2

（2）设直线03的解析式为由点5（8,8）,

得：8=8而,解得：fci=l

二直线08的解析式为尸x,

二直线0B向下平移m个单位长度后的解析式为：产x-m,

.12,

..x-m=-x-ix,

2

•••抛物线与直线只有一个公共点，

A=16-2机=0,

解得："2=8,

此时XI=X2=4,y=x2-3x=-4,

••.O点的坐标为（4,-4）

（3）•.,直线的解析式为尸x,且A（6,0）,

点A关于直线05的对称点£的坐标是（0,6）,

根据轴对称性质和三线合一性质得出ZA'BO=ZABO,

设直线45的解析式为产的x+6,过点（8,8）,

**•8左2+6=8,解得：上2=—>

4

直线的解析式是尸y=；x+6,

VZNBO=ZABO,ZA'BO=ZABO,

.MA，和3N重合，即点N在直线AB上，

二设点N（〃，：x+6）,又点N在抛物线广,r2-3x上，

42

[3

-x+6=—n2-3/z,解得：“k---，"2=8（不合题意，舍去）

422

•••N点的坐标为（-士3，—45）.

28

如图1,将AN05沿x轴翻折，得到AMO51,

E/345、/、

贝!|M（——，），Bi（8,-8）,

28

.,.0、都在直线尸-x上.

'：APiOD^ANOB,△NOB^ANiOBy,

：.APIOD^/^NIOBI,

,OPX_OP

,•西—西

345

•••点Pi的坐标为（―：，—寿）•

416

将AOBO沿直线尸-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（普,1），

164

综上所述，点P的坐标是（-31-43s）或（4营5”3）・

416164

【点睛】运用了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，

利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键.

22、（1）2^/^;（2）,y—^-x—1;（3）—+A/3

3-34

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2百；

（2）作BHLAD于H,如图1,根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1,273）.贝!|AH=2白-1,

BH=2G-L可判断△ABH为等腰直角三角形，所以NBAH=45。，得到NDAC=NBAC-NBAH=30。，根据特殊角

的三角函数值得tan/DAC=1；由于AD，y轴，贝！IOD=1,AD=2右，然后在RtAOAD中利用正切的定义可计算

3

出CD=2,易得C点坐标为（0,-1）,于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=1x-l；

3

（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t,正）拒）,由于直线l，x轴，与AC相交于

点N,得到N点的横坐标为t,利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t,Bt-1）,则MN=^8-

3t

走t+L根据三角形面积公式得到SACMN=L・t•（辿-立t+1）,再进行配方得到S=-3（t-且）2+2叵（0

32t3628

<t<2V3），最后根据二次函数的最值问题求解.

试题解析：（1）把A（2月，1）代入y=£得k=26xl=2杷;

X

（2）作BH_LAD于H,如图1,

把B（1,a）代入反比例函数解析式y=2叵，得a=2出，

X

•••B点坐标为（1,273），

-,.AH=2V3-1,BH=26-1,

AABH为等腰直角三角形，二ZBAH=45°,

■:ZBAC=75°,二ZDAC=ZBAC-ZBAH=30°,

tanZDAC=tan30°=；

3

•.，AD_Ly轴，.*.OD=1,AD=2J3»VtanZDAC=—=—,

DA3

.\CD=2,.\OC=1,

•••C点坐标为（0,-1）,

设直线AC的解析式为y=kx+b,