指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第7课时指数与指数函数

［考试要求］1.掌握根式与分数指数累的互化，掌握指数累的运算性质.2.通过

实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调

性、特殊点等性质，并能简单应用.

［链接教材•夯基固本］落实主干,激活技能

©梳理•必备知识

1.根式

(1)如果x"=a,那么工叫做a的〃次方根，其中〃>1,且〃GN*.

(2)式子班叫做根式，其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(3)(血)"=心

当〃为奇数时，Va"=a；

当〃为偶数时，\［c^=\a\=［a，

(—a,a<0.

2.分数指数毫

正数的正分数指数易，灯研(a>0,m,〃©N*,»>1).

正数的负分数指数募，a~n=^=^=(a>0,m,〃GN*,«>1).

an

0的正分数指数募等于。，0的负分数指数募没有意义.

3.指数幕的运算性质

aras=ar+s；(/)$=幽(abY=aH(a>0,b>0,r,s@Q).

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数且aWl)叫做指数函数，其中指数x是自变量,定义域

是R,且是底数.

(2)形如^=阮巴y=ax+k(k^R,且左W0,如果是^=瓦7。那么左还应满足左W1；

a>0且aWl)的函数叫做指数型函数，不是指数函数.

(3)指数函数的图象与性质

项目a>\0<a<l

xy

>/y=ay=a\

图象(0,1)二'

1%1x

定义域R

值域(0,+8)

过定点(0,1),即x=0时，y=l

当x>0时，v>l；当x<0时，V>1；

性质

当x<0时，0<v<l当x>0时，0勺<1

在(一8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

［常用结论］

指数函数图象的特点

(1)指数函数y=a，(a>0,且aWl)的图象恒过点(0,1),(1,a),(—1,依据

这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.

(2)函数与(4>0,且。力1)的图象关于y轴对称.

(3)在第一象限内，指数函数>=〃(4>0,且aWl)的图象越高，底数越大.

€>激活•基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(l)Va7?=(Va)n=a.()

(2)函数>是R上的增函数.()

(3)若型<相(。>0,且。#1),则机<〃.()

［答案］(1)X(2)X(3)X

二、教材经典衍生

3

1.(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简［"—5)2『的结果为()

A.5B.V5

C.一V5D.15

33

B［原式=(^/^)4=(5§)4=5g=55=遮.］

2.(人教A版必修第一册PIM例1改编)若函数/(x)=〃(a>0,且aWl)的图象经

过点(2,J),则/(—1)=()

A.1B.2

C.V3D.3

C［依题意可知a2=i解得a=^,所以/(X)=(f),所以/(—D=(f)=V3.］

3.(多选)(人教A版必修第一册Pi*例3改编)下列各式比较大小正确的是()

24

A.1.72-5>1,73B.Q)3>2-

32

C.1.7。・3>0,931D.(|)4<Q)3

BCD［因为为增函数，所以1.725<1.73,故A错误；因为y

244

=@”为减函数，所以dy>(；y=2-g，故B正确；因为1.7。3>1,而0.931©(0,

32

1),所以1.7°3>09」，故C正确；因为尸(|了为减函数，所以(|)4<(|)3,又y

22322

=我在(0,+00)上单调递增，所以邸<(|「所以故D正确」

4.(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数/(》)=*)+6的图象过

原点，且无限接近直线了=1,但又不与该直线相交，则/(—2)=.

I［因为/(x)的图象过原点，所以/(0)=4(£)°+6=0,即a+6=0.又因为/(x)

的图象无限接近直线y=l,但又不与该直线相交，所以b=l,a=~\,所以/(x)

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

考点一指数幕的运算

［典例1］⑴(多选)已知a+a1=3,则下列正确的是()

A.层+4-2=7B./+。-3=18

1_i

C.a2+a-2=±V5

J(4的了

(2)计算:T(a>09b>0).

(0.1)T・(a3・(-3)2

(l)ABD(2)|[(1)因为。+/=3,所以序+a-2=(a+1)2—2=9-2=7,故选

项A正确;因为a+a~i=3,所以a3+a~3=(a+a~l)(a2—l+a-2)=(6z+a-1)•[(〃+

ii

第1)2—3]=3*6=18,故选项B正确；因为Q+Q/=3,所以(成+。-2)2=。+〃-1+2

11

=5,且a>0,所以成+。-2=正，故选项C错误；因为〃+。-3=]8,且口>0,

所以+高)=a3+a-3+2=20,所以+磊=2遥，故选项D正确.

33_3

(2)原式=2・42产

名师点评指数塞运算的一般原则

(1)将根式、分数指数累统一为分数指数嘉，以便利用法则计算.

(2)先乘除后加减，负指数嘉化成正指数嘉的倒数.

(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数.

(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形

式要求统一.

[跟进训练]

1.(1)已知x<0,y>0,化简历歹得()

A.lV3x2jB.V3x2j

C.~3x2yD.3x2y

2

(2)计算：仔)§+0.0024一10(迷一2尸+兀。=.

(1)B(2)—字[(1)由题意得y9xsy4=94(x8)4(y4)4=V3x2[y|=VSx2^.

(2)原式=(|1+500二屋靠g+14+10V5-10V5-20+1=一等1

口考点二指数函数的图象及应用

[典例2](1)(多选)已知实数a,6满足等式2022。=2023s则下列式子可以成

立的是()

A.a=b=0B.a<b<0

C.Q<a<bD.0<b<a

(2)若直线y=2a与函数了=|优一l|(a>0,且aWl)的图象有两个公共点，则。的取

值范围为

(l)ABD(2)(0,I)[(1)如图,观察易知，a<b<0<0<b<aa=b=O,故选

ABD.

(2),v=|於一1]的图象是由,v=〃的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的

图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a>\时，如图①，两个图象只有一个交点，

-1

不合题意；当0<。<1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0<2a<l,得0<a=.

综上可知，a的取值范围为(0,1).

名师点评(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图

象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数。与1的大小关系不

确定时应注意分类讨论.

⑵掌握函数y=/(|x|),y=f(x),y=/(x)|的图象之间的变换与联系.

(3)定点与渐近线是作图的关键.

[跟进训练]

2.(1)(2023•枣庄二模)指数函数>=优(4>0,且的图象如图所示，则y=

ax2+x图象顶点的横坐标的取值范围是()

A-(一8，-0B.(一：,0)

C.(0,0D.1+8)

(2)若曲线例=2云+1与直线没有公共点，则实数b的取值范围是

(1)A(2)[-1,1][(1)由图象知函数为减函数，则0Va<l,

二次函数了=办2+%图象的顶点的横坐标为x=—

1111

.1----

VO<a<l,>•---22a2

2a

1

选

故A

--

(2)曲线例=2*+1与直线y=b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线例=2，+

1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是1,1].

J

y=2"+1

1

______

17

0\-lX

-2]y=—2x—1

1

考向1比较指数式的大小

5

[典例3](1)(2023•天津高考)若。=1.01%6=1.01。3c=0.6°-,则a,b,c

的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

(2)若2、+5"・2〉+5^，则有()

A.x+y>0B.x+yWO

C.x-yWOD.x—y^O

(1)D(2)B[(1)由了=1.01工在R上单调递增，则a=L01°sVb=

由y=x0-5在[0,+8)上单调递增，则口=1.01。・5>°=0.6°-5.所以b>a>c.故选

D.

⑵设函数/(x)=2x—5二，易知/(x)为增函数.

又/(—y)=2->—52,由已知得/(x)W/(-y),所以xW—y,所以x+yWO.故选B.]

【教师备选资源】

已知函数/(x)=f—云+。满足/(l+x)=/(l—X),且/(0)=3,则/(〃)与/C)的

大小关系为()

A./©)》/(〃)B./OW/W)

c./C)>/W)D.f6)=f⑺

A[根据题意，函数/(x)=x2—bx+c满足/(x+l)=/(l—x),则有2=1,即6=

2.

又由/(0)=3,得c=3,

所以〃=2工，cx=3x.

若x<0,则cx<bx<l,

而/(X)在(一8,1)上单调递减，

此时有/(〃)勺'O；

若x=0,则c，=Z/=l,

此时有/(〃)=/©);

若x>0,则有1<〃<己，

而/(X)在(1,+8)上单调递增，

此时有/&)勺'©).

综上可得]

考向2解简单的指数方程或不等式

(4%%＞0

[典例4](1)已知实数aWl,函数/(x)='/'若/(I—a)=/(a—1),

%＜0,

则a的值为.

(2)设函数/(x)=g)—7'久＜o'若/⑷＜1,则实数。的取值范围是.

限,%三0,

(呜(2)(-3,1)[⑴当时，41-=21,解得。=去

当a＞l时，2。-(1句=4。"无解，故。的值为去

⑵当。＜0时，原不等式化为G)"—7＜1，

则2。＜8,解得。＞一3,所以一3＜。＜0.

当a20时,则“＜1,0Wa＜l.

综上，实数。的取值范围是(一3,1).]

考向3指数函数性质的综合应用

[典例5](1)(2023•新高考I卷)设函数/(x)=2QF在区间(0,1)单调递减，则a

的取值范围是()

A.(—8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

(2)(2023•全国乙卷)已知/(x)=/w■是偶函数，则a=(一~一

A.l2B.—1

C.1D.2

(3)不等式半一2馍+。＞0对任意xGR都成立，则实数a的取值范围是.

(1)D(2)D(3)(1,+°°)[⑴法一(复合函数法)：因为y=2*在R上单调递增，

所以y=x(x—a)在区间(0,1)单调递减，所以x=]2l,解得口三2.故选D.

法二(特值法)：取＜7=3,则y=x(x—3)=(%-|)一；在(0,1)单调递减，所以/(x)

=2也-3)在(0,1)单调递减，所以。=3符合题意，排除A,B,C,故选D.

(2)法一:/(x)的定义域为{x|xW0},因为/(x)是偶函数，所以/(乃=/(一x),即怒

——，即e(i-a)x一旷=一eQib+er,即6。-川+031户=©，+—"所以口一1=±1,

e~ax-l

解得a=0(舍去)或〃=2.故选D.

法二：/(x)=3~=e(a-nLer，/(x)是偶函数，又了=X是奇函数，所以y=e(“")x

-e*是奇函数，故a—1=1,即a=2.故选D.

(3)原不等式可化为心一4叶2户1对xGR恒成立，

令1=2工,则/>0,.*.v=—4JC+2x+1=—r2+2r=(-(t-1)2)+K1,当/=1,即x

=0时,Jmax=l,a>l.]

【教师备选资源】

在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域。内单调递增且有界的函数/㈤,

即mM>0,X/x^D,则下列函数中，所有符合上述条件的序号是.

初(x)=a；数(x)=卷；副(%)=洋；@f(x)=^.

③④[对于①，/(x)=a无界，不符合题意；

对于②，/(X)=—T=」T不单调，不符合题意；

1+%%+-

X

对于③，/(乃=*=舄=三詈=1—熹单调递增，且〃x)e(—1,1),则

\f(x)\<l,符合题意；

对于④，/(乃=击-1单调递增，且/(x)G(O,1),则符合题意•]

名师点评(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同

底”原则，比较大小还可以借助中间量.

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、

单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

[跟进训练]

A.aa<ab<baB.aa<ba<ab

C.ab<aa<baD.ab<ba<aa

/1、a%2+2%+3/

⑵若函数/(x)=G)的值域是(o,[]，则/(X)的单调递增区间是

(i)c(2)(—8,-1][(D：；<cyvGyvi且y=cy在R上是减函数，

：.0<a<b<l.

当OVQVI时，指数函数y=谈在R上是减函数，

二.0bVcf.

当OVQVI时，赛函数y=x"在[0,+8)上单调递增，

/.aa<ba,.,./<;相<〃.故选C.

(2)：y=G)’是减函数，且/(x)的值域是(0,i],.•"=ax2+2x+3有最小值2,

则a>Q且空宴=2,解得a=l,

4a

因此/=7+2》+3的单调递减区间是(一8,一口，

故/(x)的单调递增区间是(一8,-1].]

课时分层作业(十二)指数与指数函数

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.已知指数函数/(x)=(2q2—5a+3)〃在(0,+8)上单调递减，则实数。的值为

()

1

A.-2B.1

3

C.-2D.2

、1

A[由题意得2a2—5a+3=l,2a1—5a+2=Q,或0=5.

当Q=2时，/(x)=2%在(0,+8)上单调递增，不符合题意；

当时，/(X)=Q)在(0,+8)上单调递减，

符合题意，

L506

2.设。=0.6。6,Z?=0.6,c=1.5-,则。，b9c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

C[由指数函数y=06在(0,+8)上单调递减，可知0<0.61・5<0.6。6<1,又

所以b<a<c.]

3.若函数/(、)=〃一6的图象如图所示，贝U()

A.a>\,b>lB.a>l,Ov6Vl

C.0<4/<l,b>lD.Ovqvl,O<Z?<1

D[根据题图知，函数/(%)=〃一b是减函数，

所以Q£(O,1),根据图象的纵截距，令x=O,J=1-/)E(O,1),解得b£(O,

1),即aG(0,1),Z)e(O,1).]

4.若2万2+1忘67-2,则函数了=2工的值域是()

A-。，2)B.[J,2]

C.(-00,D.[2,+8)

B[因为2f+iwGy-2=24外，所以》2+iW4—2x,即/+2X—3W0,解得一

34W1,所以函数尸2*的值域是L，2].故选B.]

5.(2023•全国甲卷)已知函数/(x)=e-"T)2.记(y),b=f停)，c=f件)，

则()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

A[函数/(x)=e-(KT)2是由函数.y=e"和M=—(x—1)2复合而成的复合函数，》

=e"为R上的增函数，M=—(x—在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调

递减，所以由复合函数的单调性可知，/(X)在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)

上单调递减.易知/(X)的图象关于直线x=l对称，所以c=/停)=/(2—纽

又壬2—亨所以/仔)勺'(2—日)<f停)，所以b>c>/故选A.]

6.当xG(—8,—1]时，不等式("一")•4"一2工<0恒成立，则实数制的取值范

围是()

A.(-2,1)B.(-4,3)

C.(-3,4)D.(-1,2)

D［原不等式变形为序―加<(；),

因为函数y=G)在(一8,—1］上单调递减,

当xG(—8,—1］时，nr—机<0恒成立等价于m2—m<2,解得一l<m<2.］

二、多项选择题

7.已知函数^=〃(°>0且的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解

析式对应正确的是()

ABD［由题图知，函数了=〃为增函数，即。>1,且当x=l时，y=2,即a=2.

则A项，y=gy的图象，满足条件，

B项，了=/=2的图象，满足条件，

C项，y=2叫当x>0时，函数y=2x单调递增，不满足条件，

D项，y=|log刈的图象，满足条件.故选ABD.］

8.(2024•重庆巴蜀中学模拟)若/(x)=ei-/(%GR),其中e为自然对数的底数,

则下列命题正确的是()

A./(x)在(0,+8)上单调递增

B./(x)在(0,+8)上单调递减

C./(x)的图象关于直线x=0对称

D./(x)的图象关于点(0,0)中心对称

BC［因为.v=l—f在(0,+8)上单调递减，在(一8,0)上单调递增，y=e》在

定义域R上单调递增，

所以/(x)=eJ/在(0,+8)上单调递减，在(一8,0)上单调递增，故A错误，

B正确；

又/(—x)=ei-(r)2=eir2=/a),所以/(x)=ei-/(xGR)为偶函数，函数图象关

于y轴对称，即关于直线x=0对称，故C正确，D错误.故选BC.］

三、填空题

9.(2021•新高考I卷)已知函数/(x)=》3伍•2，-21)是偶函数，则。=

1［法一(定义法)：因为/(x)=/m•2—2七)的定义域为R,且是偶函数，

所以/(—x)=/(x)对任意的x©R恒成立，

所以(一x)1*3(a,2r—2X)=x3(a,2X—2")对任意的x©R恒成立，所以x3(a-1)(2X

+2-*)=0对任意的x©R恒成立，所以q=L

法二(取特殊值检验法)：因为•2、一2七)的定义域为R,且是偶函数，

所以/(一1)=/⑴,所以一住一2)=2°—最解得a=l,经检验,f(x)=x3(2x~2

-X)为偶函数，所以4=1.

法三(转化法)：由题意知/(x)=x3(a•2、-2")的定义域为R,且是偶函数.设g(x)

=x3,h(x)=a,2X—2^X,因为g(x)=x3为奇函数，所以〃(x)=a•2工一2二为奇函

数，所以〃(0)=。•2°—2-。=0,解得。=1,经检验，/(》)=以2*—2")为偶函数，

所以a=1.］

10.若函数^=第心0,且在［0,1］上的最大值与最小值的和为:，则函数y

=3层工-1在［0,1］上的最大值为.

12［因为指数函数y=ax(a>0,且aWl)在定义域上是单调函数，又^=〃在［0,

1］上的最大值与最小值的和为:，所以4。+〃=1+。="解得。=4,所以_)?=3於^

=3X=12X(元).因为函数y=(五)在定义域上为减函数，所以,V=

12xgy在［0,1］上单调递减，所以/(x)=12X("^［0,1］上的最大值为/(0)

=12.］

四、解答题

11.已知函数/(x)=b•於(其中口，b为常数，且a>0,。#1)的图象经过点/(I,

6),8(3,24).

⑴求/(x)的解析式；

(2)若不等式&了+&7一机三0在(—8,Ii上恒成立，求实数机的取值范围.

［解］(1)因为/(x)的图象过点，(1,6),5(3,24),

~(b•a—6,

所以［

lb,a3=24,

所以a2=4.

又a>0,所以4=2,6=3.所以/(x)=3・25

(2)由⑴知a=2,b=3,

则当XG(—8,1］时，(；)+(5)一加三0恒成立，

即机wcy+qy在(-8,I］上恒成立.

又因为y=O与y=O在(—8,1］上均单调递减,所以产(3+(”在(-8,

1］上也单调递减，所