圆的相关概念与性质 讲义-2024年中考数学一轮复习原卷版

考点19.圆的相关概念与性质（精讲）

【命题趋势】

圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四

边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特

殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，

分值在8T0分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质

的各个概念、性质以及推论。

【知识清单】

1.与圆有关的概念（☆）

1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。

2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦。

3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧,大于半圆的弧叫优弧。

4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。

7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做圆圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不

相等的两个圆叫做同心圆。

8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧。

2；二圆的相关性质及推理（☆☆☆）

1）圆的对称性

（1）圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，

将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。

（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。

2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂

线，构造直角三角形。

3）推论

1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

3）如图，可得①过圆心；②ABEICD；③CE=DE；@AC=AD；⑤BC=BD。

总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦

不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中

三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。

4）弧、弦、圆心角的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相笠，那么它们

所对应的其余各组量分别相等。

解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。

5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的二生。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90。的圆周角所对的弦是直径。

注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个

度数和为180。。

6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这

个四边形的外接圆。

性质：（1）圆内接四边形对角互补;（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知

圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比

如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余

进行转化等。

【易错点归纳】

1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。

2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的

圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。

【核心考点】

核心考点1.圆的有关概念

例1：（2023•安徽安庆•九年级统考期末）下列说法中正确的是（）

A.直径是弦，半圆不是弧B.相等的圆心角所对的弧也相等

C.周长相等的两个圆是等圆D.圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴

变式1.（2023・江苏宿迁•九年级校联考期中）下列说法中，正确的是（）

A.半圆是弧，弧也是半圆B.长度相等的弧是等弧C.弦是直径D.在一个圆中，直径是最长的弦

变式2.（2023•福建•校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（）

A.同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B.同一个圆所有的直径都相等

C.圆的周长是直径的万倍D.圆是轴对称图形

例2：（2023•江苏连云港•统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由

两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心。的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正

确的是（）

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

变式1.（2023上•河北沧州•九年级校考期中）如图，由点尸引出的上4、PB、PC、PD为。的四条弦，其

中最长的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

变式2.（2023,浙江绍兴•校联考三模）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分

比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1,当任务完成的百分比为x时，线

段的长度记为d（x）.下列描述正确的是（)

A.1(25%)=1B.当工>50%时,d(x)>\

C.当占＞尤2时，］任）＞〃（%2）D.当占+%=1。0%时，△（无i）=d（无2）

例3：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了

解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好,

谓之璧；肉好若一，调之环."如图1,"肉"指边（阴影部分），"好"指孔，其比例关系见图示，以考古发现

看，这两种玉器的"肉"与"好"未必符合该比例关系.

⑴若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为;

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环"及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合"肉好若一"？

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好"，请画出内孔.

变式1.（2021•江苏徐州•统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正

方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

变式2.（2023•山东德州・统考二模）《墨子・天文志》记载："执规矩，以度天下之方圆."度方知圆，感悟数

学之美.如图，正方形ABCD的面积为2,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'3'C'D,若

AB'.AB=2:\,则四边形AB'C'。'的外接圆的周长为.

例4：（2022•山东东营・统考中考真题）如图，在。中，弦AC〃半径O3,/3OC=40。，则/AOC的度数

为__________

变式1.（2023,湖南,校考二模）如图，点A,B,C均在上，若/A=48。，NC=15。，贝i14=（）

IB

C

A.48°B.78°C.63°D.49°

变式2.（2023年江西省中考数学真题）如图，点A,B,C,。均在直线/上，点尸在直线/外，则经过其

中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

P.

ABCD

A.3个B.4个C.5个D.6个

例5：（2024上•北京丰台•九年级统考期末）如图，点。为线段A3的中点，ZACB=ZADB=90°,连接OC,

OD.则下面结论不一定成立的是（）

A.OC=ODB.NBDC=NBACC.ZBCD+ZBAD=180°D.AC平分Z3AD

变式1.（2023上•江苏无锡•九年级校考阶段练习）如图，线段A3为。的直径，点C在的延长线上，

AB=4,3C=2,点尸是：O上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtPCD,且使NDCP=60°,

连接。。，则。。长的最大值为（）

A.V19B.2.y/3C.273+1D.4

变式2.（2023・广东汕头・统考一模）如图，在等腰RtABC中，AC=3C=30，点P在以斜边A3为直径

的半圆上，M为尸C的中点.当点尸沿半圆从点A运动至点8时，点〃运动的路径长是.

核心考点2.圆的相关性质及推理

例5：（2023•四川德阳•模拟预测）下列语句中，正确的是（）

①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦

所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形.

A.①②B.②③C.②④D.④

变式1.（2023上•内蒙古呼和浩特•九年级校考期中）下列命题错误的有（）个

A.弧长相等的两段弧是等弧；B.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；C.圆是轴对称图形，任何一条

直径都是它的对称轴；D.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上.

A.1B.2C.3D.4

变式2.（2024上•河南新乡•九年级统考期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②

相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内

切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补.其中真命题的个数

有个.

例6：（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，"老碗面”是陕西地方特色美食之一.图

②是从正面看到的一个"老碗"（图①）的形状示意图.A8是。的一部分，。是A8的中点，连接。。，

与弦A3交于点C,连接Q4,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,贝|。的半径。4为（）

图①

A.13cmC.17cmD.26cm

变式1.（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）如图，OA,OB,OC都是।。的半径，AC,03交于点O.若

AD^CD=8,OD=6,则5。的长为（）.

A.5B.4C.3D.2

变式2.（2024・四川凉山•统考模拟预测）建设中的“乐西高速”是乐山市与西昌市的重要通道，建成后将极大

改善区域内交通运输条件，并对沿途各县的经济发展有极大地促进作用，如图是其中一个在建隧道的横截

面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，若M是回。中弦的中点，经过圆心。交回。于点£,且

CD=8m,EM=8m,贝腼。的半径为（）m

A.5B.6.5C.7.5D.8

例7：（2023・辽宁抚顺•校联考一模）如图，四边形A3。内接（O,AC平分254。，则下列结论正确的是

A.AB=ADB.BC=CDC.AB^ADD.ABCA=ZDCA

变式1.（2023・安徽滁州•校联考一模）如图，AB是回。的直径，点C为圆上一点，AC=4点,。是弧AC

的中点，AC与BD交于点E.若E是8。的中点，则8C的长为（）

EC

A.5B.3C.2D.1

变式2.（2023・四川成都•模拟预测）如图，在。中，弦AD、相交于点E,连接OE,已知AB=C£>.

⑴求证：3E=DE；（2）如果O的半径为5,AD±CB,DE=1,求AE的长.

例8：（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在。中，半径。互相垂直，点C在劣弧上.若

()

A.23°B.24°C.25°D.26°

变式1.（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图,48,C是3。上的三点，若NAOC=90。，ZACB=25°，

25°C.40°D.50°

变式2.（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，AC,3c为的两条弦，D,G分别为AC,8C的中

点，。的半径为2.若NC=45。，则。G的长为（）

3

C.D.72

2

例9:（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在。中，弦AB,CD相交于点尸，若NA=48。，ZAP©=80°,

则33的度数为（）

C.48°D.52°

变式1.（2023•河北沧州•统考二模）某圆形舞台，圆心为0.A,8是舞台边缘上两个固定位置，由线段A5

及优弧ACB（点C是该弧中点）围成的区域是表演区.如图1，在A处安装一台监控器，其监控的度为70。.如

图2,若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（）

甲：在B处放置；乙：在M处放置；丙：在N处放置

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙

变式2.（2023•辽宁抚顺•统考一模）如图，ABC是。的内接三角形，为。的直径，。平分/ACB,

交＜。于点。，连接AD,点E在弦。上，且ED=AD,连接AE.

⑴求证：ZBAE=NCAE；(2)若—3=60。，AB=8,求AE的长.

例10:（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，AD是O的直径，弦BC交"）于点E,连接A5,AC,

若/应1£）=30。，则/ACB的度数是（）

A.50°B.40°C.70°D.60°

变式1.（2023年广东省中考数学真题）如图，是。的直径，ZBAC=50°,则（）

c.50°D.80°

变式2.（2023,江苏盐城•统考模拟预测）如图，A2是1。的直径，点C是BD的中点，CEJ.AB于点E,BD

交CE于点F⑴求证：CF=BF；⑵若BE=OE=3,求AD的长度•

例11:（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，四边形ABCD内接于O,E为BC延长线上一点.若

NOCE=65。，则—30。的度数是（）

C.130°D.140°

变式1.（2023年山东省泰安市中考数学真题）如图，AB是。的直径，D,C是。上的点，/ADC=115。,

A.25°B.30°C.35°D.40°