2021年中考数学高频考点突破-实数 （原卷版）

考点1.实数及其运算

知识框架:

'实数的概念及分类

实数的相关概念（数轴、相反数、倒数、绝对值）

实数的大小比较

基础知识点4

'法则：力口、减、乘、除、乘方、开方

实数运算

运算定律：交换律、结合律、分配律

科学记数法、近似数及有效数字

'正负数的意义

无理数的识别与估算

实数的分类

实数的相关概念

实数的大小比较

重难点题型

实数的运算

非负数的运用

新定义运算

科学记数法

近似数与有效数字

基础知识点:

知识点1」实数的概念及分类

1）有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。

整数和分数统称为有理数。正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。

注：最小的正整数是1,最大的负整数是-1,绝对值最小的数是0。

2）有理数的分类

按定义分按正负分

rc［正整数

整数（o’正有理数

正实数

、负整数正无理数

有理数J［正分数］实数,

实数，0

分数负分数有限小数和

负有理数

【无限循环小数负实数＜

负无理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

注：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一条件，归纳起来有三类：①开方开不尽的数，如⑺,次等;

②有特定意义的数，如万，或化简后含有兀的数，如万+8等；③有特定结构的数，如0.1010010001…等;

知识点1-2实数的相关概念

1）数轴

规定了愿点、正方向和单位长度的直线叫做数轴;数轴上的点和实数是一一对应的.

2）相反数

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，a和互为相反数。。的相反数是0。

a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a=0o

3）绝对值

定义：一般地，数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值，记作⑷。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果a>0,那么⑷=a；如果a=0,那么|a|=0；如果a<0,那么|a|=-a。

a=以|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a>0o

4）倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与6互为倒数，则有仍=1,反之亦成立。

a=!所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，fl=±lo

a

知识点1-3实数的大小比较

有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a-b>0oa>b,a-b=boa=b,a-b<0<^>a<b

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，巴>loa>b;%=loa=b;巴<l=a<b;

bbb

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则时>同0。</2。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则4>/720a<人。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。

知识点1-4实数的运算

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较

大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加,

仍得这个数。

加法运算律：①交换律a+b=b+a；②结合律(a+b)+c=a+(b+c)<,

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律。6=匕。；②结合律(ab)c=a(bc);③分配律a(b+c)=ab+ac。

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即："b=J。

b

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

乘方定义：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做事。

如：Q〃=QXQXX4读作〃的〃次方(嘉)，在中，〃叫做底数，〃叫做指数。

”个a

性质：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数；0的任何正整数次幕都是0。

算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。

。的算术平方根记作&,读作“根号。”，a叫做被开方数。即％=后。

规定：。的算术平方根是0。

平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于。，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果尤2=〃,

那么x叫做。的平方根。即％=土后。

注：求一个数。的平方根的运算，叫做开平方；正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负

数没有平方根。

立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根。即如果x3=a,

那么x叫做a的立方根，记作妫。即％

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括

号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

知识点1-5科学记数法及近似数

1）科学记数法

定义：把一个大于10的数表示成aX10"的形式（其中。大于或等于1且小于10,w是正整数），这种记数方

法叫做科学记数法。小于TO的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，”是原数的整数数位减1得到的正整数。

用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（aXlO-"）时，〃是从小数点后开始到第一个不是Q的数为止的数

的个数。

2）近似数与有效数字

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位

——精确到0.1；精确到百分位一一精确到0.01；…。

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的

数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

重难点题型

题型1、正负数的意义

【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.

1.（2020•湖北孝感•中考真题）如果温度上升3C,记作+3℃,那么温度下降2c记作（）

A.-2℃B.+2℃C.+3℃D.-3℃

2.（2020•内蒙古呼和浩特•中考真题）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个

汉语成语.将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：0,+5,

-3,+2,则这5天他共背诵汉语成语（）

A.38个B.36个C.34个D.30个

3.（2020•云南中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.某仓库运进面粉7吨，记为+7

吨，那么运出面粉8吨应记为吨.

4.（2020•湖北宜昌•中考真题）向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，“体

重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加kg

5.（2020•福建中考真题）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新

了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，

记为o米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面io。米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”

下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米.

6.（2019•内蒙古呼和浩特•中考真题）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记

为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（）

-0.6

题型2、无理数的识别与估算

【解题技巧】无理数有如下几种常见类型：①根号型，如啦等开方开不尽的数；②构造型，如0.101001

0001...；③万及含力的数，如乃，兀+4等.另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.

1.（2020•湖南怀化•中考真题）下列数中，是无理数的是（）

A.-3B.0C.-D.J7

3

2.（2020•贵州安顺•中考真题）下列各数中，3.14159,—痣0.131131113…，-兀,4,无理数的

7

个数有

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2020•甘肃金昌•中考真题）下列实数是无理数的是（）

1l-

A.-2B.—C.,9D.J1]

6

4.（2020•四川遂宁•中考真题）下列各数3.1415926,^9,1.212212221-,2-n,-2020,返中，

无理数的个数有个.

5.（2020•自贡中考真题）与2最接近的自然数是.

6.（2020•达州中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（）

10

A.3.14B.—C.V12D.V17

3

7.（2020•台州中考真题）无理数在（)

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

8.（2020成都初三诊断）已知5+J7的小数部分是。，5-4的小数部分是匕，则（。+勿2。19=

题型3、实数的分类

【解题技巧】掌握实数的两种分类即可判定。

（正有理数

有理数0'正实数

［负有理数或实数…

实数：0

［正无理数

无理数负实数

负无理数

1.（2020•浙江下城•）下列说法错误的是（）

D.正是分数

A.V16的平方根是±2B.0是无理数C.强7是有理数

2

2.（2020•上海嘉定•初三二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（）

12271一

A.-4—B.—C.—D.50%

272

3.（2020•南昌市第一中学初一期中）有下列四个论断：①-」是有理数；②交是分数；③2.131131113…

32

是无理数；④兀是无理数，其中正确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2019•广东深圳实验学校初三期中）在实数一,0,石，屈,-1.414,有理数有（）

72

A.1个B.2个C.3个D.4个

77—1

5.（2020•浙江萧山•初三月考）下列对实数——说法正确的是（）

2

A.它是一个有理数B.它是一个单项式C.它是一个分数D.它的值等于1.07

6.（2019•内蒙古玉泉•中考模拟）下列实数中，有理数是（）

A.垃B.网'C.—D.3.21

题型4、实数的相关概念

【解题技巧】熟悉数轴、相反数、绝对值、倒数等相关概念，根据概念判定即可。

1）求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如a的相反数是-。，〃什〃的相反数是-（%+"）,

这时机+”是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号.

2）①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没

有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负数.④如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由

字母。本身的取值来确定：

3）实数与数轴上的点是一一对应关系.任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个

点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.在数轴上，表示相反数的两个

点在原点的两旁，且两点到原点的距离相等，实数。的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

4）乘积是1的两个数互为倒数。即：如果。与6互为倒数，则有而=1,反之亦成立。

（1）数轴：

1.（2020•内蒙古中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+l表示，且点A到原点的距离等于3,

则。的值为（）

A.-2或1B.-2或2C.-2D.1

2.（2020•四川乐山•中考真题）数轴上点A表示的数是-3,将点A在数轴上平移7个单位长度得到点5.则

点5表示的数是（）

A.4B.T或10C.-10D.4或一10

3.（2019•北京中考真题）在数轴上，点A,B在原点O的两侧，分别表示数a,2,将点A向右平移1个单

位长度，得到点C.若CO=BO,则a的值为（）

A.-3B.-2C.-1D.1

4.（2019•吉林中考真题）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）

A.3B.2C.1D.-1

5.（2019•福建中考真题）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是一4和2,点C是线段AB的中点，则点

C所表示的数是.

d£B

~62_*

6.（2020•北京中考真题）实数。在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数。满足-a<〃<a,则6的值

可以是（）

A.2B.-1C.-2D.-3

11111.1A

-3-2-10123

7.（2020•丰台•初一期中）如图1,圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母机、小p、q,

如图2,先让圆周上表示根的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示-2020

的点与圆周上重合的点对应的字母是（）

D.q

（2）相反数

1.（2019•北京怀柔•中考模拟）如图，数轴有四个点，其中表示互为相反数的点是（）

_|__」4_।_q।__।_L

-3-2-1012345

A.点A与点。B.点A与点CC.点、B与点、CD.点、B与点、D

2.（2020•湖南永州•中考真题）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2020的相反数为

)

11

A.B.2020C.-2020D.

20202020

3.（2020•湖南郴州•中考真题）如图表示互为相反数的两个点是)

A.点A与点3B.点A与点。C.点。与点BD.点C与点。

CBD

1I

-3-2-10123

4.（2020•河北中考真题）下列各组数中,互为相反数的是（)

_111L和2

A.2和-2B.-2和一C.—2和——D.

222

（2020•湖北咸宁•中考真题）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是

A

-3-2-1012T

6.（2020•全国初一课时练习）下列各数中，相反数等于本身的数是（）

A.-2019B.0C.兀D.2020

（3）绝对值

1.（2020•山东烟台•中考真题）实数a,6,c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最

大的是（）

i---------------1--------------------------------------------

-3-2-10123

A.aB.bC.cD.无法确定

2.（2020•辽宁鞍山•中考真题）-一匚的绝对值是（）

2020

11

B.--------C.-2020D.2020

20202020

3.（2020•黑龙江绥化•中考真题）化简|&-3|的结果正确的是)

A.72-3B.-72-3C.72+3D.3-72

4.（2020•广西田东•初三一模）|.x-3|=3-x,则x的取值范围是.

5.（2020•扬州市梅岭中学初三一模）若l<a<2,化简,―2|+|1—4的结果是

6.（2020•重庆第二外国语学校初三其他）下列命题正确的是（）

A.绝对值等于本身的数是正数B.绝对值等于相反数的数是负数

C.互为相反数的两个数的绝对值相等D.绝对值相等的两个数互为相反数

7.（2020•湖南株洲•中考真题）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的

克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）

+1.2-2,3*0.9-0.8

A.B.C.D.

（4）倒数

1.（2020•广东新会•初三一模）2020的相反数和倒数分别是（）

1111

A.-2020,B.-2020,C.2020,D.2020,

2020202020202020

2.（2020•内蒙古•中考模拟）已知一个数的倒数的相反数为3^,则这个数为（）

165165

A.—B.—C.——D.------

516516

3.（2020•河北迁西•初三其他）下列说法正确的是（）

A.-1的相反数是1B.—1的倒数是1C.-1的平方根是±1D.—1是无理数

4.（2020•湖南娄底•中考真题）-2020的倒数是（）

11

A.-2020B.----------C.2020D.-------

20202020

5.（2020•江苏无锡•中考真题）-7的倒数是（）

11

A.一B.7C.--D.-7

77

（2020•黑龙江克东•初一期末）-工的倒数的相反数等于（）

6.

2

11

A.-2B.-C.--D.2

22

题型5、实数的大小比较

【解题技巧】实数大小比较的三种方法：

1.法则比较：正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

2.数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.

3.作差比较：若a-b>0,则a>6；若°-b<0,则a<6；若a-6=0,则a=6.

1.（2020•江苏盐城•中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（）

A.a>0B.a>bC.a<bD.|a|<|Z?|

“J4.A.

aOb

2

2.（2020•浙江温州•中考真题）数1,0,-2中最大的是（）

2

A.1B.0C.----D.-2

3

3.（2020•辽宁盘锦•中考真题）在有理数1,y,-1,。中，最小的数是（）

__________________________________________

A.1B.—C.-1D.0

2

4.（2009•黑龙江牡丹江•中考真题）若0（尤<1,则X,工，V的大小关系是（）

X

1o199119

A.—<x<xB.x<—<xC.x<x<—D.—<x<x

xxxx

（填或

5.（四川成都•中考真题）比较大小:

6.（2020•湖北荆州•中考真题）若a=（%—2020）°力=—1J,c=|-3|，则a,b,c的大小关系是.（用

〈号连接）

7.（浙江丽水•中考真题）在数-3,-2,0,3中，大小在-1和2之间的数是（）

A.-3B.-2C.0D.3

题型6、实数的运算

【解题技巧】（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加

减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

（1）开方运算

1.（2018•贵州安顺•中考真题）4的算术平方根为（）

A.+V2B.亚C.±2D.2

2.（2020•山东烟台•中考真题）4的平方根是（）

A.±2B.—2C.2D.^2

3.（2020•四川攀枝花•中考真题）下列说法中正确的是（）.

A.0.09的平方根是0.3B.716=±4C.0的立方根是。D.1的立方根是±1

4.（2020•湖南衡阳•中考真题）下列各式中正确的是（）

A.-|-2|=2B.74=±2C.正=3D.3°=1

5.（2020•山东烟台•中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（）

A.按键MODE即可进入统计计算状态

B.计算质的值，按键顺序为:2ndF

C.计算结果以“度”为单位，按键DMS可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果

计算器显示结果为工时，若按

D.键，则结果切换为小数格式0.333333333

3

6.（2019•山东临沂・）一般地，如果尤4=a（a>0）,则称了为。的四次方根，一个正数。的四次方根有两个.它

们互为相反数，记为土指，若折7=10,则〃?=.

（2）实数混合运算

1.（2020•河南许昌•初三一模）计算：（乃+1）。+|6—2|—［工］=

2.（2020•云南昆明•中考真题）计算：12。21-强+（兀一3.14）-1.

3.（2020•湖南益阳•中考真题）计算：（-3>+2x（0-1）-卜2后|

4.（2020•内蒙古呼和浩特•中考真题）计算：|1—G|—后乂而

5.（2020•广东大埔•初三其他）计算：（-2）2-V9+（V2-l）°+（-）-'

3

6.（2020•江西中考真题）计算：（1—G）。—1—2

题型7非负数的应用

【解题技巧】直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案.

1.（2020・广东中考真题）若，二，+|匕+1|=0,则（。+加2。2°=.

2.（2020•湖北黄冈•中考真题）若［%—2|+斤7=0,则—；孙=.

3.（2020•山东潍坊•中考真题）若|a—2|+JF=？=0,则a+b=.

4.（2020•黑龙江大庆•中考真题）若|x+2|+（y—3-=0,则x—y的值为（）

A.-5B.5C.1D.-1

5.（2020•云南峨山•初二期末）AABC的三边的长a、b、c满足：（a-lp+6_2+卜_q=0,贝。4ABC

的形状为（）.

A.等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形

6.（2020•四川成都・天府七中初三期中）若a,b为有理数，下列判断正确的个数是（）

（1）|。+1|+2总是正数；（2）4+（a人—4）2总是正数；（3）5+（ab—5）2的最大值为5；（4）2-（«&+3）2

的最大值是3.

A.1B.2C.3D.4

题型8新定义运算

【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规

的实数混合运算算式进行计算.

1.(2020•广东省华南师大附中初三模拟)观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)l!=l,2!=2xl,

2020)

3!=3x2xl,4!=4x3x2xl,那么计算-----1的值是()

2019!

A.2018B.2019C.2020D.2021

2.(2019•湖南株洲•中考真题)从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数(记作为,仇)构成一个数组

M

K=｛ak,bk｝(其中左=12,S,且将｛以,4｝与｛4,以｝视为同一个数组)，若满足：对于任意的

A/,.=｛4，2｝和=｛%也｝(，/都有q+2则S的最大值()

A.10B.6C.5D.4

n2,n<10

3.(2020•北京101中学初三一模)对于正整数"，定义p(")=<其中/(〃)表示〃的首位

f(n),n>10,

数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=62=36,F(123)=l2+32=10.规定耳(〃)=—〃),

7^+1(«)=F(F(«))(左为正整数)，例如，耳(123)=歹(123)=10,

F2(123)=F(FX(123))=F(10)=1.按此定义，则由月(4)=,/^019(4)=

4.(2019•四川遂宁•中考真题)阅读材料：定义：如果一个数的平方等于-1，记为『=_[,这个数z•叫做

虚数单位，把形如a+初(a,6为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，。叫这个复数的虚部.它

的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算：(4+z)+(6-2i)=(4+6)+(1-2-=10—力；

(2-z)(3+z)=6-3z+2z-r=6-z-(-l)=7-z；

(4+z)(4-z)=16-z2=16-(-1)=17；

(2+z)2=4+4z+z2=4+4z-l=3+4z

根据以上信息，完成下面计算：(1+2z)(2一i)+(2—i)2=.

5.(2019•湖南湘西•中考真题)阅读材料：设展=(xi,yi),6=(X2,y2),如果a〃b，则x『y2=X2・yi,

根据该材料填空，已知a=（4,3）,b=（8,m）,且2〃1），则m

ri

6.（2020•四川宜宾•中考真题）定义:分数一（m,n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等

m

〃A11

式右边的每一个分数的分子都为1）,记作一=—+—+■•••:例如

ma{a2

7△11]111

19^192+52+11

A2+2+-,'7的连分数是2+

771+-T-:r~,记作

1H—11+191+

5rr

2+-2+-

222

7A1111A111

-----------1——1--+—,则------F—+一.

19~2122~123

ab23

7.（2019•福建莆田•初一期中）定义新运算：我们定义=ad-bc,例如=2x5—3x4=—2.

d45

34

则（填最后的结果）

-25

8.（2020•四川达州•中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即''结

绳