2024年威海市高三二模数学试卷（含答案）

2024年威海市高考模拟考试

数学

注意事.qd

1.答卷历，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用椽皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.样本数据11,12,13,16,2Q,22,25,2736的60%分位数为

A.20B.21C.22D.23.5

2.在研究集合时，用can!(⑷来表示有限集合4中元素的个数.集合〃={1,2,3,4},

N={x|x>闻，若5rd(”nN)=2,则实数m的取值范围为

A.[2,3>B,[2,3]C.(2,3)D.(2,+oo)

3.已知双曲线W-4=lQ>0,6>0)的离心率为上，则该双曲线的渐近线方程为

ab4

143

A..y=±2xB.y=±-xC.y=±-xD.y=i-x

4.B知正项等比数列{(}中，q=1,且-%,%,4成等差数列，则%=

A.1B.3C.4D.6

5.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，斜率为石的直线过点尸，且与C在第

一象限的交点为Z,若|斯|=8,则0=

A.2B/*C.8D.12

6.在正方体4GA中，E,尸分别为棱BC,的中点，若平面。3片与平

面曲的交线为/,贝卜与直线阳所成角的大小为

c兀

A.-BgC，4D.-

62

7.已知向量Q,b满足|4|=1,|5|=2,且对V4wR，|b+M|2|b-a|，则a.b=

A・—2B.-lC.1D.2

8.设。=工，Z>=lnl.21,c=10sinJ-,则

10100

K.a>b>cB,b>a>cC.Oflxb

高三数学第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.下列命题为贡•命题的嵬

A<l+i)2是纯虚数

B.对任意的复数z,?Hz|2

C.M任意的复数z,(z-D(E-l)为实数

八cosa+isina,.0、....小

D.丽+isiM=c°s(a")+】sm(a")

10.已知函数/(x)=sin(4+5),则

AJ(x)在(0,1)上单调速减

B.将y=/(x)图象上的所有点向左平移上个单位长度后得到的曲线关于y轴对称

C.在(-1,2)上有两个零点

29241

D.Z/(0=*

/»0，

11.数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆4+4=1(<7>/>>0)任意两条互

ab

相垂直的切线的交点都在以原点。为圆心，庇万为半径的圆匕这个圆被称为该

工2v2

椭圆的象日圆.已知椭圆。:*+与=1(0<8<3)可以与边长为2访的t正方形的四条

9b

边均相切，它的左、右顶点分别为4,B,则

A.b=\f3

B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12

C.椭圆。的蒙日圆上存在两个点〃满足|协|=石|地|

D.若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E,尸两点，且直线OE,。尸的斜率都存在，

记为占，七,则尢必为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(F-x)7的展开式中产的系数为.(用数字作答)

13.在△N8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=4,

cosC=-g.则sin/=______.

6

14.已知圆锥的.顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，.它的

体积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)

市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品达到优秀等

级的概率为90%,乙厂产品达到优秀等级的概率为65%.现有某质检部门对该商品进行质

量检测.

(1)若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀

等级的概率：

(2)若质检部41在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到

优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望.

16.(15分)

如图,在四棱锥P-怂CD中，平面尸4D1平面抽CD,ZWD为等边E角形,

RDLAB,AD//BC,4D=4,AB=BC=2,M为总的中点.

(1)证明：0M_L平面痴：

(2)求直线PR与平面MCD所成角的正弦值.

17.(15分)

已知函数/(x)=lnxror+l.

(1)求/(*)的极值；

(2)证明：Inx+x+lWxet

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18.(17分)

在近角坐标系xOy中，已知曲线C:y=ax1+c过点(0,-J),且与x轴的两个交点*/,

B,|^|=4.

(1)求C的方程：

(2)已知直线/与C'相切.

(i)若/与直线y=-l的交点为证明：/«1加1

3)若/与过原点。的直线相交于点P,且/与直线0P所成角的大小为45。，求点尸

的轨迹方程.

19.(17分)

设xeR,y是不超过”的凝大整数，且记y=[x],当*21时，[幻的位数记为/夕)

例如：/(1.6)=1，/(争=2,/(996.2)=3.

(1)当10iWx<10"0»eN+)时，记由函数>=/(*)的图象，直线>=102，"=10"以

及x轴围成的平面图形的面积为勺，求可，%及4+%+…+勺；

(2)是否存在正数"，对VxeW，*o),f(3x)>f(2x),若存在，请确定一个M的

值，若不存在，请说明理由；

I2H

(3)当xNl,"GN+时,证明:/(x)+/(10^)+/(10"x)+-+/(10"x)=fO.QHx")-l.

高三数学第4页(共4页)

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数学参考答案

P(4)=60%,P(42)=40%，尸(用4)=90%，P(用4)=65%.

4

从而有P(B)=P(At)P(B|4)+P(A2)P(B\A2)=60%x90%+40%x65%=y.---------------4分

(2)由(1)知，质检部门在该市场中随机抽取1件该商品达到优秀等级的概率为名,

可得X~8(4,40.则X的取值范围是{0,1,2,3,4},----------------------------------5分

414416

P(%=0)=C：x(l--)4=—,P(y=l)=C>-x(l--)3=—,

30233JbZj

尸(X=2)=C：x(32x(l-32=黑,P(%=3)=C：X4)3X(1-1)=|||,

5562555625

P(X=4)=C：x($4=|||，

3OZJ

从而X的分布列为

X01234

11696256256

r

625625625625625

-----------------------------------------------------------------------------11分

416

E(Jf)=4x-=y.------------------------------------------------------------13分

高三数学答案第1页（共6页）

16.(15分)

(1)证明：取/。的中点。，连接产。，

因为△"£>为等边三角形，所以PO_L4。，-------------------------------------1分

因为平面PAD±平面ABCD,

平面平面488=/。，POu平面产为D,

所以PO1平面Z8CD,所以----------------------------------------2分

因为PDC\PO=P,

所以48J■平面PN。，---------------------------------------------------------3分

因为OMu平面尸”。，所以力-----------------------------------------4分

Z▲

因为△F4D为等边三角形，〃为力的中点，!

所以DMLP4,5分

因为/8|"|尸彳="，

所以OA/_L平面PX8.7分

(2)解：连接C。，

因为4£>〃8C,AD=2BC,

所以4。〃8c且/。=8。，

所以四边形48C。为平行四边形，所以48〃OC,

所以OC_L平面尸4D,8分

以。为坐标原点，OC,OD,而的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，-----------------------------------------------9分

则C(2,0,0),。(0,2,0),P(0,0,2君)，5(2,-2,0),A/(0,一。我,------10分

所以方=(2,-2,-2万)，丽=(-2,-1，5,丽=(-2,2,0),------------11分

设平面MCD的一个法向量为〃=(x,y,z),

m」CA/,〃=0\-2x-y+yfiz=Q

CD•〃=0[-2x+2y=0

令X=l,则”=(1,1,6),-----------------------------------------------13分

设直线PB与平面MCD所成角为。，

n~DDPB-n|

则milsi,n0=dcos<PB,n>I=-I=：----=\,-27—=2~—尸6二.—3,

|P5|.|«|师65

所以直线PB与平面A/C。所成角的正弦值为士.-----------------------------------15分

5

高三数学答案第2页(共6页)

17.（15分）

解：(1)由题意知/(x)的定义域为(0,+8),r(x)=；_a=l^,------------------2分

当aWO时,/(x)>0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上单调递增，无极值;------------4分

当a>0时，令/1'a)>0,解得0<x<L令，(x)<0,解得x>,，

aa

所以/(X)在(0」)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

aa

所以/(x)的极大值为/(1)=ln1,无极小值.--------------------------------------6分

综上，当a这。时，/(x)无极值；当a>0时，“X)的极大值为In,，无极小值.-------7分

a

(2)［法1］证明：4fcg(x)=j;ev-lnx-x-l(x>0),

1丫+］

则g，(x)=(x+l)e、——1=-(xer-l),-------------------------------------------8分

令〃(x)=xe*—l(x>0),则l(x)=(x+1)/>0,

所以力(X)在(0,+8)上单调递增,

又因为〃(0)=-1<0,/j(l)=e-l>o,---------------------------------------------9分

所以％(x)存在唯一的零点x°e(0,l),使得。(xo)=x°eW-1=0,----------------------10分

当xe(O,Xo)时，h(x)<Q»则g'(x)<0：当xw(Xo，+8)时,A(x)>0)则g，(x)>0,

所以g(x)在(O,Xo)上单调递减，在(丸,+8)上单调递增，-------------------------12分

所以g(x)Ng(Xo)=XoeM-lnxo-々-1,------------------------------------------13分

由=两边取对数得lnxo+x°=O,--------------------------------------14分

故g(x())=O,所以xe*-Inx-x-120，即lnx+x+1Wxe」成立.----------------------15分

【法2】证明：要证明lnx+x+1Wxe*,

只需证明lnxe*Wxe、-l,

1=xex(t>0),即证明InfWt-l,---------------------------------------------10分

即证明ln/T+lW0,即当a=l时,，/(/)<0.-------------------------------------12分

由第(1)问知，当a=l时，/(。//。)=0,

所以lnx+x+1Wxe,成立.------------------------------------------------------15分

高三数学答案第3页(共6页)

18.(17分)

解：(1)因为曲线C:y=ax2+c过点(0,-1),所以c=-l,----------------------------1分

由or?—1=0,可得x=±-]=,因为|/8|=4,

21所以C的方程为尸;》2_1

所以—^=4,解得。=了，---------------------------------4分

84

(2)(i)设直线/与曲线c相切的切点为,因为y=Jx,所以片=%，

422

2

则/的方程为y-g+l=?(x-〃7),

2

Bnmmt，八

BPy="~2x——i，------------------------------------------------------------------6分

所以〃(3,一1),---------------------------------------------------------------------7分

..2一

由题息知加。0,所以々0“=一百，可得k°M•仁=-1,所以-------------------9分

(ii)设尸的坐标为(xj),则而=(x,y),因为/与直线。尸所成角的大小为45。,

且/的一个方向向量为v=(l,g),所以cos45°=粤出，

2\OP\\v\

x+?五

可得|--------2==1=^,-------------------------------------------------------10分

历7代

整理得(4一阳2)X2+8〃7号+(〃/一4)'2=。,----------------------------------------11分

BP[(2-ni)x+(m+2)y][(2+ni)x+(w-2)y]=0,

所以(2一加)x+(〃？+2)y=0或(2+m)x+(〃i-2)y=0,-----------------------------------12分

当(2-加)x+(m+2)y=0时，加="+2',

x-y

因为y=gx_；〃?2,所以y=』+)-乂工―(」+与2-1,

24x-yx-y

323222

x+xy-y-xy=2(x+y)9

BPx(x2+y2)-y(y2+x2)=2(x2+y2),因为，+/6。，所以x-y=2,-----------------]4分

当(2+m)x+(加一2)y=0时，m=2；+j,因为y=,

同理可得x+y=-2,---------------------------------------------------------------16分

所以点尸的轨迹方程为x-y=2或x+y=-2(|x|=|y+2|).---------------------------17分

高三数学答案第4页(共6页)

19.(17分)

解：(1)若〃=1,则lWx<10,可得/(x)=l,所以6=007)x1=9,-----------------------1分

若睚=2,则10Wx<l()2,可得/。)=2,所以的=(100-10)x2=180...............................2分

当lO'TExvlO"时，可得/"(x)=〃，所以勺=(10"-10"-“”=9〃/(/1,-----------------------3分

设方=4]+%++%，

则7；=9+18x10+27x102……+9(〃-1).10"-2+9〃,1()心，

上式xlO得107；=9x10+18x102+27x1()3……+9(/»-1)10^+9»10",

两式相减得一97；=9+9x10+9x1()2+9x103••…-+9-10^-9n-10",

整理得看=〃40”-(1+10+102+1()3……+io"T),

所以北一罂--------------------------------------------5分

(2)由题意知，若x满足3"210x2"则/(3、)>/(2，)一定成立，------------------6分

所以lg3*21g(10x2,),即xlg321+xlg2,

解得所以〃取["FF，+8)中任何值皆可.-------------------------9分

lg3Tg2Ig3-lg2

(3)设㈤的位数为m,则10M-Yx<10"',可得,

所以=即m=[lgx]+l,所以/(x)=[lgx]+l,----------------------------------------11分

|2生

所以左边=/(x)+/(10"x)+/(10^)+……+/(10~x),

£2n4_

=([lgx]+l)+([lglO«x]+l)+([lglO»x]+l)+---+([lglO-x]+l),

[o1

=([lgx]+l)+([-+lgx]+1)+([—+lgx]+l)+•••+([―—Flgx]+l)9

设lgx=[lgx]+a,且一定存在正整数％,

使a€[H±)([O,-)U[-,-)U-U[—,l)=[0,1))>------------