河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（理科）试题含答案

强基联盟23届新高三摸底大联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）

A.9 B.8 C.6 D.52.若复数：（i是虚数单位），则（）A. B. C. D.3.下面几种推理是类比推理的是（）A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边，若中，，则C.由，，…，得到D.一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除4.已知随机变量，若，则（）A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.825.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.47.已如实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A. B.3 C. D.28.的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.540 B.135 C.18 D.12159.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则（）A B. C. D.10.对于一个数三次方，我们可以分解为若干个数字的和：，，，，…，根据上述规律，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）A.325 B.323 C.649 D.64711.随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（）A.10 B.117 C.38 D.3512.已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在处的切线方程是________．14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.气温1062售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为___________.15.已知随机变量，若，则______．16.已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列前n项和为，且，．（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18.如图，在直四棱柱中，，，，．

（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．20.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点．（1）求抛物线C的方程；（2）A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的普通方程；（2）已知点P的直角坐标为，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．强基联盟23届新高三摸底大联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A.9 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可求得【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为条．故选：C．2.若复数：（i是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法，可直接得出结果.【详解】故选：B3.下面几种推理是类比推理的是（）A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边，若中，，则C.由，，…，得到D.一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除【答案】A【解析】【分析】由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可.【详解】对于A，由平面图形的性质推测出空间几何体的性质，为类比推理，A正确；对于B，为演绎推理，B错误；对于C，为归纳推理，C错误；对于D，为演绎推理，D错误．故选：A.4.已知随机变量，若，则（）A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.82【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，所以．故选:C．5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义及对数的定义即可判断.【详解】解：由，可得，所以时，所以必要性成立；当时，在的情况下，不成立，所以充分性不成立．故“”是“”必要不充分条件．故选：B．6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，利用正弦定理得，然后结合已知条件利用余弦定理可求出【详解】．由正弦定理可得．又∵，，∴由余弦定理，可得，解得或（舍去）．故选：B．7.已如实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：联立，解得，令，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有有最小值，所以，故选.8.的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.540 B.135 C.18 D.1215【答案】B【解析】【分析】由题意得，求出，从而可求出二项展开式的通项公式，然后令的次数为零，求出，从而可求出结果【详解】由题意得，所以，所以展开式的通项，令，得，所以展开式中的常数项为．故选：B．9.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概型公式求出和，再利用条件概率公式计算即可得到本题答案.【详解】由题可得，，，所以．故选：D10.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：，，，，…，根据上述规律，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）A.325 B.323 C.649 D.647【答案】C【解析】【分析】直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解.【详解】观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1，5，11，19，满足，由规律可知，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为．故选：C．11.随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（）A10 B.117 C.38 D.35【答案】C【解析】【分析】根据分布列性质求出，再计算随机变量的期望方差，利用方差性质计算.【详解】，k＝1，2，3，，解得，，，.故选：C12.已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.【详解】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在上的最大值是．，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，则，即，所以，所以实数k的取值范围是．故选:D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在处的切线方程是________．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由，得，当时，，，所以切线方程为，即．故答案为：14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.气温1062售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为___________.【答案】42【解析】【分析】由最小二乘法求得回归直线方程经过样本的中心点，设出看不清楚的数据，表示出平均值，代入到回归直线方程即可求解.【详解】设看不清的这个数据为m，则，由于回归直线必过平均值点，所以，解得.故答案为：.15.已知随机变量，若，则______．【答案】【解析】【分析】，二项分布的性质，算出，在使用即可.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，所以．答案为：16.已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，所以，又直线与的一条渐近线平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1），（）.（2），（）.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和，结合已知条件联立方程可求出和，即可求出通项公式.（2）表示出，裂项相消求和即可.【小问1详解】解：由题可知，，即，解得，，所以，（）.【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，（）.18.如图，在直四棱柱中，，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出，由即可证明；（2）求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式求出余弦值即可.【小问1详解】因为平面，平面．所以，．又，所以，，两两垂直，以点D为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，．所以，所以．【小问2详解】，设向量为平面的一个法向量，则，即令，得，设向量为平面一个法向量，则，即令，得．所以．设二面角的大小为，由图可知，所以．所以二面角的余弦值为．19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．【答案】（1）填表见解析；有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，计算卡方并比较即可；（2）根据超几何分布相关知识即可求得X的分布列和数学期望.【小问1详解】由已知数据可得列联表如下：开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100提出假设开车时使用手机与司机的性别无关，因为，所以有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．【小问2详解】开车时不使用手机的男性司机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人．由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3，因为；；；．则的分布列为：0123则．20.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点．（1）求抛物线C的方程；（2）A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题设抛物线C的方程为，代入点即求；（2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理及条件可得，即证.【小问1详解】由题意，设抛物线C的方程为．因为抛物线经过点，所以，解得．所以抛物线C的方程为．【小问2详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，不妨设直线的方程为．联立得．其中，即，∴．∴，即，所以，解得．所以直线的方程为，恒过定点．21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求定义域，求导，求出导函数大于0和小于0的解集，求出单调性；（2）变形为在上恒成立，构造，求导，研究其单调性，对分类讨论，得到时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案.【小问1详解】定义域为，，因为恒成立，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】当时，，，整理得：，即在上恒成立，令，，若，