人教版七年级数学下册《消元-解二元一次方程组（第3课时）》示范教学设计

消元——解二元一次方程组（第3课时）教学目标1．理解加减消元的依据，会用加减消元法解简单的二元一次方程组．2．经历探究加减消元法解二元一次方程组的过程，进一步体会消元思想和“化未知为已知”的化归思想．教学重点用加减消元法解二元一次方程组．教学难点灵活应用消元思想，把“二元”转化为“一元”．教学过程知识回顾某种瓶装饮料有A，B两种包装盒，1个A包装盒和1个B包装盒能装10瓶，2个A包装盒和1个B包装盒能装16瓶．A，B两种包装盒分别能装多少瓶？【师生活动】教师引导学生设未知数，列出方程．设A种包装盒能装x瓶，B种包装盒能装y瓶．列方程组，得教师追问：你能用代入法解这个方程组吗？学生独立思考，完成作答：由①，得y＝10－x．③将③代入②，得2x＋10－x＝16．解这个方程，得x＝6．把x＝6代入③，得y＝4．所以这个方程组的解为【设计意图】从实际出发，结合具体的题目复习代入法，理解消元思想，巩固基础，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的“加减消元法”．新知探究一、探究学习【问题】前面我们用代入法求出了方程组的解，仔细观察，你能发现新的消元的方法吗？【思考】这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？【师生活动】教师引导学生分析观察方程组中的两个方程，学生独立思考，得出答案：两个方程中y的系数相等．【思考】利用这种关系你能发现新的消元方法吗？【师生活动】教师提示学生依据等式的性质1进行消元，学生小组讨论，得出答案：用②－①可消去未知数y，得(2x＋y)－(x＋y)＝16－10．【答案】解：②－①，得2x－x＝16－10，解得x＝6．把x＝6代入①，得y＝4．所以这个方程组的解为【思考】①－②也能消去未知数y，求出x吗？【师生活动】学生独立思考并完成作答．【答案】解：①－②，得x－2x＝10－16，解得x＝6．把x＝6代入①，得y＝4．所以这个方程组的解为【设计意图】用一连串的问题引导学生发现，新的消元方法的依据是等式的性质，让学生知道当方程组中某一未知数的系数相等时可以通过两方程相减消去一个未知数，从而达到把二元转化为一元的目的，初步感知加减消元的思想．【问题】联系前面的解法，想一想怎样解方程组【思考】此题中未知数y的系数有什么新的关系？【师生活动】教师引导学生分析观察方程组中的两个方程，学生独立思考，得出答案：两个方程中y的系数互为相反数．【思考】利用这种关系你能想到什么办法消元？【师生活动】教师提示学生依据等式的性质1进行消元，学生小组讨论，得出答案：用①＋②可消去未知数y，得(3x＋10y)＋(15x－10y)＝2.8＋8．【答案】解：①＋②，得15x＋3x＝2.8＋8，解得x＝0.6．把x＝0.6代入①，得y＝0.1．所以这个方程组的解为【思考】这两个方程组的特点是什么？能够实现消元的依据是什么？【师生活动】学生小组讨论作答，教师给出总结．【新知】当两个二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称“加减法”．加减消元法的依据是等式的性质．【设计意图】从“减”的情形过渡到“加”的情形，让学生理解适合用加减法解的二元一次方程组的特点，并会准确地判断什么时候用加法消元，什么时候用减法消元，为后面探究同一未知数系数的绝对值不相等的二元一次方程组的解法做准备．【问题】用加减消元法解方程组【思考】怎样对方程变形，使两个方程中某个未知数的系数相反或相同，进而使用加减消元法？【师生活动】教师引导学生依据等式的性质2对方程组进行变形，学生小组讨论，得出答案：在方程两边乘适当的数，变形成同一未知数在两个方程中的系数相反或相等．教师给出示例：以用加减法消去未知数y为例，学生根据示例，完成作答．【答案】解：①×2，得8x－6y＝30．③②×3，得9x＋6y＝21．④③＋④，得17x＝51，解得x＝3．把x＝3代入①，得y＝－1．所以这个方程组的解为【思考】如果用加减法消去x应如何解？解得的结果一样吗？【答案】解：①×3，得12x－9y＝45．③②×4，得12x＋8y＝28．④③－④，得－17y＝17，解得y＝－1．把y＝－1代入①，得x＝3．所以这个方程组的解为【归纳】当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可以先在系数绝对值较小的方程两边同乘倍数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝对值相等，再将两个方程相加或相减，从而实现消元．例如，可变形为当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小）的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，再加减消元．例如，可变形为【设计意图】用一连串的问题引导学生发现，当方程组中的未知数系数不相同或相反时可以通过构造相同或相反的系数，然后加减消元，让学生知道构造相同或相反系数的依据是等式的性质2，通过不同的构造系数的方法，体会如何构造运算会更加简便．二、典例精讲【例1】用加减消元法解方程组【师生活动】学生独立完成，学生代表板演过程，教师讲评．【答案】解：①＋②，得2x＋x＝10＋5，解得x＝5．把x＝5代入②，得y＝0．所以这个方程组的解为【例2】用加减消元法解方程组【师生活动】学生独立完成，学生代表板演过程，教师讲评．【答案】解：②×2，得2x－4y＝8．③①＋③，得2x＋2x＝16＋8，解得x＝6．把x＝6代入①，得y＝1．所以这个方程组的解为【例3】用加减消元法解方程组【师生活动】学生独立完成，学生代表板演过程，教师讲评．【答案】解：①×3，得9x＋12y＝48．③②×2，得10x－12y＝66．④③＋④，得19x＝114，解得x＝6．把x＝6代入①，得y＝－．所以这个方程组的解为【归纳】加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；（5）写解：将两个未知数的值用大括号