圆锥曲线大题（易错点+六大题型）（原卷版）-2024年高考数学复习（新高考专用）

圆锥曲线大题

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：解题规范

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】极点、极线

【题型二】自极三角形与调和点列

【题型三】齐次化法解决斜率相关问题

【题型四】定比点差法

【题型五】定点、定值

【题型六】求轨迹方程型

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测解答题☆☆☆☆☆

考向预测极点、极线

应试

圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一

般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，

这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。

一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点

例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。

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误区点拨

易错点：解题规范

圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现

在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。

例（2023年全国乙卷）己知椭圆。：4+，=1（。>6>0）的离心率是当，点力（-2,0）在。上.

（1）求C的方程；

（2）过点（-2,3）的直线交。于P,。两点，直线4P,力。与N轴的交点分别为证明：线段的中点为

定点.

变式1：（2024•湖南衡阳•二模）（多选）已知圆C:/+V=4,尸毡直线/:x+y-6=0上一动点，过点P作直

线尸4尸8分别与圆C相切于点48,则（）

A.圆C上恰有一个点到/的距离为2及B.直线18恒过点（|,|）

C.|力切的最小值是孚D.四边形4cBp面积的最小值为2而

抢分通关

【题型一】极点、极线

二次由线的极点极线

（1）二次曲线小?+为2+版+m+W+尸=0极点尸&0，打）对应的极线为

小。》一为“，+。^^+。空+E铝+产=0

VT婚Jf典乂孙T小产,X-空/一券（半代半不代）

（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程=十与=1

a~b~

①极点尸（x°，K）在椭圆外，P4PB为椭圆的切线，切点为48

P

第2页共14页B

则极线为切点弦/比岑+缪=1;

ab

②极点P（x0/o）在椭圆上，过点尸作椭圆的切线/,

则极线为切线/：警+浮=1;

D

③极点PC%,比）在椭圆内，过点P作椭圆的弦48,

分别过45作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线警+等=1；

a2b~

（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

।—1

典例精讲

【例1】过点（3,1）作圆（工-1）2+/=1的两条切线，切点分别为力、4则直线43的方程为（）

A.2x4-j-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

22

【例2】已知点尸为2x+y=4上一动点.过点尸作椭圆?+§=1的两条切线，切点分别从B,当点P运

动时，直线力8过定点，该定点的坐标是.

【例3】（2024•广东湛江•一模）已知点P为直线工-^-3=0上的动点，过P作圆。:/+『=3的两条切线,

切点分别为48,若点〃为圆E:（x+2）2+（k3）2=4上的动点，则点M到直线48的距离的最大值为

D名校模拟

22

【变式1］（2024•陕西西安•一模）已知椭圆氏二+与=1（。>6>0）的左，右焦点分别为耳，工，且6,居

ab

与短轴的一个端点。构成一个等腰直角三角形，点尸当当在椭圆E,过点心作互相垂直且与“轴不重

\/

合的两直线48,C。分别交椭圆E于A,3和点C,D,且点M,N分别是弦力3,CO的中点.

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(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若。(0/)，求以CO为直径的圆的方程；

(3)直线MN是否过x轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

【变式2](2024•上海徐汇•二模)已知椭圆0：《十片=1,

4、4分别为椭圆C的左、右顶点，「、鸟分别

43

为左、右焦点，直线/交椭圆C于同、N两点(/不过点4).

⑴若。为椭圆。卜(除4、4外)仟意一点，求百线。4和04的斜率之积:

(2)若丽=2而，求直线/的方程；

(3)若直线M4与直线g2的斜率分别是部22,且％肉=-9\，求证：直线/过定点.

【变式3](2024•新疆喀什•二模)已知椭圆。：=+1=1(〃>6>0)的左焦点£(-2立,0),点尸(0,2)在椭圆。

ah~

上，过点P的两条直线P4P8分别与椭圆C交于另一点48,且直线尸4总,48的斜率满足

%+%=%8(的“°).

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明直线48过定点.

【题型二】自极三角形与调和点列

一、调和点列的充要条件

HV/>

如图，若4C,民。四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)

A「1T~\O[[

—=—«>——=—+—oOC2=0BQoACAD=4BAOcABOD=ACBD

BCBDABADAC

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二、调和点列与极点极线的联系

如图，过极点P作任意更线，与椭圆交于”,N,与极线交点M则点M,。,MP成调和点列，若点尸的极线

通过另一点0，则。的极线也通过尸.一般称尸、。互为共枕点.

妇图，设P是不在圆雉曲线上的一点，过P点引两条割线依次交二次曲线于E,F,G,H四点,连接对

角线EH,FG交于N,连接对边EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上的点,

则过P点的切线即为极线.

同理，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自极三点形.设直线MN交圆

锥曲线于点4B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.

从直线％上任意一点P向椭圆从E+E=l（a>b>0）的左右顶点4，.42引两条割线尸4，尸均与椭圆

交于M,N两点，则直线MN恒过定点（?，（）'.

I—1

典例精讲

【例1】已知小8分别为椭圆f：二+产=1（a>l）的左、右顶点，G为E的上顶点，而•诙=8,尸为

a

直线k6上的动点，R1与E的另一交点为C,PB与E的另一交点、为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CO过定点.

【例2】（2022•全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/（。，-2）,8

两点.

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(1)求E的方程；

(2)设过点P(L-2)的直线交E于N两点，过M且平行于x轴的直线与线段48交于点7,点”满足

而=而.证明：直线”N过定点.

(—1

名校模拟

【变式1】(2024江南十校联考)在平面直角坐标系彳。中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐

标轴，右支与x轴的交点为(1,0),其中一条渐近线的倾斜角为

(1)求C的标准方程；

(2)过点*2,0)作直线/与双曲线。的左右两支分别交于4B两点,在线段48上取一点E满足

\AE\-\TB\=\EB[\AT\t证明：点£在一条定直线上.

【变式2】设椭圆C:=+}=l(a>b>0)过点例(上，1),且左焦点为”(-近，0).

矿D

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点尸(4,1)的动直线/与椭圆C相交于两不同点4,8时，在线段48上取点。，满足

|/H西|=|而H而|,证明：点。总在某定直线上.

【变式3】已知小鸟分别为椭圆G：%/叱…)的.上、下焦点，其中6也是抛物线C"T的

焦点，点〃是G与在第二象限的交点•且|M£|=g.

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(1)求椭圆G的方程；

(2)己知点P(l,3)和圆过点尸的动直线/与圆o相交于不同的两点43,在线段上取一

点。，满足:#=-/1序，而=2函，(4W0且/U±l).求证:点。总在某定直线上.

【题型三】齐次化法解决斜率相关问题

“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如f=ax2+bxy+eV称为

二次齐次式，f中每一项都是关于x,y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以大运算量著称，齐次化引入圆锥

曲线有时会极大地缩减运算量.

1：“齐次化”方法使用场景

题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和七+七或斜率乘枳自•七为定值时，优先考虑

使用齐次化的技巧.

2：用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为mx+my=1,再联

立即可.

3:方程为mx+my=l的直线，可以表示不过原点(原点坐标不适合方程)的所有直线(讨论m.n与

0的关系)

£=□

典例精讲

【例1】如图，椭圆E:5+5=l(Q〉b>0)经过点.4(0—1),且离心率为y.

(1):求椭圆E的方程；

(2)：经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(均异于点A),

【例2】已知椭圆0,+卷=1(帅>0)的离心率为且过点A(2,l).

(1)求椭圆C的方程；

(2)点M,N在椭圆C上，且.AM1AN,AD1MN,D为垂足.

I—J

名校模拟

【变式1](2024•全国•模拟预测)已知尸为椭圆C：5+V=l上一点，过原点且斜率存在的直线4与椭圆C

相交于48两点，过原点且斜率存在的直线(4与，2不重合)与椭圆C相交于〃，N两点，且点尸满足

到直线4和I,的距离都等于好.

3

(1)求直线4和，2的斜率之积；

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（2）当点P在。上运动时，M肝+|A/N「是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

【变式2］（2024•安徽合肥•二模）已知椭圆C:£+与=1（〃>6>0）的右焦点为了，左顶点为A,短轴长为2石,

a~b~

且经过点（lg）.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点F的直线/（不与x轴重合）与。交于只。两点，直线力夕,力。与直线x=4的交点分别为M,N,记直

线的斜率分别为％也,证明：，质为定值.

【变式3］（2024•全国•模拟预测）已知曲线E与曲线厂:但支+12:31=1关于直线x+y-2=0对称.

34

⑴求曲线上的方程.

（2）若过原点的两条直线分别交曲线E于点A,C,B,。，且•怎。=-土（。为坐标原点），则四边形48CD

的面积是否为定值？若为定值，求四边形48。的面积；若不为定值，请说明理由.

【题型四】定比点差法

直线与圆雉曲线相交时，中点（定比分点）问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法

（定比点差）是从设点的视角，将点的坐标代人曲线方程，通过系数调配后进行两式作差.

-V

一般地，设椭圆=1上两点必）,8（工2，%），若定点”（/，乂）满足加=4而，则得到

（X。一再，％一%）=兄（々-X。，>2-乳），

丸工2+玉=（1+4）/，/）

化简得

“2+乂=0+4）小

两式殂减得（石一忒2）（石+"2）+（凹一为22）=1_22

a~b~

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把产代人，得（x「二）[（i+〃°L里®，化简得

'a2h2

（2一生）"（M-4%）加1[

------------2----------+72----二1-4•

a----------b~

交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题，也可类似解决，其实质就是一种

降维处理.此外，当2=1时，则M是48的中点即转化为中点弦问题.

（=□

典例精讲

v-2

【例1】直线/与椭圆5+/=1交于4,8两点，/与1轴、y轴分别交于点C如果C,。是线段

44的两个三等分点，则直线/的斜率为.

2

【例2】设4，鸟分别为椭圆方+产=1的左右两个焦点，点力，5在椭圆上.

若虫=5孽，则点4的坐标是.

【例3】已知点?（0,1）,椭圆土+匕=加（加＞1）上两点4,8满足万=2而，则

43

当〃?=时，点8横坐标的绝对值最大.

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I

I—I

名校模拟

X2V2

【变式1】已知片是双曲线C：二—・二1(。>0">0)的左焦点，点5的坐标为(0"),直线£8与

a"b~

双曲线C的两条渐进线分别交于点P,0.若0A=4对，则双曲线C的离心率为.

3

【变式2】已知抛物线C:/=3x的焦点为F,斜率为1的直线/与抛物线C交于力，8两点，与x轴的

交点为P.

(1)若|/F|+|M|=4,求直线/的方程；

(2)若/=3而，求|48|的值.

Y22

【变式3】如图，椭圆C：1+gV~=l.过点P(2,l)作直线4〃2分别交椭圆。于4，。，8，。四点,

且直线AB的斜率为-3.试判断直线AB与直线CD的位置关系.

2

【题型五】定点、定值

求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再

表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.

I—1

典例精讲

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【例4（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C:，+，=l（4>b>0）的离心率为弓，C的左焦点与点

2

连线的斜率为

⑴求。的方程.

（2）已知点。（2,0）,过点R的直线/与。交于48两点，直线。分别交。于M,N.试问：直线的

斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【例2】（2023•河南焦作•模拟预测）已知椭圆的长轴为%直线/与圆0：/+/=］相

切于点P,与C相交于血不乂），8（孙力）两点，且%>0，9>0，必>必.

（1）记。的离心率为e,证明：|48|=0（演+/）；

（2）若/轴右侧的点。在。上，且尸O〃x轴，QM,QV是圆。的两条切线，切点分别为M,N（屈在"上

方）,求|-AJM|-+18N”|的值•

【例3】（2024上海奉贤・二模）已知曲线。:春+?=1,O是坐标原点，过点T（1,0）的直线4与曲线C交

于尸，。两点.

（1）当4与4轴垂直时，求△OP。的面积；

（2）过圆f+炉=6上任意一点M作直线MG分别与曲线C切于A,8两点，求证：物1MB；

（3）过点N（〃,0）（〃>2）的直线乙与双曲线工-/=1交于R,s两点（小/,不与x轴重合）.记直线次的斜率

4

为心，直线75斜率为“,当ZONP=/ONQ时,求证：〃与如〃+e都是定值.

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I—»

名校模拟

【变式1](2024・上海崇明•二模)已知椭圆「[■+/=],A为「的上顶点，P、。是「上不同于点A的两点.

⑴求椭圆「的掰心率；

(2)若F是椭圆「的右焦点，8是椭圆下顶点，K是直线4F上一点.若△4有一个内角为三，求点H的坐标;

(3)作4H_LP。，垂足为，.若直线力产与直线力。的斜率之和为2,是否存在x轴上的点使得|砺|为

定值？若存在，请求出点〃的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式2](2024•全国•模拟预测)已知椭圆C:=l(a>b>0)的离心率为玄，且过点(-2,百卜

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)设过点?(-4,0)且斜率不为0的直线/与椭圆C交于A,"两点.问：在x轴上是否存在定点。，使直线。彳

的斜率用与的斜率质的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

【变式3](2024•全国•模拟预测)已知离心率为|的椭圆。：%营=@>6>0)的左、右顶点分别为4,4,

点P为椭圆。上的动点，且△吊户4面积的最大值为3石.直线/：%=殁-2(〃?工0)与椭圆C交于48两点，

点。(-1,0),直线428。分别交椭圆C于G,“两点，过点4作直线G"的垂线，垂足为

(1)求椭圆C的方程.

⑵记直线G4的斜率为％,证明：而为定值.

(3)试问：是否存在定点N,使|"N|为定值？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由.

【题型六】求轨迹方程型

求轨迹方程的常见方法有：

①直接法，设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于x，N的等式即可；

②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；

③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；

④逆代法，将『二£1代入/(/,为)=0.

yn=h{x}

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I—1

典例精讲

【例1】(2024・上海嘉定•二模)如图：己知三点A、B、尸都在椭圆工+己=1上.

42

(1)若点A、8、P都是椭圆的顶点，求"8P的面积；

(2)若直线48的斜率为1,求弦48中点M的轨迹方程:

⑶若直线的斜率为2,设直线4的斜率为即八直线P8的斜率为即「是否存在定点P,使得人出+%^0

恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P,若不存在，说明理由.

【例2】(2024•安徽合肥・二模)在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中

再E|必一刃

两个点和2(》2,当)，记山外=maxI、称山闱，为点耳与点6之间的'”-距

i+ki-wl'i+l必一为

离”，其中max{p,g}表示p,q中较大者.

⑴计算点尸(1,2)和点。(2,4)之间的“"距离”；

(2)设4(%,加)是平面中一定点，「>().我们把平面上到点《的“-距离”为，•的所有点构成的集合叫做以点

《为圆心，以「为半径的“一