2024年河南省开封市部分学校中考押题考试（二模）数学试题（解析版）

2024年河南省普通高中招生考试

数学押题卷（二）

注意事项：

1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.

2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试

卷上的答案无效.

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.-7的相反数是（）

11

A.一一B.-C.7D.-7

77

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不相同的两个数互为相反数，求出

结果即可.

【详解】解：-7的相反数是7,

故选：C.

2.2024年世界游泳锦标赛于2月18日结束全部赛程.中国队斩获23金8银2铜.为表示中国在历届世界

游泳锦标赛上获得金牌数量的变化趋势.最宜采用的统计图是（）

A.折线统计图B,条形统计图C.扇形统计图D.频数分布直方图

【答案】A

【解析】

【分析】根据变化趋势目标选择折线统计图.

本题考查了统计图，熟练掌握统计图的意义是解题的关键.

【详解】根据题意，得选择折线统计图，

故选A.

3.下列计算正确的是（）

A.a3-a2-a6B.（a%，）=a4b5C.（a=/-/D.a+4a=5a

【答案】D

【解析】

【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数基的乘法，合并同

类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键.

【详解】解：•••/./=/,原计算错误，

故A不合题意.

•••(/户)2=。76,原计算错误，

/.B不合题意.

V(a-Z?)2=a2-2ab+b2,原计算错误，

.*.C不合题意.

*/a+4a=5a,原计算正确，

；.D合题意.

故选：D.

4.将含30。角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得跖V=£”，则Nl=()

A.75°B,60°C.55°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，根据等边对等角，结合平行线的性质，得到

ZFAB=30°,进而得到/A4E=30。，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等，求出N1的度数即可.

【详解】解：由题意，得:N尸=30。，

=90°—30。=60。，

MN=FN,

：.ZNMF=ZF=30°,

•..矩形ZBCD,

AABHCD,

：.NFMN=NFAB=30°,

NBAE=NFAE-NFAB=30°,

：.Zl=Z2=90°-30°=60°；

故选B.

5.截至2023年6月23日，国家智慧教育公共服务平台累计浏览量达260亿次，访客量超19.2亿人次，

访问用户覆盖200多个国家和地区.数据“260亿”可表示为2.6x101°,下列说法正确的是（）

A.2.6xlOlo-O.6=2xlO10B.2.6xlOlo-2.6xlO8=2.6xl02

C.2.6xl（）i°是一个10位数D.2.6x101°是一个11位数

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，有理数的运算，根据科学记数法和有理数的运算法则，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、2.6xlOlo-O.6xlOlo=2xlO10.原选项计算错误；

B、2.6x10"—2.6x108/2,6x102,原选项计算错误；

c、2.6xl（）i°是一个11位数，原选项错误；

D、2,6x10"是一个11位数，正确；

故选D.

6.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2））,正方形

4BCD的对角线NC与AD相交于点。，则下列说法不正确的是（）

图⑴图⑵

A.AC1BDB.AD=AOC.DO=COD.NDAO=NBAC

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键.利用正方形的性质，进行判断

即可.

【详解】解：•••正方形48CO的对角线ZC与8D相交于点。,

：.AC1BD,OA=OC=OB=OD,ZDAO=ZBAC=45°,

AD=CAO，

故选项A,C,D正确；选项B错误;

故选B.

7.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，现将①号小正方体向右平移，移至②号小正方体的正上

方，则移动后的几何体与原几何体相比，视图没有发生变化的是（）

A.主视图和左视图B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图D.主视图、左视图、俯视图

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从左面观察得到的图

形，俯视图是从物体的上面看得到的视图.分别画出几何体变化前后的三种视图，从而可得答案.

【详解】解：原来几何体的三种视图如下：

移动后的几何体的三种视图如下:

主视图左视图

，左视图不变，俯视图不变.

故选：C.

8.关于x的一元二次方程x(x-3)=2机有实数根，则实数加的取值范围是()

9999

A.m>——B.m>——C.m>——D.m>—

8844

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般形式，根据方程的根的情况得到判别式大于等于0,进行

求解即可.

2

【详解】解：x(x—3)=2加转化为一般式为：x-3x-2m=0.

:方程有实数根，

/.A=(-3)2-4xlx(-2m)>0,

9

m>——；

8

故选A.

9.在平面直角坐标系中，等腰三角形048的位置如图所示，其中点百,1).第1次将等腰三角形

OAB绕着。点顺时针旋转90°,且各边长扩大为原来的2倍得到等腰三角形。4片；第2次将等腰三角

形。4片绕着O点继续顺时针旋转90°,且各边长扩大为等腰三角形。4与各边长的2倍得到等腰三角形

OA2B2;…，以此类推，4(124的坐标为()

B.(-22024V3,22024)

D.

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形，点的规律探究.根据题意，可得：04=2,04=22=4,04=23=8…,

进而得到=2"、每旋转4次，回到原来的位置，进行求解即可.

【详解】解：过点A作ZCLx轴，

肉），

0A=J3+1=2,sinZ-AOC=-,

由题意，得：=2?=4,。4=2^=8…，

OAn=2"+i,

:每次旋转90°,

每经过4次回到原处，

；2024+4=506,

2025

。4°24与OA在同一条射线上，04O24=2，

过点41)24作4024后，X轴，

202520242024

则A2024E=2sinZAOC=2,OE=-加产=2G，

故选：C.

io.在一定温度下，某固态物质在ioog溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶

剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化.已知甲、乙两种物质在水中的溶解度s（g）与温度

7（℃）之间的对应关系如图1所示，关于溶液浓度计算的相关信息见图2,则下列说法正确的是（）

信息窗

1.溶质质量+溶剂质量=溶液质量.

2.溶液中溶质的质量分数=舞舞X100%

浴液皮里

3.在一定温度工，向一定续海剂里加入某秋溶质，当溶质不能继

续溶解时，脐得到的溶霰叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续

溶解的溶液，叫做辰种溶庙的不饱和溶液.

图1图2

A.甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大

B.当7=10%：时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度

C.当T=30°C时，分另U向100g水中添力口20g的甲、乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态

D.当T=15℃时，100g的甲饱和溶液所含溶质甲的质量是10g

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图像上的数据分析得出函数的类型和所

需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.根据函数图象解答即可.

【详解】解：A.甲物质的溶解度都随着温度的升高而增大，乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而减

小，故不正确；

B.当T=I（TC时，甲物质的溶解度小于乙物质的溶解度，故不正确；

C.当T=30°C时，分别向100g水中添加20g的甲、乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态，正确;

D.当T=15°C时，100g的甲饱和溶液所含溶质甲的质量是100x而赤土9.1（g）,故不正确.

故选C.

二、填空题（每小题3分，共15分）

3

11.分式——在实数范围内有意义，则°的取值范围是

a+2

【答案】aw—2

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件计算即可.

本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键.

3

【详解】分式——在实数范围内有意义，

a+2

a+2w0

解得（7^-2,

故答案为：aw—2.

12.请写出一个与直线y=x+l有公共点的函数解析式：.

【答案】y=2x+l（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据一次函数上值不等就有公共点，解答即可.

本题考查了一次函数的相交，熟练掌握一次函数上值不相等的函数一定相交是解题的关键.

【详解】根据题意，得y=2x+l.

故答案为：y=2x+l.

13.双眼皮由显性基因A控制，小明的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为Aa和Aa,则小明是双眼皮

的概率是.

3

【答案】-

4

【解析】

【分析】本题考查树状图法求概率.画出树状图，求出概率即可.

【详解】解：由题意，画出树状图如下：

开芹

共有4种等可能的结果，其中小明是双眼皮的结果3种;

P=—；

4

....3

故答案为：—.

4

14.如图，NC是。（9的一条弦，48是OO的直径，。是北上一点，连接2。，DC.已知

ZBAC=20°,则NADC=

【答案】1100##110度

【解析】

【分析】连接8C,根据圆周角定理，直角三角形的特征量，圆的内接四边形性质计算即可.

本题考查了圆周角定理，直角三角形的特征量，圆的内接四边形性质，熟练掌握定理和性质是解题的关

键.

【详解】连接

：48是的直径，

ZACB=90°；

VZBAC=20°,

NABC=70°；

1/四边形ABCD是。。的内接四边形，

N4DC+/48c=180°；

/.//DC=110°.

故答案为：110°.

15.如图，将边长为3的正方形纸片4BCZ）沿三等分线E5向上折叠，使边45翻折至再展开，点P

为线段上一点，将△£＞（2?沿。尸翻折，得到△。。'尸，连接HC,BC',使得AHB'。恰好是以

为底的等腰三角形，则8'尸=

【答案】V3-l##-l+V3

【解析】

【分析】过点C'作C'NLZ'B',交DP于点、H,交S于点M,根据正方形的性质，折叠的性质，以及

等腰三角形三线合一推出M为CZ）的中点，平行线分线段成比例，得到〃为DP的中点，设CH=x,得

到。尸=2x,勾股定理求出c，拉的长，进而表示出的长，中位线定理表示出CP的长，再利用勾股

定理求出x的值，进而求出CP的值，利用CP-"C,即可得出结果.

【详解】解：过点C'作C'N_LH8',交DP于点H,交于点

:将边长为3的正方形纸片4BCD沿三等分线E尸向上折叠,

/.A'B'//AB//CD,CB'=^BC=1,CD=3,ZADC=ZC=90°,AD〃BC,

：.CM1CD,

/.ZDMN=90°,

ZADC=90°,ZA'NH=90°,

...四边形HM3为矩形，

:.DM=A'N,MN//AD//BC,

V将ADCP沿DP翻折，得到ADC'P,

CD=CD=3,ZDC'P=90°,

恰好是以48'为底的等腰三角形，

13

A'C'=B'C,A'N=B'N=~A'B'=-,

22

31

DM=-=—CD,

22

•••C'M=^C'D2-BM2=亚，

2

MN〃BC,

DHDM,

,•HPCM'

为。尸的中点，

2MH=CP,CH=-DP,

2

设C'H=x,贝!I：=DP=2X,

2

ACP=3V3-2x，

在RtADCP中，DP2=CD?+CP?，

.-.（2x）2=32+（3V3-2X）\

解得：x=V3，

ACP=373-273=V3>

/.B'P=CP-B'C=y/3-l；

故答案为：V3-1.

【点睛】本题考查正方形的折叠问题，矩形的判定和性质，斜边上的中线，平行线分线段成比例，三角形

的中位线，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作出辅助线，是解题的关键.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.化简（，一+1]+土匚.下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程：

（（7+2）4+2

aQ+2"-12a+2a2-1

小红的解法：解：原式=-----1----

a+2a+2a+2a+2a+2

aia+2_aQ+2Q+2

小莉的解法：解：原式=------+1•—+1--;—

a+2---)/—1Q+2a2-la2-I

（1）小红的解法依据是.；小莉的解法依据是..（填序号）

①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律.

（2）若。=1+百，请任选一种解法,求出代数式的值.

【答案】（1）②;④（2）二一2V3

a-1

【解析】

【分析】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律计算即可.

（2）化简后，代入求值即可若a=l+G，请任选一种解法，求出代数式的值.

本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确理解运算的算理，化简是解题的关键.

【小问1详解】

根据分式的基本性质,乘法分配律,

故答案为：②；④.

【小问2详解】

a[a2-11

方法1、------+1+

a+2----)a+2

aa+2a-1

-----1----

a+2a+2a+2

2a+2f—1

Q+2Q+2

2(a+l)xa+2_2

a+2+a-1

当a=l+G时,

22_273

原式=

Q—11+V3-1-3

a,\a"—1

方法2、----+1+-----

Q+2)Q+2

a+]]Q+2

Q+2Ja2-1

aQ+21Q+2

------------Fl------

。+2/—I/-I

a+a+2_2(a+l)_2

a~—Ia~—I(a+l)(q—])a—I

当a=l+G时,

22

原式=

a-\l+V3-I3

17.运算能力是初中生在学习数学过程中必需的一种能力，某中学为了测试学校学生的运算能力，组织了

一场“计算能手”比赛，以10人为一小组的形式参赛，其中甲、乙两个小组的成绩分布情况（百分制,

单位：分）如下:

a.甲组成员成绩分别为93,89,89,93,89,95,89,95,98,95.

b.乙组成员成绩统计图（如图（D）：

9S

c.甲、乙两组成员成绩统计表:

乙

94.6

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的a-,b=：

（2）阅读下面的过程并完成填空：

小华同学求乙组成员成绩的中位数c的解题过程如下：

,/中位数是将一组数据按大小排序后，排在中间位置的一个数或中间两个数的平均数，

需要先找到数据按大小排序后，大致排在50%附近的数，再根据中位数的概念进行细化求解.

又•.•如图（2）,这个扇形图中的数据是按大小顺序旋转排列的，.•.先找到最大数据“98”与最小数据

“92”的分界半径。彼，为找到排在50%附近的数，再作出直径

射线ON指向的数据就是中位数，

.•.统计表中c=.

老师的评价：小华的这个方法是从中位数的概念出发，充分利用了扇形图的特性形象直观地解决问题.

（3）如图（2）,若这个扇形图的半径为2,求京的长.

乙组成员成绩统计图

98

N

图（2）

【答案】（1）92.5,93

（2）95

4

（3）-71

5

【解析】

【分析】本题考查的是从扇形图中获取信息，中位数，平均数的含义，求解扇形的弧长，掌握以上基础知

识是解本题的关键；

（1）根据平均数与中位数的含义进行计算即可；

（2）根据扇形的特点结合阅读部分的提示进行解答即可；

（3）先求解扇形的圆心角为72。，再利用弧长公式计算即可.

【小问1详解】

解：。=［（93+89+89+93+89+95+89+95+98+95）=92.5,

将甲组成员成绩重新排列为89,89,89,89,93,93,95,95,95,98.

...中位数为g（93+93）=93,

【小问2详解】

解：由射线ON指向的数据为95,

中位数c=；（95+95）=95；

【小问3详解】

解：由题意可得：ZAON=-x40%x360°=72°,而。4=2,

2

,~,,,““727ix24

NN的长为一7=丁兀・

1oUJ

18.如图，在平面直角坐标系xp中，反比例函数y=：（x>0）的图象与直线y=-x+4分别相交于点

4（1,。）,8两点.

（1）求反比例函数的解析式.

（2）尺规作图：过。作直线4B的垂线，垂足为点C.（保留作图痕迹，不写作法）

（3）在（2）的条件下，求证：AC=BC.

3

【答案】⑴J^=-

x

（2）图见解析（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查反比例函数与一次函数，反比例函数与几何图形的综合应用：

（1）把2（1,。）代入一次函数解析式，求出。的值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可;

（2）利用尺规作垂线的方法，作图即可；

（3）求出民C点坐标，利用两点间距离公式即可得证.

【小问1详解】

解：把4（l,a）代入y=-x+4,得：Q=—1+4=3,

・•・4（1,3）,

把2（1,3）代入〉=&（》〉0）,得：左=1x3=3,

JC

・•.T；

【小问2详解】

如图，点。即为所求;

【小问3详解】

设直线歹=-》+4交坐标轴与点E,尸，如图:

当x=0时，y-4,当y=0时，x=4,

.•.E（0,4）,尸（4,0）,

/.OE=OF,

•：OC1EF,

：.CE=CF,

.\C（2,2）,

y=-x+4

联立］，解得：＜x=3X=1

3E或

y=-y=3

1X

经检验，两组解均是原方程组的解,

.•.8（3,1）,

•••2（1,3）,

：.AC='（2—1）2+（3-2）2=及耳=J（2—以+（3-2）2=血,

AC=BC.

19.2023年10月11日，我国首艘氢燃料电池动力示范船“三峡氢舟1号”完成首航.某中学科技兴趣小

组同学对此产生好奇，利用电脑技术模拟“三峡氢舟1号”的航行情况.如图，该小组同学以起始码头两

侧的两个灯柱作为参照物，某刻，测得灯柱1在“三峡氢舟1号”北偏东45。方向，灯柱2在“三峡氢舟

1号”南偏东56。方向，若灯柱1在灯柱2的正北方向0.7km处.请计算此时“三峡氢舟1号”离码头所

在岸边的距离.（结果精确到0.01km,参考数据：sin340=0.56,cos34°»0.83,tan34°»0.67,

拒"1.41）

【答案】“三峡氢舟1号”离码头所在岸边的距离约为0.42km.

【解析】

【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键，如

图，过A作4018c于。，设4D=CZ）=x,证明AD=0.7—x,NB4D=34。，再利用锐角三角函数

建立方程求解即可.

【详解】解：如图，过A作/£>18c于。，

/.NADC=ZADB=90°,

北

——东/灯柱1

岸

边

匚D

“三峡氢舟1号”

，灯柱2

由题意可得：ZACD=ZCAD=45°,ZABD=56°,BC=B7,

...设4D=CZ)=X,BD=QJ-x,ZBAD=34°,

tan340工0.67,

解得：x«0.42,经检验，符合题意；

“三峡氢舟1号”离码头所在岸边的距离约为0.42km.

20.河南省鄢陵县特产一鄢陵蜡梅是中国国家地理标志产品，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生

去某教育基地体验鄢陵蜡梅种植，为了方便开展活动，需要采购一批鄢陵蜡梅树苗，现有两个采购地可供

选择，具体信息如下：

信息一：

树苗品种

单价/(元/棵)AB

采购地

市场〃+1455

园艺基地a50

信息二：用540元在市场上购买/种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买/种树苗的棵数相同.

(1)请分别求出园艺基地、市场上/种树苗的单价.

(2)学校决定在园艺基地购买力,3两种树苗共300棵，且/种树苗的棵数不超过5种树苗的棵数的

2

园艺基地为了支持该学校的活动，对2两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则

学校最少花费多少元？

【答案】(1)40元；54元

(2)12600元

【解析】

【分析】（1）根据题意，园艺基地的单价为。元，市场的单价为（。+14）元，根据题意，得

540400

解方程即可.

。+14a

（2）设购进N种树苗加棵，则8种树苗为（300-机）棵，总花费为川元，根据题意，得

2

w=（40-4）m+（300-m）x（50-4）=-10m+13800,结合机W§（300—机），建立不等式计算即可.

本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键.

【小问1详解】

根据题意，园艺基地的单价为。元，市场的单价为（。+14）元，根据题意，得且*=幽

dIJ.'Id

解得a=40,

经检验，a=40是原方程的根,

故（a+14）=54,

答：园艺基地、市场上/种树苗的单价分别为40元，54元.

【小问2详解】

设购进4种树苗冽棵，则5种树苗为（300-加）棵，总花费为w元，根据题意，得

0二（40-4）加+（300-加）x（50—4）=-10m+13800,

2、

m<—（Z300-m）,

解得加（120,

根据w=—10%+13800,得夕随x的增大而减小，

故m=120时，费用最低，最低为w=12600（元）.

此时300-加=180,

答：购进工种树苗120棵，3种树苗为180棵，花费最少为12600元.

21.已知二次函数y=—V+bx+c的图象与x轴分别交于点4（1,0）,8（—3,0）.

(1)求6,c的值.

(2)点C(&，”)为抛物线上一个动点，直线＞机经过3,C两点.

①若点C到y轴的距离小于3,请根据图象求出C点纵坐标外的取值范围.

②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若直线＞=履+优、线段43、线段ZC围成的区域(不含边界)

内恰有4个整点，请直接写出左的取值范围.

【答案】(1)y=—x2—2x+3

25

(2)①一12＜pcV4②左二—§或5V左＜3

【解析】

【分析】(1)二次函数＞=一1+云+。的图象与X轴分别交于点4(1,0),巩―3,0),转化方程组解答即

可.

(2)①根据点。到y轴的距离小于3,得到一3V4V3,结合y=—(》+1『+4,

得到抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1,函数有最大值4,且点与对称轴的距离越大，函数值越小，

根据二次函数的增减性计算即可.

②根据整点的个数，确定直线幺C的范围，继而确定8c的范围即可.

本题考查了待定系数法，函数的增减性，整点，熟练掌握待定系数法，函数增减性是解题的关键.

【小问1详解】

把/(1,0)和8(—3,0)分别代入y=~x2+bx+cn

-1+b+c=0

-9-3b+c=0'

b=—2

解得〈..

c=3

故抛物线的解析式为y=-2x+3.

【小问2详解】

①•..点C到y轴的距离小于3,

-3＜xc＜3,

•；y=—(x+1)+4,

，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1,函数有最大值4,且点与对称轴的距离越大，函数值越小,

：x=—1在—3V/W3的范围中，

的最大值为4；

・••|3-(-1)|=4>+3—(—1)|=2,

；.x=3时，函数取得最小值，且为>=—(3+1『+4=—12,

.•.”；的取值范围是一12«>0W4.

②当上X)时,当直线NC经过点(—1,3),"BC内部恰好有四个整点，分别是(一1,1),(一2,1),(0,1)(—1,2),

符合题意，

设直线AC的解析式为y=nx+p,

将N(1,0),(-1,3)代入直线NC的解析式得：

〃+2=0

-〃+2=3

f3

n=——

2

解得'3,

p=—

[2

33

；・直线AC的解析式为：y=—x+—.

22

33.

根据题意，得—xH—=—X2—2x+3,

22

3

解得芯二一5，%2=1(舍去)；

由直线y=H+加经过3,C两点,

•**0=3k,

解得m=3k,

：.y=左(x+3),

解得k

2

当直线NC经过点(0,1),&48C内部恰好有三个整点，分别是(一1,1),(一2,1),(-1,2),不符合题意，

设直线AC的解析式为y=mx+q,

将(0,1),(1,0)代入直线ZC的解析式得:

m-^-q=0

/，

解得＜1,

[9=1

直线NC的解析式为：y=-x+1.

根据题意，得-》+1=-》2一2》+3，

解得再=一2/2=1(舍去)；

故。(一2,3),

由直线歹=近+加经过3,C两点，

***0=3k+m,

解得m=3k,

：.y=左(x+3),

・・・34(-2+3),

解得左=3；

故3j＜3.

2

当上＜0时,当直线BC经过点(0,-2),ANBC内部恰好有四个整点，分别是

(-1,-1),(1,-1),(0,-1),(1,-2),符合题意，

由直线歹=近+加经过3,C两点，

***0=3k+m,

解得m=3k,

y=左(x+3),

・・・一24(0+3),

解得k=一：；

3

25

故人的取值范围是左=一一或比＜3.

32

22.小明同学学习了《圆》这一章后，对圆的数学史产生了兴趣，下面是他查阅整理的相关材料.

材料一：弦切角定理是有关圆的重要定理之一，其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧

所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数(顶点在圆上，一边与圆

相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角).如图(1)所示，线段尸T所在的直线与

相切于点C,BC,NC为的弦，则NTC8为其中的一个弦切角(NPC8,

ATCA也是弦切角),有NTCB=-ZBOC=ABAC.

2

材料二：欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交

点的直线.如图(2),尸7是的一条切线，而直线NP与有两个交点/,B,

则将直线/尸称为的割线.数学家们发现：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长

的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积.

请结合以上材料与所学知识回答下列问题：

(1)根据图(2),运用材料一的内容，完成对材料二的证明.

已知：直线AP是的一条割线，与交于点B,尸7与。O相切，切点为T,求证：

证明:

(2)如图(3),将直线4P绕点P旋转至过圆心O,恰好4B:BP=3:1,若尸T的长为26，求AP的

长.

【答案】⑴PT2=PAPB＞证明见解析

（2）73

【解析】

【分析】本题主要考查了材料阅读类题目，相似三角形的性质和判定，对于（1）,根据材料一，可得

PBPT

NBTP=NPAT,进而判断再根据相似三角形的对应边成比例得——=——,即可得出

PTPA

答案；

对于（2）,根据（1）的结论，代入数值计算即可.

【小问1详解】

已知：直线4P是。。的一条割线，与。。交于点N,B,尸7与。。相切，切点为T,

求证：PT2=PA-PB-

证明：连接ZT,BT,可得NBTP=NP4T,

,/ZP=ZP，

/XBPT^/XTPA,

PBPT

PT—PA

PT2=PAPB：

【小问2详解】

设BP=x,则N8=3x,

PA=4x.

PAPB=P『，PT=26，

：.4x-x=（2V3）2,

解得X=G，X=—5/3（舍），

所以BP=B

23.【问题背景】

“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美!

【特例感知】

（1）如图（1）,纸片48CD为矩形，且40=4,AB=2,点、E,尸分别为边40,8C的中点，沿

EF将纸片剪成两部分，将纸片DEFC沿纸片ABFE的对角线仍方向向上平移.

①当纸片。EEC平移至点£'与E5的中点。重合时，两个纸片重叠部分厂GE'H的面积与原矩形纸片

ABCD的面积之比是.

②当两个纸片重叠部分尸GE'H的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是」时，则平移距离EE'为

16

【类比探究】

（2）如图（2）,当纸片KZJW为菱形，KN=a（a>2）,NN=60°时，将纸片KZJW沿其对角线

剪开，将纸片KLM沿KM方向向上平移.当两个纸片重叠部分的面积与纸片KZJW的面积

之比为g时，求平移距离KK'（用含a的式子表示）.

【拓展延伸】

（3）某小组将图（2）剪下来的AMKL与图（1）中的四边形aara1按图（3）的方式放在同一平面内，

使点工与点3重合，ML与BF重合.将AMKi从如图（3）所示的起始位置开始绕8点逆时针旋转

«（0°<«<30°）,旋转过程中，边K£与边NE相交于点7,边上2与边£尸相交于点S,连接ST.请

【答案】⑴①1：8②&+1或夜—1⑵详见解析⑶S,STL=61S.ABT+S,BFS）,详见

解析

【解析】

【分析】（1）①先求出，GE，E=］（EE'）2，S'HE，B=%（m-EE）,由中点。为E5的中点，£'与。

重合，得出进而即可得解；②由两个纸片重叠部分尸GE'〃的面积与原矩形纸片4BC。面积

之比是一得出S四边切GEX=〈,然后可得2-；（££'）2—；（2啦—解方程即可得解;

16

（2）由平移得进而可得出上区'=注口，再进行线段和差即可；

2

（3）如图，延长E4到尸，使4P=SF,连BP,过点、S作SN人BT交BT于点、N,过点尸作

PQLBT交BT于点、Q,利用面积公式求出S.zsr=子5745，S^BPT=-BT-BS,得出

S-LST=CS"BPT，进而即可得解；

【详解】（1）①：AD=4,AB=2,

S矩形4BO）=2x4=8,

；点、E,尸分别为边40,BC的中点，

••S矩形/BFE=-S矩形4BC。=JX8=4,

,,S^FEB=万*S矩形4BFE=