江苏扬州2024年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案）

江苏扬州2024年高二下学期6月期末考试数学试题含答案

2023-2024学年第二学期期末检测

高二数学

2024.06

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合要求)

1.若集合。={刈x|<l},Q={T0,l,2},则PcQ=()

A.{0}B.{-l,0}C.{0,l}D.{-l,0,l}

2.已知一直线经过点A(2,3,2),3(—1,0,-1),下列向量中是该直线的方向向量的为()

A.3=(-1,1,1)B,a=(l,-l,l)C.5=(l,l,-1)D.3=(1,1,1)

y丫QIV

3函数/(x)=2的大致图象为()

X+1

4.命题“iteR,—炉+ax—1>0”是假命题，则实数。的取值范围是().

A.(—8,2]B.(—2,2)C.[-2,2]D.[2,+e)

5.已知是三个不共面的向量，AB=~i-2j+2k,AC=3i-j-k,Ai5=Ai+2j-6k,且

A3,C,。四点共面，则实数2的值为().

A.lB.2C.3D.4

2\x<0,

6.已知函数〃x)=1则下列说法正确的是()

x2,x>0,

Aj(x)是R上的增函数

B./(x)的值域为［0,+力)

C.“x〉：”是“/(x)〉g”的充要条件

D.若关于x的方程=a恰有一个实根，则。>1

7.五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区、双博馆，另外花2个下午的时间

打篮球J个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（）种.

A.300B.600C.900D.1200

8.若％=1为函数/（%）=〃（％—"）（%—的极大值点，则实数。的取值范围为（）.

A.6Z>1B.6Z<1

（2.。<0或。>1D.Q<a<l

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）.

A.利用线性回归方法求出一组数据（玉,%）,（%，%），…，（七，%）的线性回归直线方程y=a+bx,则这组

数据确定的点中至少有一个在这条直线上

B.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

C.若随机变量X服从二项分布,则X的方差为2

D.若随机事件满足P（A）〉0,P（3|则事件A与8相互独立

10.若相，〃为正整数且〃〉加，则下列等式中正确的是（）.

AC机-Q^n-m

B,Q_i+Q_]=Cn

C.c：=

A：（"机）!

3〃-1

D.C：+2c+4C：+…+2弋

IL棱长为2的菱形ABC。中，ZBAD=60°-将口48。沿3。折起，使顶点A至点M,连接MC,构

成三棱锥M-BCD.设二面角M-BD-C的大小为a,直线ATO和直线BC所成角为夕.在折起的过程

中，下列说法正确的是（）.

A.任取三棱锥M-BCD中的三条棱，它们共面的概率为0.2

B.存在一个位置，使

仁当。二—时，三棱锥的外接球的表面积为——

33

兀2兀八5

D.当-时，cos/?的最大值为一

_33_8

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.设随机变量X服从正态分布N(0,b2),若P(X〉l)=0.3,则尸(―1<X<O)=.

13.将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内

的某种水源指标不和某植物分布的数量2,…,6),得到样本(%.,%),且其相关系数r="，记》

16

66

关于X的线性回归方程为y=a+bx.经计算可知：于=9,XX；=550,X(X-9丫=256,则g=

/=1/=1

14.定义域为R的函数/(x)满足/(x+y)+/(%->)=2f(x)/(l—y)"(0)=0,41)=1,且

2024(“_1\

xe(O,2)时，/(x)>0,贝|八3)=,X/Hr=

k=o\27

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知集合A=<x<2>,B=[x\log2x>1}.

(1)求ADB；

(2)若实数。>0,集合C={xlx2-3ax+2a2<Q},且“xe是“xeC”的必要条件，求。的取值范

围.

16.(本小题满分15分)

已知(2%+1)~”=%++a,%?+t,,+/“无=4+。](x+1)+a(x+1)~+,•,+bln(%+1)?”,且a、=112.

(1)求必与伪的值；

(2)求4+b3+b5-+---1-b2n_x的值.

17.(本小题满分15分)

已知三棱柱ABC-\BXCX的棱长均为2,/A】AC=60°,^5=76.

(1)证明：平面AACG，平面ABC；

(2)若两=2及i(OW2W1),且直线AC与平面所成角的正弦值为孚，求点M到直线

4用的距离.

18.(本小题满分17分)

为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系(假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀

者男性与女性的比例为3:2),某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据(单位：人)：

接受挑战不接受挑战合计

男性402060

女性162440

合计5644100

(1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；

(2)现从这100人中任选1人，A表示“受邀者接受挑战”，8表示“受邀者是男性“，记

LR(B\A)=,则R=一出1可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指

P(B\A)LR(B\A)

标，请利用样本数据求出H的值；

(3)用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手、若再从

这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数X的分布列和数学

期望.

2n(ad-bc)~

参考公式：Z-=7-----rw-----------------\77—-其中“=a+0+c+d.

[a+b)^c+d)[a+c)[b+d)

参考数据:

0.100.050.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=x-l皿一axe-'aeR.

(1)当。=0时，直线丁=而(左为常数)与曲线/(x)相切，求左的值;

(2)若xe(O,+"),/(x"O恒成立，求。的取值范围；

(3)若/1(X)有两个零点%,超，求证：%+%>2.

2023-2024学年第二学期期末检测高二数学

参考答案

2024.06

题

号1234567891011

答ADBCDDBCBDACDABD

案

题号121314

151枝

答案0.2-1,---------

2

15.【答案】⑴由，]<2得x>—1,所以A=(—1,+"),

由log2X>l得x>2,所以3=(2,+8).

所以AU3=(—1,+(3O).

(2)由必一3。％+2a2<0(a>0)得a<x<2a,即C=(a,2a).

因为“xeB”是“xeC”的必要条件，

所以Cq3,即(a,2a)〃(2,+e),

所以a"

16.【答案】(1)由题可知。2=4〉2义4=4或“=4义网也二9=112,

即2〃2_%_28=0,即(2〃+7)(〃-4)=0,

7

所以“=——(舍)或〃=4.

2

所以为=C；X23=448；

s238

因为(2X+1)8=[2(x+l)-l]=%+4(x+l)+Z?2(x+l)+Z?3(x+1)H--FZ?8(X+1),①

所以％=C；x23x(-1)5=-448

②在①式中，令％=0,则1=%+6]+Z?2+Z?3H---bZ?8,②

令x=-2,则3*=%_4+%-&+…+4,③

由②-③得，1-38=2(4+4+&+")

.i-38(1+34)(1—34)

所以4+用+4+…+处T=/=A__^=-3280.

17.【答案】(1)取AC的中点0,连接AO,BO,/AAC=60°，AA=2,AO=I,所以

4。=百，4。,AC,

由题设可知，口45。为边长为2的等边三角形，所以80=有，

由43=^,432=4。？+3。2,所以4。，8。，

又因为A。，AC,ACc8。=O,AQBOu平面ABC,

所以A。，平面ABC,

又因为AOu平面AACG，所以平面AAC。，平面AB。；

(2)以04所在直线为X轴，以08所在直线为y轴，以0A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.

C.

所以4(1,0,0),3(0,后0),。(—1,0,0)6卜2,0,0)，4(0,0,6)，

CA=(2,0,0),BA=(0,-AV3),Cq=(-1,O,V3).

因为CM=ACCi(0</I<1),则”(—％—1,0,=(—2—1,—A/3,,

设平面ABM的法向量为五=(x,y,z),

n-BA=0,~y+z=°,

则〈___,即〈/、r-

iiBM=0,[(1+X)x+Jr3y-J34z=0.

取y=4+l,z=4+l,x=V3(丸—1),

所以五=(6(九一1),/1+1,沈+1)是平面48加的一个法向量.

设直线AC与平面A.BM所成角为0,

sm邛。s"讣，［卬3(…旦

1'71|CA||n|273(2-1)2+2(2+1)25

解得X=g,

所以“，

k55)

又因为祝*=［：,0,芈［，及可=丽=(i,—石,0),所以西&A=5=3.

(55J|^|I5

/_.__A2

所以点v到直线4耳的距离△=|MA|2-"4勺4=5

V〔忸阂J

18.【答案】(1)假设“°：是否接受挑战与受邀者的性别无关.

根据列联表中的数据可以求得

22

v2------------n--(-a--d---b-c--)------------=-1-0-0--(-4-0--x--2--4----1-6--x--2-0--)---=-1-6-0--0--k…693

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)56x44x60x40231''

由于/。6.93>6.635,且当心成立时，P(/2>6.635)»0.010,所以有99%的把握认为是否接受挑

战与受邀者的性别有关.

P(AB)

⑵岫必4)=空a='=厘=山="二

P(回A)P(AB)P(AB)n(AB)162

P(A)

同理"出")=|M所以氏=需号=313.

(3)由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人.根据频率估计

概率知，男性选手接受挑战的概率为2,不接受挑战的概率为工.

33

X可能得取值为0』,2,

3名被抽取的男性选手中，恰抽到k人被访谈记为事件Dk(k=0,1,2),则

「k「2-k

P（2）=^^（左=0/，2），

被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为m人记为事件Em（m=0,1,2）,

则P(E°|DO)=1,P(EO|Dj=g,P(&=；，P(E/M)=f-

P(EJD2)=C*Xjx|=|,P(E2|=

所以P（X=0）=P（A）.尸（E°|D°）+P（R）.P（E°|2）+P（3）.P（E°|2）

=521xl+^321xl+^3£lxl=l

c；C3c93

CC；2C；C°4

A28

P(X=I)=P(A)P(EJi)+p(2).p(4lD)=-t-x-+-^x-=

2C3C；915

「202A9

P(x=2)=p(4>P(现。2)=宣丁日

故X的分布列如下：

X012

182

P

31515

E(X)=0x-+lx—+2x—=-.

、1315155

19.【答案】(1)当〃=0时,/(x)=x-lnx.

设切点（尤o,尤0-1叫）），

、、［1}

消上得1---%=%—ln%o,解得x0=e,代入得左=1—

IxoJe

⑵方法一：因为/（%）=%—Inx—axe：所以/二］1一［二（二一。（一十〃%）,・・・

%e"xe"

］x—1

1。当a<0时，设g（x）=x—lnx,则g<x）=l一―=-——，

XX

所以当XW（0,1）时，g'（x）<0,g（x）单调递减；当xe（l,+oo）时，g〈x）〉0,g（x）单调递增.

所以g(x)血n=g⑴=1>0-

又-axe-，〉。，故/（x）20恒成立，所以a<0成立.

2。当&20时，e'+冰〉0，所以当%£（0,1）时，/（冗）<0,/（冗）单调递减；当%£（1,+。）

时，r（x）>o"（x）单调递增.

故，（矶L〃l）=l一40，解得a<e,又Q»0,所以OWaWe,

e

综上所述，a的取值范围为（一叫e].

方法二：因为/（%）=%-111%-。泥—*»0恒成立,

（I困恒成立.

又%>0,所以上式等价于〃（上

X

（「）,则如）=乎(x-l)(x+l-lnx)

记〃⑴=—e"+ITe*ex,

%2

1x—A

设M(X)=x+l-In%,则/(x)=l——=--.

xx

当xw(O,l)时，a'(x)<0,M(x)在(0,1)上单调递减；当xe(l,+")时，M'(X)〉0Mx)在上单

调递增.所以a（x"M（l）=2〉0.

所以当xw（0,l）时，〃'（x）<0,〃（x）在（0,1）上单调递减；当xe（l,+<x））时，〃（x）〉0,/z（x）在

上单调递增.所以"⑴皿=MD=e.

故。的取值范围为（-”,e].

方法三：因为/（%）=%—血一办。一％=ln-——〃土20恒成立,

Xe'

又%>0,所以上式等价于。<《Inf恒成立.

XX

=—,贝【J〃（x）=e（：°，

所以当xe（0,l）时，人'（无）<0,人（%）在（0,1）上单调递减;当xc（l,+e）时，〃'（工）〉0,丸（力在（1,+00）

上单调递增.所以"（x）»"⑴=e.

X

令％=一，则，£卜,+"）,则aV恒成立.

X

记°。)=tlnt^t>e),则°'(7)=lnf+122〉0,

所以夕⑺在卜,+力）上单调递增，所以夕CU=9卜）=e,所以a<e.

故。的取值范围为（一叫e].

（3）方法一：因为/'（x）有两个零点看,乙，不妨设0<%<%2,

则西—InXj—u-}=々--a—=0，

ee2

e*/M2

即a=——(%1-Inxj)=——(x2-lnx2),即a=(七一Inxje卢t时=(9_]皿2)e*2T

1X—]

令4％)=%—Inx,则/⑴=1―一=----,

xx

所以当)£(0,1)时,«x)<0/(尤)单调递减;当口£(1,+8)时,{%)>0/(%)单调递增.

所以/⑶僦=[1)=1〉°・

令/z(%)=(x21),贝=e"+xe%>0,/z(%)单调递增,

即意b

又。=Mx1-1叫)=/z(x2-lnx2),所以Xj-In%1=x2-lnx2,

由《X）的单调性可知0<%<1<X2.

思路一：构造函数T（x）=/（x）-《2-x）,xe（0,1）.

x-l।2_1__2(1-x)2

则T'(x)=/'(x)+/'(2-x)<0,

x2-xx(2—x)

故T（x）在（0,1）上单调递减,

又T⑴=0,所以T（x）〉0,则T（xJ〉0,即《口）>《2—占）,

又《无1）=/（々）,所以《无2）>《2—尤1）,

又马〉1,2-％〉l,4x）在（1,+“）上单调递增，所以％2>2-玉.

故%+%2>2.

2%-1

X-xX+x,即证」—

思路二要证的+%>2,即吟;亡9忘〈丁9—>ln—•

工+1九2

X2

令〃=土£（。』），即证——>Inw.

X2W+l

构造函数9（〃）=2（.G（0,1）.

E、414M-（M+1）2（M-1）2八

则（p'（u）=--------——=——-~A=--——J<0,

（M+1）-UM（M+1）-M（M+1）2

2（w-l）

故0（M）在（0,1）内单调递减,则9（a）〉°⑴=0,即---------Inw>0.

w+1

故菁+々>2.

思路三：因为■，芯=1,即石―％2=ln五,

1叫-1nx2x2

x\~xi~In%

令〃=—Le（0,l）,贝i卜尤

羽u=—,

%i=----mu,

u—1

即nn《

Inu

x9=------.

、u-1

—c口L—MiInw八

要证石+%2>2,即证----lnw+------>2,

it—1u—1

日"+1[c

即证----Inw>2,即证二----->Inw

u—1w+1?

下同思路一，略.

方法二：因为/（X）有两个零点石,％2，不妨设0<不<12,

贝！J西—InXj—a--x2~lnjv—a-—0,

e1e2

即"a3生=日.也二

占百12X2

令《x)=丈，则(尤)=£

X

所以当x<O,l)时，/'(x)<O/(x)单调递减；当xe(L)时，«x)>O,(x)单调递增.

所以*尤)min=(l)=e.

令h(x)=xlnx^x>e),贝!J=Inx+1>O,/z(x)单调递增,

(

e，巧、e*e*2x为

又a=h——=h——，所以——=——，即-?=e、2再

石x玉

I再J2

由1(x)的单调性可知0<石<1<x2.

思路一：构造函数T(x)=《%)-《2-尤)，尤£(0,1).

e%e2r

贝！JT'(X)=f(x)+f(2-x)=一+---

(2-x)2

C2-xex

=(j)

(2-x)27

evx2-eA-2xer(x-2)

令”4)=三，则/(%)=

43

Xxx

所以当xe(O,2)时，M[X)<0,M(X)单调递减,

所以当xw(O,l)时，0<%<2—元<2,则M(2—X)<M(X),所以T'