湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学试卷试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知b，，虚数是方程的根，则（）A. B. C.4 D.23.已知向量，，若，则（）A.2 B. C.1 D.04.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（）cm.A. B. C. D.5.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.5 B. C. D.6.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（）A. B. C. D.7.设函数，若，则a，b满足的关系式为（）A. B. C. D.8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（）A. B.C. D.与6的大小无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的极小值点为1B.有三个零点C.点为曲线的对称中心D.过点可以做曲线的两条切线10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（）A.水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：0011.已知圆，过点向圆M引切线l，切点为Q，记Q的轨迹为曲线C，则（）A.曲线C关于x轴对称B.C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为C.C的渐近线为D.当点在C上时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，若的系数为，则_____.13.M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为______.14.将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，，求AB边上的中线长.16.（本题满分15分）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.17.（本题满分15分）某学校有A，B两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去A餐厅用餐的概率是.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复.（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.（2）记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，求；（3）求九月（30天）王同学去A餐厅用餐的概率大于去B餐厅用餐概率的天数.18.（本题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求a的值；（3）求证：，.19.（本题满分17分）类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为，方程的曲面为S.已知曲面C的方程为.（1）写出坐标平面xOz的方程（无需说明理由），并说明xOz平面截曲面C所得交线是什么曲线；（2）已知直线l过曲面C上一点，以为方向量，求证：直线l在曲面C上（即l上任意一点均在曲面C上）；（3）已知曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线在曲面C上，且过点，求异面直线l（第二间中的直线l）与所成角的余弦值.

2024年高三9月起点考试高三数学答案1234567891011CACBDACBACABDABD12. 13. 14.1.因为6为2和3的公倍数，故2.是方程的根，则方程另一根为，故.3.由于，.4.大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动周，当大轮的转速为时，小轮转速为，小轮周上一点每1s转过的弧度数为：.又小轮的半径为10cm，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：.5.，，当且仅当，即时取等.6.四台轴截面等腰梯形底角为60°，高为，边长为12的正三角形内切圆半径为，，故能放入最大球半径为，表面积为47.，且恒成立，在定义域上单调增且零点为，在定义域上单调减且零点为，故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，则.8.X服从二项分布，则，最大即为满足的最小N，即为，又，故为整数时，，；不为整数时N为大于的最小整数，为的整数部分，.故，9.，其中为极大值点，1为极小值点，A对；，，故有两个零点，B错；，，故为曲线的对称中心，C对；在对称中心处的切线上方，故只能做一条切线，D错.10.依题意，，，解得，显然函数的图象过点，即，又，因此，所以函数表达式为，.故A对依题意，，整理得，即有，即解得或，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.故B对.该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为，故C错，该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，该船符合安全条例的最小水深为函数与的图像交于点，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.故D对.11.圆，圆心，半径，且，且.，则点在圆M外.由题意知，设，则①又点Q在圆M上，则②，①-②得，，解得③，由且，解得，且将③代入②消a得，，即为曲线C的方程.设，，则，令解得，或，或（舍）当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.且，，当时，.且当时，函数与单调性相同，且，，当时，.故的大致图象如下图，又由方程可知曲线C关于x轴对称，且.故曲线C的大致图象为如下图，故C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为，浙近线为，A、B项正确，C错误；D项，当点在C上时，则由，或.得，又，，则，所以要成立，故D正确；12.由二项式定理通项公式得，则，则.13.恒成立，则曲线在直线上方，则当M处切线与直线平行时最小，求导得，此时点到直线距离即为最短距高，此时.14.设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有，即，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于的对称点也位于椭圆方程上，则关于对称，将代入可得，可得椭圆长轴的顶点为，，所以，将代入可得，可得椭圆短轴的顶点为，，所以，则，则.15.（1） （2）解：（1）因为，由正弦定理可得.又因为，则，所以.整理得，即.因为，所以，所以，所以.（6分）（2）由余弦定理，且，则有，又，故.（8分）设AB边上中线为CM，则，，故AB边上中线长为（13分）16.（1）；（2）过定点，定点为原点.解：（1）设动圆圆心，当时，由已知得，即；当时，点C的轨迹为点，满足.综上可知，点C的轨迹方程为.（5分）（2）设直线l方程为：，则，恒成立，，设圆心为P，则，，，（8分）直径，故圆P的方程为，由对称性可知，若存在定点，则必在x轴上，令，则，（12分）化简得：对恒成立，故，存在定点，故以MN为直径的圆过定点.（15分）17.（1）； （2）； （3）1天.解：（1）设表示第1天去A餐厅，表示第2天去A餐厅，则表示第1天去B餐厅，根据题意得，，，，，所以.（4分）（2）设表示第n天去A餐厅用餐，则，，根据题意得，，，由全概率公式得，，即，（7分）整理得，，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，（10分）（3）由题意，只需，即，则，即，显然n必为奇数，n为偶数时不成立，当时，考虑的解，当时，显然成立，当时，，不成立，由单调递减得，时，也不成立，综上，该同学只有1天去A餐厅用餐的概率大于去B餐厅用餐概率.（15分）18.（1），；（2）；（3）证明见解析.解：（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（5分）（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，,当，，单调递增，当，，单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（11分）（3）证明：由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，即证.（17分）19.（1），双曲线：（2）证明见解析：（3）.解：（1）根据坐标平面xOy内点的坐标的特征可知，坐标平面xOz的方程为，已知曲面C的方程为，当时，xOz平面截曲面C所得交线上的点满足，从而xOz平面截曲面C所得交线是平面xOz上，以原点O为对称中心，焦点在x轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.（4分）（2）设是直线l上任意一