2024-2025学年高中数学模块综合测评A课后巩固提升含解析北师大版选修2-1

模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,真命题是()A.对于随意x∈R,2x>x2B.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题C.“平面对量a,b的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a·b<0”D.存在m∈R,使f(x)=(m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上是削减的答案D2.设a,b,c,d为实数,则“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A3.设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图像关于直线x=对称.则下列推断正确的是()A.p为真 B.非q为假C.p且q为假 D.p或q为真答案C4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率e=,则C的方程是()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案D5.已知椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,假如线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为()A.± B. C. D.答案A6.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b相互垂直,则k=()A.- B. C. D.答案D7.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A.1 B. C.2 D.2答案D8.过抛物线y=x2的准线上随意一点作抛物线的两条切线,若切点分别为M,N,则直线MN过定点()A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1)答案D9.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),O为坐标原点,点D在直线OC上运动,则当取最小值时,点D的坐标为()A. B.C. D.答案C10.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为()A. B. C. D.答案C11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是()A. B. C. D.答案C12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案D二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满意条件(c-a)·(2b)=-2,则x=.

答案214.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是.

答案115.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面A1B1C1D1的中心,则OC与BC1夹角的余弦值为.

答案16.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是.

答案三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.解解不等式x2-8x-20>0得p:A={x|x>10,或x<-2}.解不等式x2-2x+1-a2>0得q:B={x|x>1+a,或x<1-a,a>0}.依题意,p⇒q但q不能推出p,说明A⫋B.于是,有解得0<a≤3.∴正实数a的取值范围是(0,3].18.(满分12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.解由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1,双曲线方程为=1,点P(3,4)在椭圆上,所以=1,解得a2=40(a2=10舍去).双曲线的一条渐近线为y=x,因为点P在渐近线上,所以4=×3,解得b2=16.所以椭圆的方程为=1,双曲线的方程为=1.19.(满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求平面A1BD与平面B1BD所成角的余弦值.(1)证明设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)解方法一:作A1F⊥BD且A1F∩BD=F,连接B1F.由AE=EB=,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4.由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB与△B1DB全等.由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角的补角.由A1D=,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得cos∠A1FB1=-.故平面A1BD与平面B1BD所成角的余弦值为.方法二:以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:A1(0,0,),B(0,,0),D(-,0,),B1(-).因此=(0,,-),=(-,-),=(0,,0).设平面A1BD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量为n=(x2,y2,z2).由可取m=(0,,1).由可取n=(,0,1).于是|cos<m,n>|=.故平面A1BD与平面B1BD所成角的余弦值为.20.(满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.21.(满分12分)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.摸索究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解法一(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为=1.若存在满意条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满意条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=,由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.解法二(1)同解法一.(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2.由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因为△OAB的面积为8,所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为=1.当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.22.(满分12分)(2024天津,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥B1D;(2)求平面BB1E与平面B1ED夹角的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.解依题意,以C为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明:依题意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),从而=2-2+0=0,所