全国卷“超级全能生”2025届高三数学1月联考丙卷B理含解析

PAGE9-（全国卷）“超级全能生”2025届高三数学1月联考丙卷（B）理（含解析）留意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x∈Z|≤0}，则A∪B＝A.{0，1}B.{－2，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1，2}2.若复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝A.B.C.5D.53.已知直线y＝x的倾斜角为α，则cos2α＝A.B.－C.D.－4.已知函数f(x)＝，则f(x)的图象可能是5.某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满足度，随机抽取了200名师生的评分(满分100分)作为样本，将数据依据[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图，依据直方图估计200名师生的满足度评分的平均数是(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)A.85B.82.8C.80.4D.70.26.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则A.f(x)＝cos(x－)B.f(x)＝cos(x＋)C.f(x)＝cos(－)D.f(x)＝cos(＋)7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为B1D1上一动点(含端点)，则下列四个结论：①AM//平面BC1D；②CM⊥B1D1；③平面ACM⊥平面AB1D1；④点M到平面BC1D的距离为定值。其中正确的结论个数是A.1B.2C.3D.48.2024年1月，教化部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的看法》(简称“强基安排”)，明确从2024年起强基安排取代原有的高校自主招生方式。假如甲、乙、丙三人通过强基安排的概率分别为，，，那么三人中恰有两人通过的概率为A.B.C.D.9.某电视综艺节目中，设置了如下嬉戏环节：1工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码。丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1。”乙说：“我看到一个2和两个1。”丙说：“我看到三个2。”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有A.乙B.甲、乙C.丁D.乙、丁10.设过点A(1，0)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4交于E，F两点，线段EF的中点为M。若l与y轴的交点为N，则的取值范围是A.(0，2]B.(0，)C.[2，)D.[2，]11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于点A，B(点A在第一象限)，过A，B两点分别作准线的垂线，垂足为C，D。连接CF交y轴于点H，若DH//AB，则直线AB的斜率为A.1B.C.2D.212.已知函数f(x)＝ex－a＋ea－x＋x2－a2lnx－2(a>0)，若f(x)有2个零点，则a的取值范围是A.(0，]B.(0，e2)C.(，＋∞)D.[e2，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知a＝(1，)，若向量b满足(a＋b)⊥a，则b在a方向上的投影为。14.锐角三角形ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2S＝(b2＋c2－a2)sin2A，则A＝。15.过双曲线(a>0，b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，|FN|＝4，则双曲线的标准方程是。16.在古代土木工程的计算中，须要探讨一些特别的几何体，《九章算术》记载的堑堵(qiàndǔ)就是其中之一。堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱。在堑堵ABC－A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E是A1C1的中点，M是侧面ABB1A1内(含边界)的一个动点，若∠EMA1＝∠CMA，则CM的最大值是。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2(Sn＋1)＝3an＋(n－1)2(n∈N*)。(I)求证：数列{an－n}是等比数列；(II)求数列{an}的通项公式及S4。18.(12分)某购物网站统计了A，B两款手机在2024年7月至11月的总销售量y(单位：百部)，得到以下数据：(I)已知销售量y与月份x满足线性相关关系，求出y关于x的线性回来方程，并预料12月的手机销售量；(II)网站数据分析人员发觉：A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关。请填写下面的2×2列联表，并推断能否有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？参考公式：，，其中n＝a＋b＋c＋d。临界值表：19.(12分)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点。(I)证明：平面BDEF//平面CB1D1；(II)若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值。20.(12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋lnx(a>0)。(I)探讨函数f(x)的单调性；(II)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1>x2)，且f(x1)－x1<λx2(λ∈R)恒成立，求λ的取值范围。21.(12分)已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P(，1)在椭圆上，且∠F1PF2＝90°。(I)求椭圆的标准方程；(II)不过点P的直线与椭圆交于A，B两点，且OP平分线段AB(O为坐标原点)。设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试推断k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(φ为参数)。以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，