19题新结构定义题（集合部分）原卷版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题0119题新结构定义题(集合部分)(典型题型归类训练)

1.(2023•北京西城・北师大实验中学校考三模)若项数为N(NZ3)的数列见,…,心满足：

*/、，、f11,2),\<n<M

4=l,a"Ni=2,3,…,N,且存在Me{2,3,…,N-l,使得%J'〃।,则称数列

M<n<N-l

4具有性质P.

(1)①若N=3,写出所有具有性质尸的数列4；

②若N=4,%=3,写出一个具有性质P的数列4；

(2)若N=2024,数列4o24具有性质产，求Hem的最大项的最小值；

⑶已知数列4：%吗，…,咻当：配白，…4均具有性质P，且对任意i,/e{L2,…,N},当i幻时，都有

a产%,b产bj.记集合7；，心={4也,…，"}，求(c5中元素个数的最小值.

2.(2023•北京西城•北京师大附中校考模拟预测)己知A为有限个实数构成的非空集合，设

A+A=^ai+aj\ai,aje/},A-A=^ai-aj\ai,aje/},记集合/+/和/一/其元素个数分别为

设M+例如当N={1,2}时，4+/={2,3,4},^-^={-1,0,1},\A+A\=\A-A\,所以

n(A)=Q.

(1)若/={1,3,5},求〃(/)的值；

⑵设A是由3个正实数组成的集合且(/+N)nN=@/'=/U{0},证明：〃(/')-〃(/)为定值；

⑶若{%}是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意〃eN*,设4={%,%,•••,%},b,=n⑷.已

知%=1,4=2,且对任意〃eN*”20,求数列{与}的通项公式.

3.(2023•北京101中学校考模拟预测)设4是正整数集的一个非空子集，如果对于任意xe/,都有x-le/

或x+le/,则称/为自邻集.记集合4={1,2…，〃}(〃>2,”eN)的所有子集中的自邻集的个数为a”.

⑴直接写出4的所有自邻集；

(2)若〃为偶数且〃>6,求证：4的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；

(3)若为24,求证：an<2an_x.

4.(2023・北京门头沟•统考一模)已知集合Af={±1,士2,±3,…,土〃}(">3).若对于集合M的任意k元子集

力中必有4个元素的和为-1,则称这样的正整数人为“好数"，所有"好数"的最小值记作g(M).

(1)当〃=3,即集合”={-3,-2,-1,1,2,3}.

(i)写出M的一个子集8,且3中存在4个元素的和为T；

(ii)写出M的一个5元子集C,使得C中任意4个元素的和大于T；

(2)证明:g(M)>n+2；

(3)证明:g(M)="+3.

5.(2023•北京西城•统考一模)给定正整数“22,设集合M={a[a=«U，L{0,1}次=1,2,L对于集

合M中的任意元素/=(X”X2，L,x“)和7=(M，%，L,%),记夕，=为乂+%%+1+xj”.设Z=且集合

[p,i=_

4={*a,=G32，L,2),，=1,2,L,对于A中任意元素%,若.则称A具有性质T(〃,p).

11,"J,

⑴判断集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性质7(3,2)?说明理由;

(2)判断是否存在具有性质7(4,p)的集合A,并加以证明；

(3)若集合A具有性质7(",P),证明：t\j++L+tnJ=P(j=1,2,L,n).

6.(2022•北京海淀•首都师范大学附属中学校考三模)设〃2且〃wN,集合为={1,2,3,4,…,2*,若对U,

的任意无元子集匕.，都存在a,b,ce匕.，满足：a<b<c,a+b>c,且a+b+c为偶数,则称匕为理想集，并

将发的最小值记为K,.

⑴当〃=2时，是否存在理想集？并说明理由.

(2)当〃=3时，是否存在理想集？若存在，求出(；若不存在，请说明理由.

⑶求心

a+e

7.(2022•北京丰台•统考二模)设4=[q，4],I2=[a2,b2],-^n+1—[„+P^H+l]»)

个互不相同的闭区间，若存在实数升使得=+则称这〃+1个闭区间为聚合区间，不为该

聚合区间的聚合点.

⑴已知A=[1,3],/2=[-2,疝小0</<万)为聚合区间,求]的值;

(2)已知/|=[%，4],/1=[。2也],...,/,=[%也],/“+1=[。用也+]]为聚合区间.

(i)设%,%是该聚合区间的两个不同的聚合点.求证：存在k,7e{l,2,...,n+l},使得

[ak,bj~\^Ii(i=i,2,...,n+l)；

(ii)若对任意0,q(PS且p,^e{l,2,...,«+1)),都有4互不包含.求证：存在不同的3

/e{1,2,…，〃+1},使得4—a,W----也一％).

n

8.(2022■北京丰台•统考一模)已知集合S={1,2,…,"}("23且〃eN*),4={49,…，%},且一三S.若对

任意外©/，。六4(1<z<j<m,当q+%W〃时，存在%e/(l<k<m),使得%+%=%,则称A是S的

"?元完美子集.

⑴判断下列集合是否是$={123,4,5}的3元完美子集，并说明理由；

①4={1,2,4}；②4={2,4,5}.

(2)若［={%,%，/}是5={1，2/“，7}的3元完美子集,求4+%+%的最小值；

(3)若/={%,。2,…，%,}是5={1，2,…(〃23且“eN*)的加元完美子集，求证：at+a2+.••+amm{n+\)并

指出等号成立的条件.

9.(2023•北京海淀101中学校考模拟预测)在〃x〃(〃22)个实数组成的〃行力列的数表中，为表示第i

行第/列的数，记。=a*+a,2+…+。加(1<，<»)，q=aXj+a2j+---+anj(l<j<n).若atje{-l,0,l}(l<i,j<n),,

且外，々，…，/，qg,…,的两两不等，则称此表为"〃阶〃表"，记乩={小々,…,*GJ…,c"}.

⑴请写出一个"2阶H表"；

(2)对任意一个""阶〃表"，若整数％«-”,可,且/任与，求证：丸为偶数；

⑶求证：不存在"5阶H表".

10.(2021•北京门头沟•统考一模)对于一个非空集合力,如果集合。满足如下四个条件：

①。U{(a,b)|ae/}；②Vae/,(a,a)eD；③Va,6e/,若(a,6)e。且(6,a)e。，贝1]°=6；

@\/a,b,c&A,若3向€。且(6,c)e。，贝！|(a,c)e。，则称集合D为/的一个偏序关系.

(1)设/={1,2,3},判断集合。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合力的偏序关系，请你写出一个含

有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D-,

(2)证明：凡={(%6)]。€凡6€R046}是实数集夫的一个偏序关系：

(3)设E为集合/的一个偏序关系，.若存在cl4,使得(c,a)e£,(c,ZJ)e£,J3.V<7eA，若(d,a)eE,

(d,b)eE,一定有(d,c)e£,则称c是。和6的交，记为c=a人6.证明：对/中的两个给定元素a,b,若

存在，则一定唯一.

11.(2020•北京房山•统考二模)已知集合P的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合产分

成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C,即尸=/C3=0,/cC=0,

8nC=0,其中/={。1吗，…,%}，8={4也,…也}，C={c“2，L,c,J,且满足qVC?<…<c.，ak+bk=ck,

k=l、2、L、〃，则称集合P为"完美集合

(1)若集合P={1,2,3},0={1,2,3,4,5,6},判断集合尸和集合。是否为“完美集合"？并说明理由；

(2)已知集合尸={l,x,3,4,5,6}为“完美集合"，求正整数x