折叠存在性及最值大全(填空压轴)-2024年中考数学拉分压轴重难点突破

高考材料

专项03折叠存在性及最值大全（填空压轴）

特姝图形问题

倒平分线+孝行线澳型

行营2后:…r『

方程翎8

分类讨论患想

最值问题

1.如图，在菱形ABCD中，AB=n,NA=60。，点E为边4。的中点，尸为射线AB上一

动点，连接EF,把43沿E尸折叠，得到当AN与菱形的边垂直时，线段AF

的长为.

【答案】3+36或12+6代

【分析】存在两种情况①当点尸在线段上时，由题意得出AE的长，在皿ZXAGE中可求

出AG的长，由AF1AB,根据折叠的性质，可知ZAFE=ZAFE=45°,

在RfEGF中,可求出GF的长，即可得出AF的长.②当点尸在线段AB延长线上时，由

高考材料

AEF=AERNA=60°,得出NA=60°,AE=AE=6,AF=AF,

由AH_LAB,RrA'£77中，求出=3,由5AgF=gAE./YF=：x6（A/-3）=3（AF-3）,

SAEF==得出乎AF=3（AF-3）,即可得出结果•

【详解】解：如图1所示：当点尸在线段上时，过点£作EGLA8于G,

4

\\一7

G/

、

珍----------------------xc

图1

一.一四边形ABCD是菱形，AB=n

AB=BC=CD=DA=12,

••・点E是AD的中点，

AE=-AD=-xU=6,

22

EG±AB,ZA=60°

AG=3,EG=3瓜

AF±AB,

ZAFA=90°,

ZAFE=ZAFE

:.ZAFE=AAFE=45°,

GF=EG=373,

AF=AG+GF=3+3^/3,

如图2所示：当点尸在线段AB延长线上时，过点后作雨，4民A’H交A。于点”,

高考材料

四边形ABCD是菱形，AB=12

/.AB=BC=CD=DA=12,

二・点E是A0的中点，

...AE=-AD=-xl2=6,

22

,AEF=AEF,ZA=60°,

/.ZA'=60°,AE=AE=6,AF=AF,

vAHLAD,EMAB,

ZAEM=ZAEM=30°,

AH=3,EM=3瓜

1x6（AF-3）=3（AF-3）,

SAEF=^AE»HF=

sAEF=^AF»EM=^x3y/3AF=^AF,

.-.^AF=3（AF-3）,

.\AF=12+673.

故答案为：3+3月或12+63

【我思故我在】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的知识，区分点尸

高考材料

的位置在线段AB上和在线段AB的延长线上是解本题的关键.

2.如图，菱形ABCD的边长=16,ZD=60°,M是8边上一点，DM=6,N是AB边

上一动点，将梯形沿直线"N折叠，C对应点C'.当AC的长度最小时，AN的长为

【答案】14

【分析】作河，8于0如图,根据菱形的性质可求得人a=也">=86，。"=8=8,

2

在RtAAHM中，利用勾股定理计算出AM=14,再根据两点间线段最短得到当点C'在AM上

时，AC'的值最小，然后证明=即可.

【详解】解：作A"，CD于如图，

1•菱形ABCD的边AB=16,Zr>=60°,

ZZMH=30°,AD=AB=CD^16,

DH=^AD=8,AH=yjAEr-DH1=873-

VDM=6,

HM=2,MC=CD—ZW=16-6=10,

在RtAAHM中，AM=^AH"+HM-=J192+4=14，

•.・梯形CM/VB沿直线MN折叠，C对应点C',

MC'^MC=10,

-：AC'+MC>AM,

：.AC>AM-MC,

J.当点C'在AM上时，AC'的值最小,

高考材料

由折叠的性质得aM=NCMN,而CE>〃AB,

ZANM=ZCMN,

：.ZAMN=ZANM,

AN=AM^14.

故答案为：14.

【我思故我在】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是

确定点C'在AM上时，AC'的值最小.

3.如图，在四边形纸片ABC。中，AD//BC,48=10,N8=60。，将纸片折叠，使点B落

在AD边上的点G处，折痕为EE若NBFE=45°,则3P的长为.

【答案】5^/3

【分析】由折叠的性质知=ZBFE^ZGFE,再由N2FE=45。得到NBFG=90。,

过点A作于点”，在RtAAB”中求出AH的长度，再证明四边形AHFG是矩形,

从而得出AH=G厂，即可解决问题.

【详解】解：如图，过点A作于点〃，

由折叠的性质知所=GP,ZBFE^ZGFE,

NBFE=45°,

ZBFG=ZBFE+ZGFE=90°,

高考材料

在RtAABfiT中，AH=AB-sinZ.B=10x—=5^/3,

2

AD/IBC,

:.ZGAH=ZAHB=90°,

:.Z.GAH=ZAHF=ZHFG=90°,

四边形AHFG是矩形，

:.FG=AH=5《,

：.BF=FG=S5

故答案为：5A/3.

【我思故我在】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质，根据已知角度和

折叠的性质得出上班G=90。是解题的关键.

4.如图，在RAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点歹在边AC上，并且CF=2,点E

为边3C上的动点，将ACER沿直线EP翻折，点C落在点P处，则点尸到边AB距离的最小

值是.

【答案】1.2

【分析】过点/作垂足为G,过点尸作垂足为。，根据垂线段最短,

得当尸。与FG重合时PD最小,利用相似求解即可.

【详解】NC=90°,AC=6,BC=8,

AB=10,

CF=2,将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，

CF=PF=2,AF=AC-CF=6-2=4,

高考材料

过点尸作尸G_LA8,垂足为G,过点尸作尸DJ_A8,垂足为0,

根据垂线段最短，得当尸。与尸G重合时尸。最小，

/ZA=ZA,ZAGF=ZACB,

/.AAG8AACB,

.AFGF

.4一GF

••一，

108

FG=3.2,

/.PD=FG-PF=3.2-2=1.2f

故答案为：1.2.

【我思故我在】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形相似，垂线段最短，准确找到最

短位置，并利用相似求解是解题的关键.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=5,点E是线段CD上的一点（不与点O,C重合），

将△3CE沿8E折叠，使得点C落在。处，当△CC。为等腰三角形时，CE的长为

【答案】］5或午20

【分析】根据题意分C'D=C'C，CC=CD,OC'=OC三种情况讨论，构造直角三角形,

利用勾股定理解决问题.

高考材料

【详解】解：四边形ABCD是矩形

ZC=90°,CD=AB=8,BC=AD=5

・.•将△BCE沿BE折叠，使得点C落在。处，

.BCE%BCE

C'E=CE,ZBC'E=NBCE=90°,BC=BC,

设CE=x,则DE=CD_x=8_x

①当C'D=C'C时，如图

过点C作C'F±CD,C'G±BC,则四边形C'GCF为矩形

CD=C'C

；.C'G=DF=FC=-CD=4,EF=\-x

2

在而BC'G中

BG=yjBC'--C'G2=752-42=3

.-.C'F=CG=5-3=2

在RtC'尸E中

C'E2=C'F2+EF2

即x2=22+（4-X）2

解得x=g

:.CE=-

2

②当CC'=C。时，如图，设交于点。，

高考材料

设OE=y

BC=BC,EC=EC

垂直平分CC

OC=OC'=-CC'=-CD=4

22

OB=NBC2-OC。=3

在RtOCE中OE2+OC2=CE2

即y2+42=x2

在RtABCE中，BE1=BC2+CE2

gp（3+y）2=52+X2

22

/+4=X

联立,、222,解得,

［（3+»"+尤2

③当OC'=DC时，如图,

又*BC=BC

.〔DB垂直平分CC'

高考材料

BC=BC：EC=EC'

：.BE垂直平分CC'

此时2E重合，不符合题意

综上所述，EC=,或;

故答案为：］5或与20

【我思故我在】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线

的性质，分类讨论是解题的关键.

6.如图，在矩形ABCD中，CD=3,对角线AC=5,点G,H分别是线段A。，AC上的

点，将AACD沿直线GH折叠，点C,。分别落在点E,尸处.当点E落在折线。⑦上，

且AE=1时，CH的长为.

【答案】2或，

【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解.

【详解】解：AC=5,CD=3,

AD=\lAC2-CD2=《25-9=4，

当点E落在AC上时，

图1

•.•将AACD沿直线GH折叠,

CH=EH,

AE=1,

:.EC=4,

高考材料

CH=2；

当点E落在A£»上时，如图2,连接EC,过点E作ENLAC于N,

:.AN=y/AE2-EN2=J1--=-,

X255

「将AACD沿直线G”折叠,

CH=EH,

EN2+NH2=EH2,

Q71

-WC)2=wc2,

255

HC吟

综上所述：CH的长为2或/.

【我思故我在】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出

方程是解题的关键.

7.在数学探究活动中，小美将矩形纸片先对折，展开后折痕是ER点M为BC边

上一动点，连接AM,过点M作MVLA加交C。于点N.将△MQV沿翻折，点C恰

好落在线段斯上，已知矩形ABC。中AB=4,BC=6,那么的长为

4D

C'\

E

N

BC

M

高考材料

【答案】4或14

x

【分析】设2M=x,则CM=2C-BM=6-x,根据三角函数可得tanNCMN=tanN-,

tanzCMN=—二-,FN=CF-CN=七^,由折叠可知：C''N=CN=2^~,tanNFCC'

CM444

xvxx

=tanZCMN=—,由tanZFCC=----=—,可求。户=—CF=——,在RtAC,FN中，由勾股定理,

4CF442

CF2+FN2^C'N2，代入相关数据求解即可.

【详解】解：矩形A2C。中，AB=DC=4,BC=6,NB=NBCD=90°

ZBAM+ZAMB=90°,

-：MN±AM,

ZAMN=90°,

/.ZCMN+ZAMB=90°,

ZCMN=NBAM,

・.・小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是ER

CF=；DC2

设BM=x,则CM=BC-BM=6-x,

在中，tanNR4A/=0^二土

AB4

x

tanZCMN=tanNBAM=—

4

在RtACMN中,

/.tanZCMN=^~=—

CM4

xx、Qx-x'

CN=—CM-—(6—幻二-------

444

&x~x2

由折叠可知：C"N=CN=

4

连接CC,如图：

高考材料

由折叠知：MN垂直平分CC,

/.NW+NCW=90°,

而/胭t'+/依'=90°,

/.AFCC=ZCMN,

,x

tanAFCC=tanZCMN=—

4

在RtaCFV中，

tanZFrr^—=-

CF4

/.CF二-CF=-

42

在中，由勾股定理，得

CF2+FN2=CN2,即

/X、)//-6才\,八CX2-6X,6X-X2

；.(->+(-----y+2x2x(/------)X+2?=(-----¥

2444

整理，得5/一24x+16=0，

4

解得玉=可，4=4

4

二〃0的长为4或y

4

故答案为：4或

【我思故我在】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二

次方程等知识，运用三角函数将边长表示出来，借助勾股定理建立方程是解题的关键.

8.如图，矩形ABC。中，48=4,4)=6,点E为AD中点，点P为线段A8上一个动点，连

接£尸，将aAPE沿尸£折叠得到△EPE,连接CE,DF,当线段。尸被CE垂直平分时，AF

则线的长为.

高考材料

【分析】连接A歹交尸E于。连接。七先由矩形的性质可得BC=AO=6、CD=AB=4,再由折

叠的性质和垂直平分线的性质可得A尸=204AE=ED=EF=3；设AP=x,则PF=AP=x,BP=4-x,

PC=PF+FC=x+4,运用勾股定理可求得x,然后再运用勾股定理求得PE的长，再运用等面

积法求得A。的长，最后根据A氏2A。解答即可.

【详解】解：连接AF交PE于O,连接OF,

矩形ABCD,

BC=AD=6,CD=AB=^,

・「线段。尸被CE垂直平分时，

「•CF=CD=4,ED=EF,

••,将△APE沿尸石折叠得到△尸尸

/.尸E是线段A/的垂直平分线，

/.AE=EF,AF=20A,

/.AE=ED=EF,

,/AD=AE+ED=6,

/.AE=ED=EF=3,

设A尸三x,则PJ三A尸三x,BP=4-x,PC=PF+FC=x+^,

,/PC2=BP2+BC2^(X+4)2=(4-x)2+62

/.-PEAO=-PAAE,

22

BP-x—A0--x-x3,

2424

9

解得：AO=g,

高考材料

18

：.AF=2AO=—.

5

1Q

故答案为

【我思故我在】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定

理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键.

9.如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=1,E是AB上一个动点，尸是AO上一个动点（点

尸不与点。重合），连接所，把△AEF沿所折叠，使点A的对应点4总落在DC边上.若

△AEC是以4E为腰的等腰三角形，则A'D的长为.

【分析】分两种情形分别画出图形，利用勾股定理构建方程求解即可.

【详解】解：如图1中，当上T=CE时，过点E作EHLCD于H.

图1

四边形ABCD是矩形，

：.AD^BC=1,NB=90°,

设AE=EA'=EC=x,则BE=2-x,

在刈△EBC中，则有/=停+（2-尤）2,

高考材料

解得X=。，

4

3

EB=2-x=—,

4

ZB=4BCH=4CHE=90°f

四边形CBEH是矩形，

CH=BE=-,

4

EC=EA1EH±CA^

HA,=CH=-

49

3i

DA'=CD-CA'=2--=：.

22

如图2中，当时，设AE=E4，=C4=y.

图2

贝I」C”=E8=2-y,A'H^CA'-CH=y-(2-y)=2y-2,

在中，则有产=12+(2y-2)2,

解得y=|■或1(舍弃)，

D4'为］或1，

故答案为J或1.

乙5

【我思故我在】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

10.如图，长方形ABCD中，AD=3,AB=5,点E为射线CD上一动点（不与。重合），将

V4DE沿AE折叠得到D'AE,连接若为直角三角形，则4E=

高考材料

【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，民。，石三点共线，根据

SABE=；AB-AD=g2E-AZy可求得郎=5,再由勾股定理可得的，=办〃-4分=4,进

而可计算OE=0E=1,在H△位史中，由勾股定理计算AE的值；②当点E在射线CD上

时，设比=尤，则DE拓1+5,BE=x+l,由勾股定理可解得x=4,进而可计算£>E=9,

在RfAADE中,由勾股定理计算AE的值即可.

【详解】解：根据题意，四边形ABC。为长方形，AD=3,AB=5,将VAOE沿AE折叠得

到D'AE,则NO=N£D'4=90。，AD=3C=AD'=3,AB=CD=5,

①如图1,当点E在线段CD上时，

图1

•••ZEDfA=ZDZADB=90°,

三点共线,

S=-ABAD=-BEAD',

ABREF22

BE=AB=5,

BD'=y/AB2-AD'2=752-32=4-

DE=D'E=BE—BD'=5—4=1；

.,.在HAADE中，AE=ylAD2+DE2=A/32+12=710；

②如图2,当点E在射线CD上时，

高考材料

ZAIyB=ZBCE=90o,AD=BC=AD'=3,AB=CD=5,

BD'=YIAB2-AD'2=4，

设CE=x,则D'E=£)E=x+5,

BE=D'E-Biy=x+1,

CE2+BC2=BE2,即炉+32=(x+l)2,

解得x=4,

DE=CD+CE=5+4=9,

.•.在HAADE中，AE^Ab2+DE。=，3?+92=3屈.

综上所述，AE的值为JI万或3JHL

故答案为：J证或31访.

【我思故我在】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析

问题是解题关键.

11.如图，已知中，/3=90。，^A=60°,AC=10,点/、N分别在线段AC、

AB上，将4VM沿直线折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△OCN为直

角三角形时，折痕的长为.

高考材料

【答案】1或

【分析】由△DC"为直角三角形，分两种情况进行讨论：①/COM=90。；②/CM。=90。.

分别依据含30。角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长.

【详解】解：分两种情况：

①如图，

当NCDM=90°时,YCDM是直角三角形，

•.•在RtABC中，4=90。，NA=60。，AC=10,

.•./C=30。，AB=-AC=5,

2

由折叠可得，ZMDN=ZA=6Q0,

:.NBDN=3b。,

:.BN=-DN=-AN,

22

:.BN=-AB=-

33f

.\AN=2BN=—

3f

NDNB=60。,

:.NANM=NDNM=6^P,

^AMN^60°f

：.MN=AN=—；

3

②如图,

高考材料

当/CMD=90。时，VCDM是直角三角形，

由题可得，=60。，NA=NMDN=耶,

：.^BDN=60°,NBND=30。,

:.BD=-DN=-AN,BN=6BD,

22

又•.AB=5,

."./W=20-1073,BN=104-15,

过N作NH_LAAf于H,则N7WH=30。，

AH=-AN=10-5y/3,fflV=10V3-15,

2

由折叠可得，ZAMN=ZDMN=45°,

MNH是等腰直角三角形，

：.HM=HN=10y/3-15,

:.MN=1。任一15也.

故答案为：与*或10A/^-15^^.

【我思故我在】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，

等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键.折叠是一种对称变换，它属于轴对

称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

12.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=16,点。、E分别是边BC、AC上的

点，且NEDC=ZA,将AABC沿对折，若点C恰好落到了AABC的外部，则折痕。E的

长度范围是.

高考材料

【答案】—<£>£<15

【分析】把AABC沿。E对折，当点C恰好落在4B的尸点处，CF与。E相交于。点，根据

折叠的性质得到DELCF,OC=OF,证明FC=FA,同理可得户C=EB,于是可得OC的

长，然后根据勾股定理计算A8的长，由正切的定义可得OE和0D的长，计算DE的长，再

计算当E与A重合时DE的长，从而得结论.

【详解】解：把AABC沿。E对折，当点C恰好落在48的尸点处，CF与。E相交于。点，

如图1,

图1

:.DE±CF,OC=OF,

乙EDC+ZOCD=90°,Z1+ZOCD=90°,

Z1=ZEDC,

而ZEDC=ZA,

.'.Z1=ZA,

FC=FA,

同理可得PC=FB,

:.CF=-AB,

2

OC=-AB,

4

在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=16,

AB=VAC2+BC1=7i22+i62=20>

高考材料

OC=5,

在RtAOEC中，tanZ1=tanZA=,即半二殍

CzCACJ12

•'O£=T

在RtAODC中，tanZODC=tanZA=,gp,

ODACOD12

••OD=7

:.DE=OD+OE=—+—=125

4312，

如图2,当E与A重合时，tan/EDC=tanZBAC=柒=41,即共=白

OJLXCX-AX12

.•.8=9,

图2

.­.DE=A/122+92=15，

折痕OE的长度范围是：得<。瓦,15.

125

故答案为：—<DE„15.

【我思故我在】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图

形的形状和大小不变，位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理和锐角三角函数.

13.如图，在“1BC。中，点E,歹分别在边AB、A。上，将A4EF沿EF折叠，点A恰好落

在2C边上的点G处.若NA=45。，AB=6亚,5BE=AE.则AF长度为

BGC

高考材料

【答案】y

【分析】过点B作于点M,过点尸作尸H_LBC于点”，过点E作EN_LCB延长线

于点N,得矩形即《四，可得42硒和是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解

决问题.

［详解］解：如图，过点2作BMA.AD于点M,过点F作FHLBC于点、H,过点E作ENA.CB

延长线于点N,

得矩形BHFM,

：.ZMBC=90°fMB=FH,FM=BH,

AB=6y/2，5BE=AEf

AE=572，BE二y/2，

由折叠的性质可知：GE=AE=5垃,GF二AF,

•/四边形ABC。是平行四边形，

ZABN=AA=45°,

△3硒和是等腰直角三角形，

EN=BN=显BE=1,AM=BM=显AB=6,

22

FH=BM=6,

在RfAGEN中,根据勾股定理，得

EN-+GN2=GE2,

12+G^2=(572)2,

解得GN=±7(负值舍去)，

GN=7,

设MF=BH=x,^]GH=GN-BN-BH=7-l-x=6-x,GF=AF=AM+FM=6+x,

在RfaGM中，根据勾股定理，得

高考材料

GH2+FH2=GF2,

(6-X)2+62=(6+X)2,

3

解得

315

AF=AM+FM=6+—=—.

22

..•人厂长度为11.

故答案为：—.

【我思故我在】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定

理，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

14.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是3c边上的一个动点，将ABE沿AE折

叠，得到△AFE,则当CF最小时，折痕AE长为.

4^-----------------。

【答案】36

【分析】根据三角形的三边关系得出：当CP最小时的图形，利用勾股定理列出方程，求出

8E的长度，进行解答即可.

【详解】连接AC,依题意可知：CF>AC-AF,

如图，当A、C、尸三点共线时，B取得最小值,

高考材料

在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,?B90?,

AC=yjAB2+BC2=V62+82=10-

由折叠可知：AF=AB=6,ZAFE=NB=90。,设BE=EF=x,

：.FC=AC-AF=10-6^4,EC^BC-BE^8-x,

在RfEFC中,EF2+FC2=EC2,

X2+42=（8-X）2,

x=3,

BE=3,

AE=JAB?+BE，=后+32=36•

故答案为：3A/5.

【我思故我在】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次根式的运算，掌握勾股定理进行求

线段长度是解题的关键.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=8,E是CZ）上一点，且DE=2,P是上一动点，

连接EF,若将△DEF沿EF翻折后,点D落在点办处,则点办到点B的最短距离为.

【答案】8

【分析】连接BE、BD',当B、DC、E三点共线的时候点W到2点的距离最短，根据DE

求出CE,再利用勾股定理求出BE,即可求解.

高考材料

【详解】如图，连接BE、BD',

当B、DkE三点共线的时候点皿到2点的距离最短，

在正方形ABCD中，AB=8,E是CQ上一点，且。E=2,

CE=CD-DE=8-2=6,BC=AB=8y

BE=VCE2+BC2=762+82=10>

根据折叠的性质有DE=DE=2,

.8、DkE三点共线

BD'=BE—D'E=10—2=8,

即点W到3点的距离最短为8,

故答案为：8.

【我思故我在】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的

知识，找到夙DME三点共线的时候点皿到B点的距离最短是解答本题的关键.

16.如图，已知在矩形纸片ABCD中，AB=2,BC=2拒,点E是A8的中点，点F是AD

边上的一个动点，将△?!£尸沿EF所在直线翻折，得到△4EF,连接4c,40,则当△AOC

是以4。为腰的等腰三角形时，AF的长是.

【答案】1或也

2

【分析】存在三种情况：当A'O=DC时，连接EO,利用勾股定理可以求得ED的长，可判

断E,A',。三点共线，根据勾股定理即可求解；当A£>=AC时，可以证得四边形AEA尸是

高考材料

正方形，即可求解；当AC=OC时，连接EC,FC,证明E,4,。三点共线，再用勾股定

理，即可求解.

【详解】解：①当AO=OC时，连接EO,如图，

•.・点E是AB的中点，AB=2,BC=2sf2,四边形ABCD是矩形,

AE=1,AD=BC=2叵,ZA=90°>

由勾股定理可得，DE=VAE2+AD2=3-

,将4AEF沿EF所在直线翻折，得到△,

A'E=AE=1,

-：A'D=DC=AB=2,

：.DE=3=AE+AO,

E,A,。三点共线，

ZA=90°,

ZFA'E=ZFA'D=90°,

设AF=x,贝!]A'F=x,FD=2C-x，

在RtAFAD中，A'D2+AF-=DF2，

22+X2=（2A/2-X）2,

解得尤=交',

2

.A口―6

••AF----；

2

②当AO=AC时，如图，

高考材料

点A在线段CD的垂直平分线上，

・・•点4在线段AB的垂直平分线上，

点E是AB的中点，

.£4'是的垂直平分线，

ZAEA'=90°,

・将AAEF沿EF所在直线翻折，得到△AEP,

ZA=ZEA1F=90°,AF=FA!,

•四边形AE4P是正方形，

AF=AE=-AB=l-

2

综上所述，AF的长为1或比.

2

故答案为：1或包.

2

【我思故我在】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形

的判定和性质、勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键.

17.如图，在ABC中，ZACB=90°,AC=2,3c=4,E为边A8的中点，点D是BC边

上的动点，把ACD沿AD翻折，点C落在。处，若ACE是直角三角形，则8的长为

高考材料

【分析】在图1中构造正方形ACMN,在氏中即可解决问题，在图2中也要证明四边

形ACDC是正方形解决问题.

【详解】解：如图1,

当NAC£=90。时，作£M_L5c垂足为M,作AN_LME1于N.

•/ZC=ZEMB=90°,

:.EMIIAC,

AE=EB,

:.MB=MC=-BC=2,

2

：.EM=-AC=l,

2

/C=NCMN=ZN=90。,

•