2024年中考数学几何模型归纳 三角形中的重要模型-等积模型

三角形中的重要模型-等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当ABHCD,则S-CD=；反之，如果/ACD=S^BCD，则可知直线

图1图2图3

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点D是边上的动点时，贝USAABO：：DC。

如图3,当点D是BC边上的动点，BELAD,时，贝USAAB。：&AOC=8E：

例1.（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，30是—ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=：EC,

△ABD的面积是3,则BED的面积是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出

qq

uBDC、2BED.

【详解】解：回3。是.边AC的中线，△ABD的面积是3,0SBDC=SABD=3,

回BE=；EC,0S=1s

B£D=1,故选：D.

【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分

成面积相等的两部分.

例2.（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，8。是.ABC的边AC上的中线，AE是AABD

的边8。上的中线，跖是“ABE的边AE上的中线，若,ABC的面积是32,则阴影部分的面积是（）

A.9B.12C.18D.20

【答案】B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：团8。是，ABC的边AC上的中线，==

EIAE1是△ABD的边3。上的中线，0S^。=；*16=8,

又团即是，A3E的边AE上的中线，则CF是"CE的边AE上的中线，

=

团SBEF=.ABF=ABE=万乂8=4,S©F=ACF=.ADE=CED^^tACE=8,

则s阴影=S.BEF+sCEF=4+8=12,故选：B.

【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键.

例3.（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点G为，ABC的重心，D,E,产分别为3C,

CA,A3的中点，具有性质：AG：GD=BG：GE=CG:GF=2：1.已知AFG的面积为2,则AABC的面积为

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案.

【详解】解：CG:GF=2:\,「AFG的面积为2,

ACG的面积为4,.1△ACF的面积为2+4=6,

・点厂为AB的中点，，AACF的面积的面积，

二ABC的面积为6+6=12,故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比

等于底之比是解题的关键.

例4.（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，CQ是一ABC的一条中线,

E为BC边上一点、且BE=2CE,AE、CD相交于F四边形BDFE的面积为6,则ABC的面积是.

【答案】14.4

【分析】连接设S.BDF=。，则SSEF=6-根据CD为AB边上中线，可得59=5呀=”，

1112

A1

BDCBC?根据5£=2C£,可得S,CEF=］SBEF=3（6_a）,SME=§5ABe•进而,SABC的面积可表

33

示为2sme和］S由此建立方程18-。=］。+9,解出a的值即可得到-ABC的面积.

【详解】解：连接5尸，如图所示：设S即尸=。,则S6跖=6-/

回CZ）为边上中线，一.SAOF=S8£>尸=SBDC=3SABC,

112

回_B£=2CE,：•SCEF=3SBEF=万（6-a）,SABEABC,

/.S=2S8R=2［Q+（6-a）4+5（6-a）］=18-Q,

333

SABC=~SABE=~（2a+6-a）=-a+9,

3

即18—〃=，Q+9.解得：a=3.6.，SMC=18—a=18—3.6=14.4,故答案为：14.4.

【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面

积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.

例5.（2023春・江西萍乡•八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图LAD是ABC边BC上的中线，则^=g・

理由：因为AD是ASC边8C上的中线，所以BD=CD.

ABDACDABC

又因为5诙9=：也”.，SACD=^CDXAH,所以％=&=（Z-

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：

在如图2至图4中，/1BC的面积为a.

（1）如图2,延长；ABC的边BC到点。，使CD=BC,连接ZM.若ACD的面积为'，贝|=（用

含a的代数式表示）；

（2）如图3,延长..ABC的边BC到点Z）,延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CA,连接DE.若.DEC的

面积为S°,贝US?：（用含a的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长A3到点F,使BF=AB,连接ED,FE,得到。防（如图4）.若阴影部分的面

积为$3,则邑=（用含。的代数式表示）；

拓展应用：

⑷如图5,点。是一ABC的边3c上任意一点，点E,尸分别是线段AD,CE的中点，且..ABC的面积为8a,

则ABEF的面积为一（用含。的代数式表示），并写出理由.

【答案】（1）。（2）2。（3）6。（4）2°,见解析

【分析】（1）直接根据"等底同高的三角形面积相等"即可得出答案;

（2）连接AD,运用"等底同高的三角形面积相等"得出SAES=2S®c，即可得解;

（3）由（2）结论即可得出$3=SAES+SAMA+SAM。，从而得解;

（4）点E是线段A。的中点，可得SABE=$BDE，S&ACE=^ADCE-SBCE=ABC•点歹是线段CE的中点,

1J=

可」得SBRBFTF-SDBCrF—2SBCE•从而可得答案.

【详解】⑴解：如图2,一延长一ABC的边5。到点。，使CD=5C,

「.AC为△ABD的中线，ACD=SABC即5=a；

（2）如图3,连接AD,

图3

・「延长一ABC的边8C到点。，延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,

SA4m=_S&ECD，SAACD=SAABC，一^AECO=2§AABC=2a,即S?=2a；

（3）由（2）得S.CD=2sMBC=2a,

===

同理：S用FA2sA245c2〃，S里CDS2FD=2〃,..S3=S里CD+SNFFA+S2FD=6〃；

（4）SABEF=2a,理由如下：理由：回点E是线段AD的中点,

0SABE=$BDE，^AACE="^ADCE•回S.BCE3ABC•

El点P是线段CE的中点，®SBEF=SBCF=BCE.BEFABC=^A'

【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并

适当添加辅助线是解答此题的关键.

例6.（2023春・上海・九年级期中）解答下列各题

⑴如图1,已知直线〃2〃力，点A、8在直线“上，点C、P在直线小上，当点P在直线“7上移动时，总有

与一ABC的面积相等.

图2

（2）解答下题.①如图2,在ABC中，已知3C=6,且BC边上的高为5,若过C作CE〃AB,连接AE、

BE,贝匚BAE的面积为.

②如图3,A、3、E三点在同一直线上，BHLAC,垂足为H.若AC=4,8"=后1，NABC=NACB=60。，

NG=NGBF=60°,求△ACT的面积.

⑶如图4,在四边形ABCD中，A3与CD不平行，AB乎CD,且入板＜S9CD，过点A画一条直线平分四

边形ABCD的面积（简单说明理由）.

【答案】⑴.ABP（2）①15；②201⑶图见解析，理由见解析

【分析】（1）根据就/”,可得一ABC和AB尸同底等高，即可求解；

（2）①先求出S^BC=15,再由CE〃AB,可得0ABC和SBAE是同底等高的两个三角形，即可求解；

②先求出SMBC=2721，再由ZABC=ZACB=60°,ZG=NGBF=60°,可得A（^\BF,从而得到SMCF=SMBC,

即可求解；（3）过点8作BEHAC交DC延长线于点E,连接AE,取DE的中点R作直线AF则直线AF

即为所求，可得&4BC=S^AEC，从而得到S四边形ABCO=S/VICD+^AABC=*^AACD+^AEC=^AAED，即可求解.

【详解】（1）解：Blm//n,回.ABC和ABP同底等高，贝|ABC与4BP的面积相等；

（2）解：①133c=6,且BC边上的高为5,125^=1x6x5=15,

SICE//AB,回0ABe和ELBAE是同底等高的两个三角形，=15;

（2）0BH±AC,AC=4,BH=而,回S枷c=；x4x星=24，

0ZABC=ZACB=60°,NG=NGBF=60°,

0ZABC=ZACB=ABAC=60°,NG=Z.GBF=ZBFG=60°,

00EBG=12O°,00£BF=6O°,00£BF=0BAC,0AO3BF,0SA4rF=SA.Br=2721；

(3)解：如图，过点8作B£I3AC交。C延长线于点E,连接AE,取。E的中点E作直线AF则直线

A尸即为所求，理由如下：

0BE0AC,EBABC和0AEC的公共边AC上的高也相等,

团SMBC=S/^EC，回S四边形ABC。=^^ACD+^\ARC=/\ACD+\AEC=^\AED，

团S四边形ABC尸=S/^ADF=5%E0=3S四边形>回5AAe0>SMBC>

团所以面积等分线必与8相交，取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.

【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题

的关键.

模型2.蝴蝶(风筝)模型

蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系

如图1,结论：①H：邑=SjS3或51/53=邑*邑；②AO：OC=(S1+Sj:(S4+S3)。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系

如图2,结论：①&:$3=/：匕2；②S]:S3:S2:=/；③梯形S的对应份数为(a+b『。

例1.在四边形A8CD中，AC和互相垂直并相交于。点，四个小三角形的面积如图所示.则阴影部分

三角形BCO的面积为

【答案】45

【详解】设阴影部分面积为X。

根据蝴蝶（风筝）定理：SAOB:SB℃=SAOD：SCOD

即：20：x=16：36解得：x=45

估阴影部分的面积为45.

例2、如图，SAACB=24平方厘米，SAACD=16平方厘米，S&ABZ>=25平方厘米，则SACOB为平方厘米。

【答案】9平方厘米

【解析】在四边形A8CO中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO=S“ACD：SAACB=16：24=2：3,

33

则SAAOB=5SAABD=5x25=15（平方厘米），则SACOB=SAACB—SAAOB=24—15=9（平方厘米）

例3、如下图，梯形ABCD的平行于CD,对角线AC,助交于。，已知"OB与ABOC的面积分别

为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.

【答案】144平方厘米

【解析】根据梯形蝴蝶定理，S.AOB:SBOC=〃：仍=25：35,可得。:》=5:7,

2222

再根据梯形蝴蝶定理，SAOB-.SDOC=a:b=5:l=25-.49,所以S=49（平方厘米）.

那么梯形ABCD的面积为25+35+35+49=144（平方厘米）.

例4、如图，梯形ABCD中，MOB,ACOD的面积分别为1.2和2.7,则梯形ABCD的面积为

【答案】7.5

22

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SA0B-.SACOD=a-.b=4-.9,所以a:A=2:3,

23

SS

.AOD-AOB=ab:a=b:a=3:2,SAOD=SC0B=1.2x-=1.8,

S梯形ABCD=L2+L8+1.8+2.7=7.5.

例5、梯形ABC。中，对角线AC,2。交于点O,AB垂直AC,并且已知AO=6厘米，8。=10厘米，则三

角形DOC的面积是平方厘米。

【答案】24平方厘米

【解析】在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：SADOC=SAAOB

在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2=OB2—OA2=102—62=64=82,所以AB=8

所以SADOC=SAAOB=6x8+2=24（平方厘米）

例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积己经标出，则中间的四边形GQHS的面积为

【答案】17

【解析】如下图，连接EF、GH和IJ

在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：SAABP=SAEPF=6,

在平行四边形EFGH中，SAEQF=SAGQH=13—6=7；

在平行四边形IDCJ中，SADCT=SAIJT=5,

在平行四边形GIJH中，SAGSH=SAISJ=15—5=10,

所以S四边彩GQHS=SAGQH+SAISJ=7+10=17

模型3.燕尾（定理）模型

条件：如图，在八45。中，E分别是3c上的点，G在AE上一点，结论：Si:S2=S3：S4=S1+S3:S2+S4=BE

:EC。

例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM,8N相交于点O,已知△8。/的面

积为2,则四边形MCNO的面积为_________。

A

MC

【答案】8

【解析】如图，连接0C

BMC

由“燕尾定理”可得：S一皿=J_,S.AOB=则=J_

SA℃CM2SBOCCN2

所以可得2sA0B=SA0C=SB0C=3sB0M=6

所以SN℃=|SAOC=4,所以四边形MCN。的面积为8.

例2.（2023・山东•八年级专题练习）如图，在回ABC中，己知点P、Q分别在边AC、BC±,BP与AQ相交

于点0,若I3B0Q、0ABO,I3AP。的面积分别为1、2、3,则EIPQC的面积为（）

A

BA0C

A.22B.22.5C.23D.23.5

【答案】B

【分析】连接CO,根据回BOQ、0ABO.国APO的面积分别为1、2、3,求出SAPOQ=1.5,设SAOPC=X,SACOQ=Y，

仍然利用回BOQ、回ABO、回APO的面积分别为1、2、3,列出关于x、y的方程组，解得x、y的值，然后利用

SAQPC=SAOPC+SACOQ-SAPOQ即可求出答案.

【详解】连接CO,

配1BOQ、团ABO、团APO的面积分别为1、2、3,

22

回「0SAPOQ=1.5,

SAQOC1SApoQ

3+x2

y1x=15

设SAOPC=X,SACOQ=Y，则<，解得

x3y=9

〔1+y2

SAQPC=SAOPC+SACOQ-SAPOQ=15+9-1.5=22.5.故选B.

【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.

例3.如下图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形Gm的面积是1,则三角形A5C

的面积为_________

【答案】19

【详解】连接BG,SAGC=6份

DC

SS

根据燕尾定理，AGC-fiGC=AF:FB=3:2=6:4,SABCtSAGC=BD.DC=3.2=9:6

得SBGC=4（份），SABG=9（份），则S诙=19（份），因此*"=白,

JABC1”

6SBIC6S「Hi19-6-6-61

同理连接A/、CH得历'所以又7=—19—=19

3ABC

三角形G”/的面积是1,所以三角形ABC的面积是19

例4.（2023江苏淮安九年级月考）已知.ABC的面积是60,请完成下列问题:

⑴如图1,若AD是一ABC的BC边上的中线，则的面积ACD的面积.（填

⑵如图2,若C。、3E分别是一成。的A3、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法，连

=

接A。，由AD=DB得：S杷0=5BDO,同理：CEOAEOf设S△的=犬，S^cE0=y,则SB£）O=X,SAEO=y

一11,\2x+y=30,,

由题思得：S.ABE=彳SA6c=30,S=~^ABC=3°，可列方程组为：■解得_______,则可得

2ADC2[x+2y=30

四边形ADOE的面积为.⑶如图3,AD-.DB=l-3,CE:AE=1:2,则四边形ADOE的面积为

.⑷如图4,D,尸是A3的三等分点，E,G是C4的三等分点，CD与BE交于O,且入树=60,

则四边形ADOE的面积为.

x=10120

【答案】（1）=（2）,20⑶11⑷〒

[y=107

【分析】（]）过点A作AH,3c于点H,根据中线的定义得出3D=CD,再根据三角形的面积公式得出

S.ABD=^BDAH,SACD=^CD-AH,即可得出结论；

（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据S四边/DOE=SA»O+SAE。，即可求解；

（3）连接A。,根据题意得出S：SBDC=SAD0：S即0=1：3,SCEB：SAEB=SCEO：SAEO=1:2,则

1?

SADC=ABC=15,S.6=§5Age=40,设SA。。=加，SCE0=n,则5或）0=3加，SAE0=2n,列出方程

组求解，最后根据S四边形版OE=SADO+SMO即可求解;

(4)连接AO,根据题意得出AZ):矶)=1:2,CE:AE=1:2,用和(3)一样的方法即可求解.

【详解】(1)解：过点A作于点H,

团AD是的3c边上的中线，SBD=CD,

ABD=^BDAH,SACD=^CDAH,^\SABD=SACD,故答案为：=；

2尤+y=30①

(2)解:①x2-②得：3x=30,解得：x=10,

x+2y=30②

把％=10代入①得：2xl0+y=30,解得：y=10,

\x=10\x=10

国原万程组的解为[y=10,^mADOE=SADo+SAEO=X+y=20,故答案为：20；

(3)解：连接AO,回AT>:O5=1:3,CE:AE=l:2f

凶ra°vADC,-°vBDC一°—AvDO'°•vBDO—-1-•3J,0qCEB--°vAEB~—°.sCEO'°AEO-—i­4?,

1122

团ABC的面积是60,回S=~~S.c=60=15,S=~S=彳又60=40,

ADC44AEB3'3

设SA。。=根，SCEO-，则S加0=,SAE0=2n,

4m+2n=40m=9

根+315,解得:,回S四边形加0石=SADO+SAEO=加+2〃=9+2x2=n；故答案为：11；

n=2

(4)解：连接AO,回。,产是A5的三等分点，E,G是C4的三等分点,

回AD：5。=1：2,CE：AE=1：2,团SADC：SBDC=SADO：SBOO=1：2,S,CE5：SAE3=S.CEO：S.AEO=1：2,

1122

回,ABC的面积是60,回S.A。。=耳5ABe=]x60=20,SAEB=—S=-x60=40,

设SADO=4，S理。=人,则S=2〃,SAEO=2b,

4

-8一0

7

3a+2b=40

,解得:回S四边形ADOE—S4）。+SAEO=“+26=亍+2乂万=丁；故答案为：V-

QT

+3Z?=2020一

P-7

【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比.

模型4.鸟头定理（共角定理）模型

共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在八45。中，£>,E分别是AB,AC上的点（如图1）或。在的延长线上，E在AC上（如图2）,则

S&ABC:SAADE=（ABxAC）:（ADxAE）

例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB4C上得点，且ADAB=2:5,AE：AC=4：7,三角形ADE的

面积是16平方厘米，则ABC的面积为。

【答案】70平方厘米

【解析】①观察：图中存在鸟头模型，假设：设三角形ABC的面积为。

转化：由鸟头模型比例关系有：16：a=（4x2）：（5x7）,得a=70。

即三角形ABC的面积是70平方厘米。

例2.（2023•山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等

于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比，

S4万斤AZ）,A.E

例：在图1中，点。，E分别在A3和AC上，"DE和AABC是共角三角形，则厂叫”“

dARrAn,AC

证明：分别过点。作片的45于点G,CFM3于点尸，得到图2,

EGAE

^\AGE=^\AFC,又瓯A二胤4,团团GAE0团例。，团——=——

CFAC

ADEG

S^ADE.\'.S^EAD.EGADAESAADE_ADAE

SMBCX.(jp^AABCAB.CFABACSAABCABAC

2

任务：（1）如图3,已知团BAC+tMM氏180°,请你参照材料的证明方法，求证:

（2）在（1）的条件下，若壮况=：,与=：,AB=9,贝|JA£=______.

6AC4

【答案】（1）见解析；（2）6

【分析】（］）过点C作CG3AB于G,过点E作EF^\DA交DA延长线于F,可得aE/^=^CG4=90。，再由

EFCG

ELBAC+EID4E=180°,0D/1E+0EAF=18OO,推出回CAG=I3£AF,即可证明EICAGEBEA尸，得至[]—=—,再由

AEAC

q-DAEF

SAP£C=^AB'DAEF_DAAE

S^DAE=^DA-EF,CG,得到J学还二-------

ABCG~

-ABCGABAC

2

DAAE_1AD1Ap7

（2）根据就卞可得由此求解即可•

‘△ABCABAC~6IF"

【详解】解：（1）如图所示，过点C作。的48于G,过点后作理D4交D4延长线于产,

mEFA=^\CGA=90°,^\BAC+^DAE=180°,血4E+E1E4尸=180°,

EFCG

团团CAG二回E4/，^ICAG^IEAF,回一二一，

AEAC

3…藉△丽_±2D3A•〃FFDAEFDAAE

2S^ABCLAB.CGABCGAB-AC

2

C

B

图3

,、SADAE_DA-AE_]AD1AE2

2)!=0=

S^ABC~AB-AC~6AC4'AB3'

2

EIAB=9I3AE=§A8=6故答案为：6.

【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形.

例3.(2023•重庆•九年级专题练习)问题提出：如图1,。、E分别在的边46、AC上，连接。E,已

知线段DB=b,AE=c,EC=d,则S/AOE,S/ABC和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

问题解决：探究一：(1)看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若。况BC,

贝!|&4£)石=加，且0A=0A,所以0AO£H3A2C,可得比例式：=—^而根据相似三角形面积之比等于相

a+bc+d

Sa2

似比的平方.可得根据上述这两个式子，可以推出：

3ABC[a+b)

2

SADE_a_aa_ac_ac

SABC(a+b)2a+ba+ba+bc+d(a+Z?)(c+d)，

(2)如图3,若她。£=团。，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由.

Sac

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：,八?方法回顾：

两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以

S-BDAH加

解决.如图4,。在0ABe的边上，做AH0BC于H,可得：=j-------.借用这个结论，请你

Me-DCAH0。

2

解决最初的问题.

延伸探究：（1）如图5,。、E分别在的边A8、AC反向延长线上，连接。E,已知线段AO=a,AB

s

=b,AE=c,AC=d,则1些=.（2）如图6,E在S48C的边AC上，。在AB反向延长线上，连

s

接DE,已知线段AD=〃，AB=b,AE=c,AC=d,^'ADE=_____.

3ABC

结论应用：如图7,在平行四边形ABC。中，G是BC边上的中点，延长GA到E,连接DE交A4的延长线

于尸,若AB=5,AG=4,AE=2,ELABCZ）的面积为30,则0AEP的面积是.

【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）冬；（2）9；结论应用：（

baba2

【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；

探究二，过。、B点分别作加/_LAC,BN,AC,垂足分别为M、N,然后按照探究一中方法证明即可；

延伸探究：（1）过。、8点分别作DM，AC,BN,AC,垂足分别为M、N,然后按照探究一中方法证明即可；

（2）过。、2点分别作DMLACBNUC,垂足分别为M、N,然后按照探究一中方法证明即可；

结论应用：取AO的中点连接GM并延长交。E于点N,连接。G,可得SA°G=15,根据题意，进而得

出S，根据AM=DMM7V〃AF,可得尸N=£W,根据AE=2,AG=4,GN//AF,可得FN=2EF,进而可

13

得ED=5EFf即可得出SAEF=-Sa石=5.

【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：团财。石=团。，妫=胤4,

n「SAnr〃ClCCIC

团ADE^.ACS,0--=-4-,团=7------=—j*—T=7;

c+da+bS（c+d）c+dct+b（a+b）（c+d）

探究二：过。、3点分别作DMJ_AC,3NJ_AC,垂足分别为M、N,

N

BC

a

^\DMA.AQBN.LAC,^\DM//BN^—=—

fABBNa+b'

-AExDM

°ADEAEDMcaac

=2________-----x--------------x--------

q〃

°ABC-ACxBNACBNc+da+b(+/?)(c+d)

2

延伸探究：(1)过。、6点分别作DM_LAC,BN_LAC,垂足分别为M、N,

ADDMa

团DMJ_AC,BN_LAC,DMIIBN团—=-----=—

7ABBNb'

-AExDM

uADE2A——E___DxM____c—__ax_a~c___

q1-ACBN~db~bd

3ABe-ACXBN

2

(2)过。、8点分别作。W，AC,AC,垂足分别为M、N,

SDM±AC,BN±AC,SDM//BN,S—=—=~,

ABBNb

-AExDM

ADEAEDMcaac

u=2_________-----x-------—_x_—____

qACBNr

uABC-ACxBNdbbd

2

结论应用：取AD的中点M,连接GM并延长交。E于点N,连接OG,

^\AM=DM,SAPG=]S平行四边形Age。=15,^\AE=2,AG=4,0S=~^ADG=>

EFAE1

^AM=DM,MNAF沁FN=DN,^AE=2,AG=4,GN//AF=-=FN=2EF,

13

^\ED=5EF,团SAEF=gSQE=~.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性

质是解题的关键.

模型5.金字塔与沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

条件：①处=些=匹2

—；@S:S由c=AF:AG\

ABACBCAGAADEAAI

例L（2023秋•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习）如图，已知点。、E分别是AB、AC边上的点，且

AADE^AABC,面积比为1：9,AG_L3c交DE于点?则AR:AG=（）

A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1

【答案】A

【分析】根据相似三角形的性质可得DE〃台C,AFLDE,再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似

比即可求解.

【详解】解：EADEsABC,/54C是公共角，B1ZADE=ZB,SDE//BC,

SAG1.BC,0AF1DE,0ADE^,ADC,面积比为1：9回相似比为1：3,0AF:AG=1:3,故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确"相似三角形的对应边上高的比等于相似比"，灵活运用是关键.

例2.（2023•福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图，，MC中，DE//BC,防与相交于点尸.如果

DF.FC=1:3,那么SAOE：SABC等于（）

A

DL-

T

B'C

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

【答案】A

DFDF1

【分析】根据。E〃3C,。F：尸C=l:3得到芸=夕=：,AADE^AABC,结合面积比等于相似比平

BCCF3

方即可得到答案；

r）pr）pi

【详解】解：SDE//BC,DF:FC=1:3,0——=——=一，/\ADE^/\ABC,

BCCF3

^ADE'ABC=（1：3）2=1：9,故选：A.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等

于相似比的平方.

例3.（2023•江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与BO相交

【答案】C

【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和C。的长，再根据BE

得到AO3sCOD,然后利用相似三角形的性质来求解.

【详解】解：如下图，

设小方格的边长为1,机.ABE、.Ob分别是边长为1和2的等腰直角三角形,

ZABE=ZCDF=45°,AB=\[1,CD=242.

0BE〃DF,aNEBO=NFDO,^\ZABO=ZCDO.

又回ZAOB=NCOD,^tABO^CDO,=[—|,回岑=-.故选：C.

S.CDOvCDJS.coo（2J2J4

【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比.

例4.（2023春•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，ABC是等边三角形，被一矩形所截，A3被截成

三等分，EH//BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形BCG尸的面积为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】由题意易得团〃尸G〃8C,则有△的^△AFGs4LBC,然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：由题意可知：EH//FG//BC,EAAEH^AAFG^AABC,

门4£1AF2Q版(

SAE^EF^BF,1S即

4'S”c

AF2AB3SAFG【AF)

4

回阴影部分的面积是6,团S."G=]S四边形EFGH=8.

-

回SMC=]8,0S四边形BCGF=SABCSAFG=10；故选c.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

例5.（2023•辽宁,九年级校考期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点尸处与地面班的距离为1.6

米,车头FACD可近似看成一个矩形，且满3ED=2E4,盲区£B的长度是6米，车宽E4的长度为米.

7

【分析】过点P作PWLBE,垂足为Af,交AF于点N,根据题意，设旗=》米，由3阳=2而得，FD=-x=MN,

4

证明△MFSAPBE,得出尸N=^X,根据尸N+MN=PM列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：如图，过点尸作尸MLBE,垂足为M,交A