2024年浙江温州高三三模高考数学试卷（含答案详解）

温州市普通高中2024届高三第三次适应性考

试数学试题卷

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答

题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在

试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定

区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.

选择题部分(共58分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.在ABC中，三个内角A氏C成等差数列，则sin(A+C)=()

A.1B.受C.BD.1

2.平面向量4=(〃7,2),。=(-2,4),若°〃(“-6),则()

A.-1B.1C.-2D.2

3.设A,B为同一试验中的两个随机事件，贝1]“尸(4)+尸(3)=1”是“事件4,8互为对立事件”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

4.已知〃zeN*,(1+尤广和(l+x)2"-i的展开式中二项式系数的最大值分别为。和"则()

A.a<bB.a=b

C.a>bD.“力的大小关系与加有关

5.已知sin[p+苧]

=一~—,则sin(a-20cosa-cos(2/7—a)sina=()

24n24c3「3

A.-----B.—C.■一D.—

252555

।尤2+3光〉0

6.6知函数/(%)=*2「’.o,则关于x方程/（x）=依+2的根个数不可能是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

22

7.已知片，鸟是椭圆C:=+工=l（a>b>0）的左右焦点，C上两点A,3满足：AF2=2F,B,

ab

4

cosZAFlB=~,则椭圆C的离心率是（）

A.-B.—C.-D.—

4433

S/\56

8.数列｛4｝的前〃项和为S“,a“+i=」4"eN"）,则£的厂可以是（）

anz=lz=l

A.18B.12C.9D.6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知空间两条异面直线6所成的角等于60。，过点P与6所成的角均为。的直线有且

只有一条，则，的值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

10.己知4*2是关于尤的方程x2+px+q=0（p,qeR）的两个根，其中Z]=l+i,贝！|（）

A.z（=z2B.z；=z；C.p=—2D.q=2

11.已知函数4x）=sin（8+"）（0>O）,xe的值域是可，则下列命题正确的是（）

JT7

A.若6-。=2,夕=:，则。不存在最大值B.若b-a=2,（p=j则。的最小值是:

O63

C.若b-a=6,则。的最小值是gD.若b-a==3,则。的最小值是4:

23

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12.设随机变量占服从正态分布N（2,l）,若PC>“+l）=P（J<a）,贝心=.

13.定义在（0,+"）上的函数“X）满足：/（xy）=/（x）+/（y）-l,/（4）=2,则

试卷第2页，共4页

-----------

14.过抛物线y2=2px(O＜0＜2)焦点厂的直线/交抛物线于A3两点，点M(LO),沿x轴

将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥A-RWB体积最大时，P=.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算

步骤.

15.由四棱柱ABCD-ABCP截去三棱锥A-AQG后得到如图所示的几何体，四边形

ABCD是菱形，AC=4,80=2,0为AC与8。的交点，⑸。，平面ABCD.

(2)若BQ=2右,求平面\DC,与平面BCG用夹角的大小.

16.设函数/(%)=m1》-二X3的导函数为g(x).

⑴求函数g(x)的单调区间和极值；

(2)证明：函数/(x)存在唯一的极大值点与,且不＞].

(参考数据：1112=0.6931)

17.已知直线/：7=履+/与双曲线。:]-尸=1相切于点。.

⑴试在集合＜：,勺,手,1＞中选择一个数作为上的值，使得相应的，的值存在，并求出相应

的」的值;

⑵过点。与/垂直的直线/'分别交x，y轴于A,s两点，尸是线段A3的中点，求点P的轨迹方

程.

18.现有“张形状相同的卡片，上而分别写有数字m+l,，”+2,,m+M(meN,«eN,),将这

”张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机

抽取4次.

⑴若〃=8,求抽到的4个数字互不相同的概率；

（2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义E（X］为随机变量X的左阶矩,

其中1阶矩就是X的期望E（X）,利用上阶矩进行估计的方法称为矩估计.

（i）记每次抽到的数字为随机变量X,计算随机变量X的1阶矩矶X）和2阶矩E（X2）；

（参考公式：『+2?++“2=++1）（2〃+1））

6

（ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3,8,9,12,试利用这组样本并结合（i）

中的结果来计算〃的估计值”.（n的计算结果通过四舍五入取整数）

19.对于给定的一个〃位自然数x=a。4（其中。产{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},，=1,2,»）,

称集合加工为自然数x的子列集合，定义如下：M，=他瓦以同6且

i1<i2<-<im^n,使得“=牝（4=1,2,m）},比如：当彳=丽时，=^0,1,00,01,001}.

（1）当尤=丽立时，写出集合“工；

（2）有限集合A的元素个数称为集合A的基数，一般用符号网来表示.

（i）已知x=00111,y=11100,z=10101,试比较|见,以|,“|大小关系；

（ii）记函数r（x）=a；Za'n（其中（《,不，”）为（q,%…，％）这”个数的一种顺序变换），

并将能使|上（/取到最小值的7（x）记为，（x）.当x=202420242024时，求|我（/的最小值，

并写出所有满足条件的C*（尤）.

试卷第4页，共4页

1.c

【分析】由条件可知A+C=28,结合A+B+CMTT求得A+C,从而代入得解.

【详解】因为AB,C成等差数列，所以A+C=23；

又A+8+C=兀，所以38=兀，即8=巴，所以A+C=2B=@,

33

所以sin（A+C）=sing7i=1.

故选：C.

2.A

【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.

【详解】a-b=（m+2,-2）,由于所以-2〃工=2（〃z+2）,解得根=-1,

故选：A

3.B

【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分

的.

【详解】若AB互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到尸（A）+P（3）=l,故条件

是必要的；

若试验基本事件含3种及以上，其中4,8表示概率为g的两个不同事件，

则A,3不互为对立事件，此时P（A）+P（B）=g+：=l,故条件不是充分的.

故选：B.

4.A

【分析】根据二项式系数的性质知〃=C黑，〃=C黑+一再用组合数的定义验证〃〈人

【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项.

（2m+1）!2m+1（2m）!2m+1

所以6=―今=-r•一;=一从而。〈江

m+1m\m\m+1

故选：A.

5.B

答案第1页，共13页

194

【分析】先由两角和正弦和已知条件解得sin£+cos£=y,进而得sin2B=-=,再利用两

角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.

【详解】因为sin[/7+，)=-需，故由两角和正弦公式得sin/+cos〃=[,

124

1+2sinPcosP=1+sin2p=—,BPsin2p=,

^sin(6Z-2/7)cos6Z-cos(2/7-cr)sinct:=sin(6Z-2/7)coscr-cos(cr-2/7)sincif

24

=sin(iz-2y0-cr)=-sin(2p)=—.

故选：B.

6.C

【分析】将原问题转化为直线，="+2与函数＞=/(x)的图象交点的个数，作出y=/(%)的

图象，分，〉0、〃=0、。＜0三种情况，结合图象求解即可.

【详解】作出函数＞的图象，如图所示：

将原问题转化为直线、=依+2(过定点(0,2))与函数y=/(x)的图象交点的个数,

由图可知，当。=0时，直线y=2与函数y=/(尤)的图象只有一个交点；

当a＜0时，直线丫=依+2与函数y=/(x)的图象没有交点；

当。＞0时，直线丫=依+2与函数y=/(x)的图象有三个交点；

所以直线尸办+2与函数y=/(x)的图象不可能有两个交点.

故选：C.

7.D

【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.

【详解】由祠=2工以可知|4闾=2,0,设归Q=X,则从川=2%

|AZ\|=2a-2元,忸£卜2a-x,\AB\=3x,

答案第2页，共13页

贝1|由余弦定理可得（3尤）2=（2a-2尤）2+（2。一一2（2。一2x）（2"x）Xg

化简可得2a之—3依—9%2=0=＞（〃-3x）（2〃+3x）=0,故Q=3X,2a=—3%（舍去）,

又cosZAF2F1+cosABF2FX=0,

所以（2龙）2+402-（2a-2x）2+尤2+3一0人才=0,化简可得

2•2%•2c2-x-2c

3c2+4ax-3a2=03c2+4a--3A2=09c2=5a2,故3c=6ne=",

33

【分析】易通过。同=5.-邑，可得为+2-%=1，也可求得。2=1，但此数列存在不确定的

首项，所以在求和后发现结果为-6%,与选项中的四个数进行对比分析，发现％一定不能为

负整数，所以只能选C.

【详解】由。用=&(〃eN*)可得：5“=%”,且0产0,

an

S｝I

由上式又有：«2=-=1,

4

还有'+1=an+2■%,两式相减得：fl„+1=an+2-a用-an+1-an,

两边同时除以4+i(”〃+iHO)得：""+2——1'

由上式可知数列｛4｝的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差为1,

56

a

所以2i-\=(〃2+。4+〃6+。8+〃10)—(〃1+/+“5+%+〃9+011)

i=lz=l

由此数列的奇数项公式为0鹏=4+5-1),又由为N0,

所以可以判断可一定不能为负整数，即只能有-6q=9,

答案第3页，共13页

故选：c.

9.AD

TTTTJTTT

【分析】过点尸作，〃。*'/",求得直线/与所成角的范围为或。e

_o2J32

结合选项，即可求解.

【详解】过点尸作，〃"力

冗冗ITTT

从两对角的角平分线开始，直线/与必加所成角的范围为。e或。e,

o2J|_32_

而均为e的直线有且仅有一条，根据对称性，可得，=30或6=90.

故选：AD.

10.ACD

【分析】根据虚根成对原理得到Z=l-i,即可判断A,再根据复数代数形式的乘法运算判

断B,利用韦达定理判断C、D.

【详解】因为z”Z2是关于x的方程/+px+q=0(°,qeR)的两个根且4=1+i,

所以Z2=l-i,即Z]=[,故A正确；

z；=(l+i/=2i,z^=(l-i)2=-2i,所以故B错误；

因为Z]+Z?=(l+i)+(l-i)=2=-p,所以p=-2,故C正确；

又4Z2=(l+i)(l-i)=F一i2=2=q,故D正确.

故选：ACD

11.ABC

【分析】由已知结合正弦函数的最值取得条件，周期性及单调性检验各选项即可判断.

ITTT7T

【详解】当》一。=2,时，a=-l,b=l,/(x)=sin(6yx+-),当①足够大时，[不兀]包含

662

完整周期，故A正确;

答案第4页，共13页

—+-<2far--

262

为使。更小，g,兀］只包含一个最大、最小值点，所以，,解得

兀、兀

TICOH----N2K71H-----

62

12

2k+—<a)<4k—,k£Z,

33

7

所以k=1时，8",验证成立，故B正确;

71"(兀)=_且叵

C项：若b—a=6,当。取最小值时，周期最大，且/<一5万>,故

汽07书，故故C正确;

项：若-。=^|，。取最小值时，周期最大，71"㈤

D6,当

771iTT2兀\3兀..,

此时D错误.

2

故选：ABC.

12-1

【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.

【详解】因为JN(2,l)^P(^>a+l)=P^<a),

,,3

所以〃+1+Q=2X2,解得〃=—.

2

3

故答案为：—

13.-##0.5

2

a1

【分析】依次赋值x=y=2,得〃2)=半赋值x=2,y=l,得〃1)=1；最后赋值x=l,y=；

即可求解.

【详解】由题赋值％=丁=2,得〃2x2)=/(2)+/(2)—l,

3

所以由"4)=2,得62)=；；

赋值x=2,y=l,得〃2xl)=〃2)+/⑴—1,所以"1)=1；

赋值x=2,y=g,得“21

X—=/(2)+/Tn/

2II

故答案为：y

答案第5页，共13页

41

14.-##1-

33

【分析】设直线AB的方程为彳=殁+葭，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三棱锥

的体积公式求解.

【详解】由于直线过焦点且与抛物线交于两个不同的点，故设其方程为

P

x=myH——,

2

联立方程「一冲+，，消去X得，y2-2pmy-P2=0,

y=2Px

所以力•%=-02，

所以

22

^A-FMB=\-SBFM-\yA\=^x^\MF\-\-yB\-\yA\=^\MF\-\-yB\-\yA\=^P(l-^]=^-p^-2p')<p+p+(42p

jjZoozy243

4,、

当p=4-2p,即p=§时，三棱锥A-RWB体积最大.

4

故答案为：—.

15.（1）证明见解析

【分析】（1）取4G中点a，连接用Q，。。，由已知条件证明出4。〃。9，即可得证用。//

平面AQG.

（2）先求平面与平面BCC4的法向量7"=国％，4）和”=（々,%/2），再由

m-n

COS7"，〃=口嗣，结合二面角夹角范围和图形即可求解.

【详解】（1）如图，取AC中点a，连接oox,

则由题意4B//你//。。且片2=M=。。1,故四边形B.BOQ是平行四边形，

所以BQHBO且B。=BO,故BQJ/OD且用孰=。。，

答案第6页，共13页

所以四边形4ao。是平行四边形，故用O//OQ,

又耳。＜2平面AOC],QOu平面A。G，

所以用。//平面AQG.

（2）由题意可知AC,B3O4两两垂直，

故可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则由题意4（0,-2,O）,E＞（1,O,O）,C（O,2,O）,B（-1,0,0）,Bx（0,0,2月），

又用=/=明=（1,0,2月），

所以OG=OC+CG=OC+B4=（0,2,0）+（1,0,2A/3）=（1,2,2A/3）,

OAl=OA+AA,=OA+BB,=（0,-2,0）+（1,0,2道）=（1,-2,2@,

即A（1,-2,2⑹,G（1,2,2⑹，

所以4G=（1,2,0）,CG=（l，0,26）,DA=（0,-2,2^）,DG=（0,2,273）,

设平面AQG的一个法向量为根=（%,4zj,

m_LBCm•BG=玉+2y=0

则,所以＜1

m-CC=玉+2V=0

m±CCXX

取%=2石，则讥=（2百，-石1）,

n_LDO】

设平面3CG4的一个法向量为〃=（兀2，%*2），贝卜

n_LDA{

=2A/3Z

Un-D-O2,%+92=居04取/j则”（z1，。，。x），

所以

答案第7页，共13页

_mn_2A/3_G

所以cosm,n=।J।=---二—，

4x12

设平面4。。]与平面BCC[B]夹角为e,则cosg=|cosm,«|=,

TT

所以平面AQG与平面BCQBI夹角的大小为e=y.

16.(l)g(x)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，极大值g(l)=；,无极小值.

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数求函数g(x)的单调区间和极值；

(2)利用导数求函数〃x)的极大值点及，由单调性证明

【详解】(1)函数〃x)=xhu=，x3,定义域为(0,+“)，

6

111—/

g(x)=/'(x)Tnx+1_w尤2,g，(x)=—x=----(x>0),

乙XX

g'(x)>0解得0cx<1,g'(x)<0解得x>l,

所以g(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故极大值为g(l)=lnl+l—；=；,无极小值.

(2)由(1)可知，-⑴=g6=；>0且/[]=一』<。，广仁)=7<0,

所以根据零点定理，居eg」]使/&)=0,叫e(l,e)使尸(%)=。，

即工«0,%)5々，+8)时，/'(x)<0，f(x)为减函数；

xe(玉,巧)时,f'(x)>0,/(x)为增函数,

所以/(%)存在唯一极大值点巧，即%)=豆e(Le),

又因为/(m)=ln|+l(I

=ln3-ln2+l--=ln3-|ln2+-«ln3-0.8181>0=^(x)

8180,

所以即x°>T，得证！

17.(1)当左=正时，f=0；当左=更时，f=土无；当％=1时，t=±l.

222

答案第8页，共13页

2/9

⑵XXw±---.

竹84

【分析】（1）直线方程和双曲线方程联立，由△=（）求得左与r的函数关系，再由左的值求出

相应的,的值;

（2）设Q（机,〃），利用导数求直线/的斜率，得直线/'的斜率和方程，求出A,8两点的坐标,

表示出分点尸的坐标，由。（"，,"）在双曲线上，得点P的轨迹方程.

【详解】（1）由〈万一）'T,消去y得（2二一1）/+4依+2产+2=0,

y=kx+t

由公=-16左2+85+8=0,得2/=产+1,当A=1•时，/不存在；

当％=也时，fwO；当左=中时，t=+--,当左=1时，t=±l.

222

（2）设QOM,则〃w0,根2=2/+2,

对。求导可得＞2y.y=0,则了=5，

有冗,=一@=一型,所以=

xmm

令y=0,得x=],所以«|九0；令x=0,得，=3〃，所以8（0,3"）,

f33133

所以尸即％=]〃?，匕＞=7”，

则〃?=丸,〃=久，所以那%=。；+2,得考=?+，,八。,

5Jyy2o

即尸的轨迹方程是土芈.

2o4

以⑴黑

(2)(i)E(X)=M+；(〃+1),E(X2)=zw2+m(n+1)+1(n+1)(2»+1)；(ii)H

答案第9页，共13页

【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算可得;

(2)(i)根据左阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；(ii)首先求出样

本数据的1阶矩及2阶矩，结合(i)的中的结果得到方程组，解得即可.

【详解】⑴依题意可得抽到的4个数字互不相同的概率尸=卜塔;

oooo230

(2)(i)依题意X的可能取值为m+1,m+2,L,根+〃OEN,〃£N*),

且尸(X=m+i^=—(1<z<nSzGN*),

n

所以E(X)」[O+l)+O+2)++(m+n)]

n

=—nm+—n{n+1)=m+—(n+1),

n22

依题意X?的可能取值为(m+1)2,(m+2)2,L,n)2(mGN,neN*)

且P(x2=(m+i)]=：(IV<〃且QN*),

所以E(X?)=匕(租+1)2+(m+2)2+…+(〃z+riy]

n

1r2

=—n・m+2(m+2m++nm)+(l2+22++

nL

121

=—n-m+〃(〃+l)•根+一〃(〃+1)(2〃+1)

n6

71

=m+m(n+1)+—(及+1)(2〃+1)；

6

(ii)依题意样本数据3,8,9,12为期望(平均数)为:(3+8+9+12)=8,

则9,64,81,144为期望(平均数)为:(9+64+81+144)=74.5,

E(X)=++1)=8

所以

(22皿〃+(

EX)=m+1)+g"+1)(2"+1)=74.5

2

消去加得8-1(»+l)8一*+1)

+(〃+l)+-(n+1)(2〃+1)=74.5,

6

整理得/=127,解得〃=加(负值已舍去)，

又1俨=121,122=144,所以”1L

19.(1)MT={0,1,2,00,01,02,12,601,002,012,0012}

⑵(i)\Mz\>\Mx\=\My\;(ii)答案见解析

答案第10页，共13页

【分析】（1）由自然数X的子列集合，即可求解；

（2）⑴由工=而11/=仃面,z=iWL根据子列集合的定义，进行列举，分别求得=

Mb"和M』=i9,即可求解；

（ii）根据题意，得到加强命题转化为⑶L=n*（q+1）T，等号成立的条件是，当X中

相同数字排列在一起的情形，结合数学归纳法，作出证明即可.

【详解】（1）解：由自然数X的子列集合，可得：

自然数x=而无，可得此.={。,1255,所,应,心,丽,而,近,丽直}.

（2）解：（i）由X=00111,y=11100,z=10101,

可得{6,1,55,51,II,丽,5H,TH,丽1,而工丽11},即

MV={L6,n,io,oo,m,HO,IOO,mo,nooo,moo},BP|MJ=H,

MZ={[6,*,桁,所,丽,丽,丽,丽,丽,而,丽,山,15而,而1而,丽1两,丽1},即

|M』=19,所以

（ii）加强命题如下：若由生个数字2构成题中的自然数元（其中qsN,伪一位整数，本

题即为%=3,4=0,%=6,为=2,%=3,&=4的情形），

则所求M.L=口着（《+1）-1,等号成立的条件是，当》中相同数字排列在一起的情形，

证明：①当”=1时，跖⑸，。一，显然成立；

②设当〃=%时，命题成立，即“⑺L=n*（q+i）-i,

当〃=%+1时，相当于在原来字符串的基础上增加了%+i个4+1,

注意到此时w=左时的每一种排列,此时匹配上0到aM个排列，

都能构成〃=左+1时的一种排列，再结合不含有n=%