初中三年数学重难点知识

初中三年数学重难点知识汇总

全等三角形相似三角形

图形

定义能够完全重合的两个三角形全等.对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.

性质对应边相等；对应边成比例，对应角相等；

对应角相等；对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）

所有的对应线段、对应的量都相等的比都等于相似比；

面积比等于相似比的平方

SSS（边边边）；SAS（边角边）；平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形

判定方法与原三角形相似；

ASA（角边角）；AAS（角角边）；三边对应成比例的两个三角形相似；

HL（斜边直角边）两角分别相等的两个三角形相似；

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

形成过程两个图形全等，其中一个图形可以

看作由另一个图形平移、旋转、轴两个图形相似，其中一个图形可以看

对称得到作由另一个图形放大或缩小得到

从全等到相似——放大/缩小的数量关系与位置关系

特殊全等图形・全等三角形■—

聊性质

一般相似图形,相似多边形^―

性质

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

（1）过点。作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形全等的依据.

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

（1）过点。作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形全等的依据.

解：

①过点。作5c的平行线DE,

再过点。作为C的平行线DF.

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

(1)过点。作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形全等的依据.

解：

①过点。作8c的平行线

再过点。作/C的平行线。F.

AADEwADBF.(ASA)

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

(1)过点。作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形全等的依据.

解：

①过点。作5c的平行线DE,

再过点。作为C的平行线DF.

△ADEMADBF.(ASA)

②连接DC

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

(1)过点。作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形全等的依据.

解：

①过点。作8c的平行线

再过点。作/C的平行线。F.

△ADEw^DBF.(ASA)

②连接DC

△DEOACFD.(ASA)

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

(2)过点。作一条直线，是否能得到相似三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形相似的依据.

解：①过点。作8。的平行线。E;过点。作/C的平行线。巳

AADEsXABC,△BDFSABAC.

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

（2）过点。作一条直线，是否能得到相似三角形？请你写出作图方法,

并说出判定两三角形相似的依据.

，，正/，，型“斜4”型

2、判定两个三角形全等和相似的常规思路:

判定两个三角形全等的常规思路判定两个三角形相似的常规思路

1、若有两组角对应相等①夹边对应相等(ASA)

时，则需设法再找：②其中任一组角的对边1、若有平行截线时：则用预备定理

对应相等(AAS)

2、若有两组边对应相①夹角对应相等(SAS)2、若有一组角对应相①另一组角也对应相等

等时，则需设法再找：②第三边也对应相等等时，则需设法再找：②夹等角两边对应成比

(SSS)例

①夹等角的另一边也对

3、若有一边、一角对应应相等(SAS)3、若有两组边对应成①夹角对应相等

相等时，则需设法再找：②另一角也对应相等比例时，则需设法再②第三边也对应成比例

(AAS或ASA)找：

①顶角对应相等

4、在Rt△中，若有一组①斜边对应相等(HL)

4、若有等腰关系时，②其中一组底角对应

直角边对应相等时，则②另一组直角边也对应

则需设法再找：相等

需设法再找：相等(SAS)

③底和腰对应成比例

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

思考：若△Z8C为等腰三角形(非等边)，连接OC,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

例：如图，在锐角△NBC中，。是边的中点，

(3)若△Z5C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:

若△力8C为等腰三角形(非等边)时,

(1)AB=AC■(2)AB=BC■(3)AC=BC

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

(3)若△/8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:(1)当时,图中有△/DC、ABCD、八转。共3个三角形

①△/0C与△Z8C：N/是公共角

只需再寻找一组等角

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

(3)若△Z8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

图中有△/OC、/\BCD'ZUBC共3个三角形

①与△/8C：//是公共角

A只需再寻找一组等角

若NADC=ZB

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

(3)若△/8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:图中有△/DC、ABCD、八转。共3个三角形

①△/0C与△Z8C：N/是公共角

A需再寻找一组等角

若NADC=ZB若NADC=NACB

与外角性质矛盾!

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

(3)若△Z8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:图中有△/OC、/\BCD'ZUBC共3个三角形

①△NDC与△/8C：不相似！N/是公共角

需再寻找一组等角

若乙DC=ZB若NADC=ZACB

与外角性质矛盾！且乙CB=NB

NADC=NB

与外角性质矛盾!

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

(3)若△/8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

(1)当N8=NC时,

②△ZDC与△8C£＞：不相似！如果△4X?与相似:

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

(3)若△Z8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:(1)当时,

②A4DC与dBCD不相似！如果△NOC与△8C。相似:

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

(3)若△/8C为等腰三角形(非等边)，连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:(1)当时,

③4BCD与4BAC相似！N8是公共角

从角的角度号角度添加：

NBDC=NACB；/BC=CD；

2BDC=』B；—=—；

NBCD=/4BC竽

BC=­AB；

2

BC^—AC.

2

例：如图，在锐角△/8C中，。是边的中点，

（3）若△Z8C为等腰三角形（非等边），连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

①△/OC不可能与△/5C相似；

②△仞C不可能与△88相似;

③可以相似：

(添力口N8OC=N/C8或NBCD=NA

，"一—BDBC一后一、

^BC-CD^—=—^BC=—AB^.)

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

（3）若△/8C为等腰三角形（非等边），连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

分析:

分析：与（1）类似，

因为这两种情况都是腰,

点。都是腰月8的中点！

例：如图，在锐角△NBC中，。是边的中点，

（3）若△Z5C为等腰三角形（非等边），连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

与（1）类似

①△8C。不可能与。相似；

②△/DC不可能与△BCD相似;

③AACDs/\ABC：

(添力口N/CD=NB或NADC=NACB

c或。c=/c^»=正等.）

例：如图，在锐角△/BC中，。是边的中点，

（3）若△/5C为等腰三角形（非等边），连接。C,是否有三角形相似?

若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？

若添加一个条件NHC8=90°:

NA=/B=45°

此时丛BCD(SSS)

所以AACDsABCD.

贝I」△4C0s△BCOsAABC.

回顾：A先挖掘题目已知的边、角关系A再根据判定方法找寻条件

判定两个三角形全等的常规思路判定两个三角形相似的常规思路

1、若有两组角对应相等①夹边对应相等(ASA)

时，则需设法再找：②其中任一角的对边对1、若有平行截线时：则用预备定理

应相等(AAS)

①另一组角也对应相等

①夹角对应相等(SAS)

2、若有两组边对应相2、若有一组角对应相②夹等角两边对应成比

②第三边也对应相等

等时，则需设法再找：