2024年山东省淄博市淄川区中考二模数学试题（教师版 ）

初四数学试题

本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并

交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0・5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试

卷规定位置，并核对条形码.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区

域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案.严禁使用涂改液、胶带纸修正带修

改.不允许使用计算器.

4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记.

5.评分以答题卡上的答案为依据,不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一

个是符合题目要求的.

1.如果。的相反数是2024,那么。的值为（）

A.2024B.±2024C.———D.-2024

2024

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出答案.

【详解】解：:。的相反数是2024,

•••”的值为一2024,

故选：D.

2.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1,则N1与N2的大小关系为（）

Z2C.Z1>Z2D.无法比较

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键.将N1平移，让N1与N2两个角的顶

点重合，即可解答.

【详解】解：将N1平移，让N1与N2两个角的顶点重合,

如图:

可得：N1在N2的内部，

所以Nl</2.

故选：A.

3.下列运算错误的是()

A.2a2^4a2=6a2B.(b+3a)(3a-b)=9a2-b2

C.6/^(2X4)=3X4D.(-3X3)2=9X6

【答案】c

【解析】

【分析】此题主要考查了单项式的除法，平方差公式，合并同类项以及积的爽方.分别利用单项式的除法

运算法则，平方差公式，合并同类项以及积的乘方分别分析得出即可.

【详解】解：A、2/+4/=6/,本选项不符合题意；

22

B.(b+3a)(3a-b)=9a-b1本选项不符合题意;

C、61+(2/)=3.3d,本选项符合题意；

D、(-3/)2=91,本选项不符合题意；

故选：C.

x+ni=-4

4.由方程组《,可得出x与y之间的关系是()

y-3=m

A.x+y=lB.x+y=-\C.x+y=7D.x+y=-7

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接把方程组两个方程相加即可得到答案.

【详解】解：把方程组两个方程相加得到x+y+m-3=m-4,

x+y=-\,

故选：B.

5.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，Zl=25°,Z2=30°,则N3的度数为（）

C.70°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解：依题意，Zl+90°=Z3+45°,

•••Z1=25°,

.-.Z3=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

6.在课外活动跳绳时，相同时间内小明跳100次，小亮比小明多跳20次.已知小亮每分钟比小明多跳30

次，则小亮每分钟跳（）

A.150次B.180次C.120次D.130次

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式方程在实际生活中的应用.注意认真审题是前提，找出等量关系是关键.

设小明每分钟跳x次，则小亮每分钟跳（x+30）次，题中有等量关系：相同时间内小明跳100次，小亮比

小明多跳20次，据此可列出方程.

【详解】解：设小明每分钟跳x次，则小亮每分钟跳（x+30）次

根据题意得：-^-=—

x+30x

解得x=150

.-.x+30=180

••・小亮每分钟跳180次.

故选：B.

7.如图，菱形48。的对角线4C、8。相交于点O,过点D作DHL4B于点H,连接OH=2,若菱

形488的面积为12,则48的长为（）

A.10B.4C.V13D.6

【答案】C

【解析】

【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得4c长，再根据勾股定理求得。。长,

即可得到力8.

【详解】解：•♦•£>//_LZ8，

/./BHD=90°,

••・四边形/8CO是菱形，

;.OB=OD,OC=OA=-ACfAC1BD,

2

OH=OB=OD=；BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

/.OD=2,80=4,

由得，

2

-x4JC=12,

2

AC=6,

OC=-AC=3,

2

：.CD=y/OC2+OD2=V13，

:.CD=AB=岳，

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长.

8.如图，分别在正方形48co边48、4。上取E、F点,并以力E、力少的长分别作正方形.已知

DF=3,BE=5.设正方形N8CO的边长为肛阴影部分的面积为V,则y与x满足的函数关系是

D

A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题章表示出力E、//的长度,

再结合阴影部分的面积等于以4E、/歹的长的正方形的面积之差可得16,理解题意，列出函数关

系式是解决问题的关键.

【详解】解：由题意可得：AE=AB-BE=x-5fAF=AD-DF=x-3f

则阴影部分的面积为y=(x-3)2-(x-5)2=x2-6X+9-A:2+10x-25=4x-16,

即：y=4x-16,为一次函数,

故选：A.

9.如图1,在—8C中，动点P从点A出发沿折线48f8。匀速运动至点A后停止，设点P的运

动路程为1,线段4P的长度为V,图2是V与x的函数关系大致图象，其中点F为曲线。E的最低点，

则a/BC的高CG的长是（）

C.2>/3

【答案】A

【解析】

【分析】先分析整个运动过程，进而求出45,BD,8C,再根据勾股定理求出4。，然后根据面积相等

得出答案.

【详解】点尸从点4沿着匀速运动，y随着x的增大而增大，当x=6时，歹最大=6=力8；点尸在

BC上运动时，y随着x的增大而减小，当x=9时，歹最小=/。，BD=3,继续运动，）随着工的增大而

增大，当x=ll时y最大，即48+3C=U,8c=5；当点尸在以上运动时，y随着x的增大而减小，

最后与点A重合.

在RtZ\48O中，AD=>JAB2-BD2=373»

，S4RC=-BC^AD=-x5x3yj3=^~,

Atw<.22c

.c1ip”15/

••S.ABC=-ABCG=^-f

1156

即一xoCCJ=-------，

22

解得CG二亚.

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，勾股定理，求三角形的面积等，从图象中获取信息时解题的关

键.

10.若二次函数歹=QX2+6X+C（Q>0）图象，过不同的六点4（-1,〃）、8（5,〃-1）、。（6,〃+1）、

。（4,必）、七（、反乃）、尸（2,%），则凹、/、外的大小关系是（）

A.必<已<必B.必<%<）2c.y2<yi<y3D.y3<y2<y]

【答案】D

【解析】

【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点8（5,〃-1）,C（6,〃+l）求得抛物线对称轴的范

围，然后根据二次函数性质判定可得.

【详解】解：由二次函数>="2+云+«。>0）可知，抛物线开口向上,

v,3（5,〃一1）、C（6,w+1）,即有〃一+

A点关于对称轴的对称点在5与6之间，

二•对称轴的取值范围为2<x<2.5,

必>为，

•.•点E到对称轴的距离小于2.5—0，点。到对称轴的距离大于4-2.5=1.5,

V3V歹2<必，

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴

和开口方向是解题的关键.

二、填空题：本大题共5小题，满分20分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分.

II.一副三角板中，除直角外最大的锐角是度.

【答案】60

【解析】

【分析】本题考查的是认识三角板的角，解题关键点：熟记三角板各个角的度数，据此即可解决.

【详解】解：一副三角板中的各个角的度数分别是30。、60。、90。、45。、45。、90。，

・•・一剧三角板中，除直角外最大的锐角是60。，

故答案为：60.

7

12.若-]£>与5/V的和是单项式，则（〃+b）2的平方根为.

【答案】±4

【解析】

【分析】本题主要考查了同类项的定义和平方根的定义.这两个单项式的和是单项式，说明它们是同类

项，根据同类项的定义即可求出m6的值，最后代入求平方根即可.

【详解】解：根据同类项的定义题意得：

a=3

\b=l'

所以（Q+b>=（3+l）2=16,

因为16的平方根是±4,

所以g+的平方根是±4,

故答案为：±4.

13.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百

合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下元.

【答案】31

【解析】

【分析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价x数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x,y

的二元一次方程，整理后可得出尸什7,再将其代入5x+3yH0-8x中即可求出结论.

【详解】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，

依题意，得：10=3x+5y-4,

.二尸计7,

；・5x+3>10-8x=5x+3(x+7)+10-8x=31.

故答案为：31.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

14.如图，在"OC中，O4=：3cm,OC=lcm,将“OC绕点。顺时针旋转90。后得到△8。。，则/C

边在旋转过程中所扫过的图形的面积为cm2.

【答案】27r

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的面积相

等”，以及扇形的面积公式是解题的关键.根据题意可知4c边在旋转过程中所扫过的面积是扇形048的

面积减去扇形0co的面积，根据扇形的面积公式进行计算即可.

【详解】解：如图，

由旋转的性质得=S^OBD,0A=OB,OC=OD,NAOB=/COD=90°,

则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形。力3的面积加上5：减去扇形OCD的面积再减去

S&QBD'

即力。边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形。5的面积减去扇形OCQ的面积，

OA=3cm，OC=1cm，

90冗X32907txi2r

...----------------=2兀，

360360

故答案为：27t.

23

15.观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数kT若排在第。行6列，则的

2024

值为.

!

2

2T

]_23

327

_[234

432?

【答案】2023

【解析】

【分析】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性.

观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列，第〃行的分子分母之和是〃+1,据此规律求解即

可.

【详解】观察表得：分数的分子是几，则必在第几列；

23

只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故——在第23歹ij,即6=23；

2024

每一行的分子分母之和保持不变，不难发现第〃行的分子分母之和是〃+1,

23

・•・分数----所在的行数是：23+2024-1=2046,即〃=2046,

2024

...a-6=2046-23=2023,

故答案为：2023.

三、解答题：本大题共8小题，共90分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

16.(1)分解因式：a3-a2-6a：

ab+b21542b

(2)化简:

Sab2a2-b2

【答案】(1)-3)(a+2)；(2)--

a-b

【解析】

【分析】本题考查因式分解，分式的混合运算，熟练掌握并运用分式的性质是解题的关键.

(1)先提公因式再用平方差公式继续分解即可；

(2)先把分子分母因式分解，然后约分化简即可.

【详解】解：(1)〃3一〃2一6〃

=a(a2-a-6j

=44一3)(«+2):

...ab+b1\5a2b

(2)-----——-~

Sab2a1-b71

_b(a+b)15a2b

5ab2(a+b)("b)

3a

a-b

17.如图，在和ACE8中，点A、E、F、。在同一条直线上，有下面四个选项①为O=C5；②

AE=CF；③DF=BE；®DA//BC.

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题.并写出证明过程.

条件为：—(填序号).

结论为：一(填序号).

【答案】①②④；③，证明见解析

【解析】

【分析】条件为：①@④，结论为：③；只需要证明△力产QgZXCEB即可.

【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）

已知：如图，在△/尸。和△CE8中，点A、E、F、。在同一条直线二，AD=CB,AE=CF,

AD/!BC.求证：DF=BE.

证明：:AD//BC,

.\ZJ=ZC,

♦・,AE=CF,

AE+EF=CF+EF,即4/=CE,

・••在△力FZ）和△CE8中，

AD=CB

，4二NC,

AF=CE

.△AFDaCEB（SAS）,

:.DF=BE.

故答案为：①②④；③

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础.

18.汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图，△43C,

△在。分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线尸8与地面8f1的夹角/尸3E=43。，视线尸E与地面

的夹角NPEB=20。，点A,厂分别为P8,尸£与车窗底部的交点，AF//BE,AC,尸Q垂直地面

BE,A点到B点的距离AB=1.6m.

（1）求盲区中DE■的长度；

（2）点”在上。上，A/D=1.8m,在“处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明

理由.

（参考数据：sin43°«0.7,tan43°«0.9,sin20°«0.3,tan20°«0.4）

【答案】（1）2.8米

（2）驾驶员不能观察到物体，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中

考常考题型.

（1）首先证明边形4CQ/为矩形，求出AC,。产即可解决问题;

（2）直接利用解直角三角形的知识即可求得结果.

【小问1详解】

解：在一△RCB中,AC=AB-sinZB=1.6x0.7«1.12（米）.

根据图形，易得四边形ZCD尸为矩形，

所以。产=ZC=1.12米.

八"110

在RtZXOM中，DE=------«—=2.8（米）:

tan/E0.4

所以盲区中OE的长度为2.8米.

【小问2详解】

驾驶员不能观察到该物体.理由如下:

过点、M作MHJ.DE交PE于点H.

・•・EM=\.

在RGEMG中，HM=EM-tanZE«1x0.4=0.4（米）.

因为0.4>0.3,

所以驾驶员不能观察到物体.

19.教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9

小时.为了解学生每天的睡眠时间，学校随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为4B,C,。四组

（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：

4组：睡眠时间V8小时：8组：8小时W睡眠时间V9小时；

C组：9小时W睡眠时间V10小时：。组：睡眠时间R0小时；

如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题:

（2）补全条形统计图;

（3）请估计全校800名学生中睡眠时间不足9小时的人数.

【答案】（1）200；

（2）见解析；（3）320人

【解析】

【分析】（1）根据C等级的信息，样本容量=频数+百分比计算即可.

（2）根据样本容量等于各频数的和,计算出B的频数，后完善统计图即可.

（3）运用样本估计总体的思想即等级频数+样本容量x总体计算即可.

【小问1详解】

本次共调查了90・45%=200（人）

【小问2详解】

8组学生有：200-20-90-30=60（人），

补全的条形统计图如图2所示：

90

80

70

60

50

40【小问3详解】

30

20

10

图2

20+60,,、

800x----------=320（人），

200

答：估计该校学生平均每天睡眠时间不足9h的有320人.

【点睛】本题考查了统计图问题，样本估计总体的思想，熟练掌握统计图的计算要领，会用样本估计总体

的思想是解题的关键.

20.已知关于工的一•元二次方程(x-l)(x-2Q+左(左一1)=0.

(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的两个根$,看是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3,试求人的值.

【答案】(1)见解析；(2)左的值为4.

【解析】

【分析】(1)根据根的判别式判断即可；

(2)根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质讨论即可；

【详解】(1)(x-l)(x-2A:)+^-l)=0,

整理得：x2-(2k+l)x+k2+k=0

,**«=1»b=—(2k+1),c=k?+k,

・••△=y-4QC=(2A+-4x1x(&2+%)=i>o,

・••该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

(2)x2-(2k+\)x+k2+k=Q,

-b±yJb2-4ac2左+1±1

x=-------------------=------------,

2a2

:.x、=k,x2=k+\t

①当x=%为对角线时，公=(2+1)2+3。

解得：k=-5(不符合题意，舍去)，

②当x=A+l为对角线时，(〃+1)2=/+32,

解得：4=4；

综合可得，左的值为4.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键.

21.如图，在四边形48CQ中，AB=AD,AB1AD,顶点力(0,2)、8(1,0),反比例函数

^=§5>0)的图象经过。(4,〃)，。两点.

J,

（1）求反比例函数的解析式；

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（3）线段8。与（2）中所作的垂直平分线分别与3C交于点〃两点.求点历的坐标.

【答案】（1）y=-

x

（53、

（2）见解析（3）“大二

【24）

【解析】

【分析】本题考查作图-基本作图，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

（1）过点。作071。于点T.构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解：

（2）根据要求作出图形；

（3）求出点C的坐标，再利用中点坐标公式求解.

【小问1详解】

vJ{0,2),5(1,0),

.♦OA=2,OB=1,

-ABIAD,DTLOT,

ZDTA=/DAB=NAOB=90°,

•••ND4T+/O4B=90。，ZOAB+ZABO=90°f

：.NDAT=NABO,

AD=AB，

,9“O8（AAS）,

..AT=OB=\,DT=A0=2,

--0T=0A+AT=3,

.•・Q（2,3）,

•.♦反比例函数y=幺，

x

•••左=2x3=6，

二反比例函数解析式为歹=一；

x

【小问2详解】

解：如图，直线脑V即为所求；

【小问3详解】

解：在反比例函数＞的图象上,

x

63

42

VBM=CM,8（1,0）,

22.如图，在△ABC中，AB=AC,N&4C=a,点。是平面内不与点A,。重合的任意一点，连接

CD,将线段QC绕点0顺时针旋转a得到线段OE,连接AD.

（1）观察猜想如图1,当a=60。时，线段8七，力。之间的数量关系，并说明理由；

（2）类比探究如图2.当a=90。时，请写出线段8E,力。之间的数量关系，并仅就图2的情形说明理

由；

(3)拓展应用如图3,当a=120。，AB=2BE=2百,点A,。与8C的中点P三点共线时，请直接

写出名的值.

DP

【答案】(1)BE=AD，理由见解析

(2)BE=y/2AD，理由见解析

⑶军或空

【解析】

【分析】(1)根据题意及旋转的性质得H!A4BC,△OCE均为等边三角形，根据等边三角形的性质，证

明ECEg△CW(SAS),即可得结论；

(2)根据题意及旋转的性质得出△力BC,△QCE均为等腰直角三角形，即可证明利

用相似三角形的性质即可得答案；

(3)分点E在直线3C上方，点E在直线下方，两种情况讨论，连接CE,利用(2)的结论即可得

答案.

【小问1详解】

解：BE=AD.理由如下：

连接CE.

〈a=60。，AB=AC,且由旋转的性质得8=,

：・QBC,△OC£均为等边三角形,

ABC=AC,CE=DC,ZBCA=ZECD=60°,

・•・/BCE=AACD,

：.ABCE^ACAD(SAS),

:.BE=AD；

【小问2详解】

解：BE=42AD.理由如下:

连接CE.

D

•••a=90。，AB=AC,且由旋转的性质得CO=O£,

:,—BC,ZXOCE均为等腰直角三角形.

区=收

ACDC

BCEC

~AC~~DC'

又・・・/8。=/£。。=45。，

：./BC=NACD,

・•・△BCEs△力

BE6,

~AD

­•BE=>f2AD^

【小问3详解】

解：在中，NBAC=120°,AC=AB=2BE=25

:・BE=6，48c=30。.

在RG480中，Z/45C=30°,

同理：2）得△BCES/^4CD,

:・EB=0D，

・•・AD=\,

：­DP=AD+AP=y5+\^

AD_1_V3-1

当点£在直线BC下方时，连接CE.

同理：2)得△BCEs》CD,

:・EB=0D，

・•・AD=\,

,DP=AP-AD=6-1，

.AD_1_V3+1

APV3-12

综上，丝的值为正1或叵L1.

DP22

【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定

与性质及直角三角形的特征，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键.

23.如图，已知抛物线y=af+bx+4(aw0)与工轴交于点4(1,0)和8,与y轴交于点C,对称轴为

5

x=—.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸是线段6。_L的一个动点(不与点氏。重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于

点0，连接O0.当线段尸0长度最大时，判断四边形OCP。的形状并说明理由.

(3)如图2,在(2)的条件下，。是OC的中点，过点。的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2Z0DQ.在y轴上是否存在点E使得△8E尸为等腰三角形？若存在，求点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

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【答窠】(1)y=x2-5x+4；(2)四边形OCP0是平行四边形，理由见详解；(3)(0,—)或(0,

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1)或(0,-1)

【解析】

【分析】(1)设抛物线y=a(x—1)。-4),根据待定系数法，即可求解；

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(2)先求出直线8。的解析式为：尸・x+4,设P(x,-x+4),则。(x,X-5X+4)，(04W4),得到

P0=-(X-2)2+4,从而求出线段尸。长度