江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试《数学》试题（解析版）

第第页江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式即可得出答案.【详解】解：斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式所以故选：D2.已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量运算来判断充分性.【详解】当，且时，，充分性满足；当时，，当，时，是可以大于零的，即当时，可能有，，必要性不满足，故“，且”是“”的充分而不必要条件.故选：A.3.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可.【详解】在等差数列中，，，所以，故构成公差为的等差数列，所以，即.故选：C4.设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案.【详解】，所以且，解得.故选：B5.甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下：甲：乙在丙之前；乙：我在第三；丙：丁不在第二或第四；丁：乙在第四.若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为（）A.第一名 B.第二名 C.第三名 D.第四名【答案】B【解析】【分析】根据四人说法，逐一分析，舍去矛盾，即可确定选项.【详解】若甲说法是错误的，则乙在第三与丁说法（乙在第四）矛盾，所以舍去；若乙说法是错误的，则乙在第四，与甲说法（乙在丙之前）矛盾，所以舍去；若丙说法是错误的，则乙在第三与丁说法（乙在第四）矛盾，所以舍去；若丁说法是错误的，则乙在第三，丁在第一，丙在第四，甲在第二；故选：B【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.6.已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解.【详解】如图所示：因为，，设，则，当时，取得最小值，此时最大，最小，且，故C正确.故选：C7.设全集为定义集合与的运算：且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.【详解】且故选：B【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题.8.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和以及，再进行合理赋值即可.【详解】，设，，则，则在上单调递增，则，则在上恒成立，则，即，设，，则在上恒成立，则，则在上恒成立，令，则，则，设，在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，令，则，则，即，故，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为正整数且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确；对B：，故B错误；对C：，，故，C错误；对D：，故D正确.故选：AD.10.设函数，则（）A.是偶函数 B.在上单调递增C.的最小值为 D.在上有个零点【答案】ABC【解析】【分析】对A：利用奇偶性定义，即可判断；对B：根据复合函数单调性的判断方法，判断即可；对C：令，利用换元法即可求得结果；对D：先求在上的零点，结合其奇偶性即可判断.【详解】对A：的定义域为，又，故为偶函数，A正确；对B：令，显然是关于的单调增函数；此时，其对称轴为，故是关于的单调增函数；根据复合函数单调性可知，在单调递增，故B正确；对C：由A可知，为偶函数，故在上的最小值即为其在上的最小值；令，，则，故的最小值也即的最小值；又，当时，取得最小值为；故的最小值为，C正确；对D：由A可知，为偶函数，故只需先判断在上的零点个数；当，令，即，解得或，故可得，或，有个零点；故在有个零点，D错误.故选：ABC.11.已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆【答案】ABD【解析】【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．【详解】因为是线段的中垂线上的点，，若在圆内部，且不为圆心，则，，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；若在圆外部，则，，所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.【答案】##【解析】分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数.【详解】依题意可得极差为，平均数为，所以，解得，所以中位线为.故答案为：13.围棋起源于中国，至今已有多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是，，.则的通项公式为__________．【答案】.【解析】【分析】根据递推公式，利用累积法，即可求得通项公式.【详解】根据题意，，当时，可得，即；又当时，不满足；故.故答案为：.14.，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．【答案】①.②.【解析】【分析】①由于，求面积的最大值即是求的最大值，利用余弦定理结合重要不等式即可求解②当面面时四面体的体积最大，确定出球心后计算出球的半径即可求解【详解】①因为所以又即所以所以即面积的最大值为②过作，垂足为,则面积的最大时，最大，的最大值为，此时为等腰三角形，为中点，则当平面时,最大，此时面面如图,设为四面体外接球的球心,，分别为，的外接圆的圆心.平面，平面,在中四面体外接球的半径外接球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.（1）求证：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.然后即可根据线面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；（2）取中点为，连结.取中点为，连结.由已知可证平面，.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，即可根据向量法求出答案.【小问1详解】由题意知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面因为平面，所以.【小问2详解】取中点为，连结.取中点为，连结.因为，点是中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为点、分别是、的中点，所以，则.则，.以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，.设是平面的一个法向量，则，取，则，所以是平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为.16.在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．（1）求的概率分布；（2）求的数学期望（保留小数点后两位）．参考数据：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，的所有可能取值为、、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的概率分布列；（2）利用错位相减法可求得的值.【小问1详解】解：将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为、、、、．则，，，，，，所以的概率分布为.【小问2详解】解：的数学期望，①，②①②得，，，因为，所以．17.已知函数，其中．（1）若，证明；（2）讨论的极值点的个数．【答案】（1）证明见解析；（2）有且仅有一个极值点【解析】【分析】（1）根据导函数的正负，判断的单调性，求得最小值，即可证明；（2）求得，构造函数，对参数的取值进行分类讨论，结合零点存在性定理，判断的单调性，即可求得函数极值点个数.【小问1详解】证明：当时，，，，，又易知在上为增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，从而.【小问2详解】由题意知，函数的定义域为，，设，，显然函数在上单调递增，与同号，①当时，，，所以函数在内有一个零点，且，，，，故在单调递减，在单调递增；所以函数在上有且仅有一个极值点；②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点；③当时，，，因为，所以，，又，所以函数在内有一个零点，且，，，，故在单调递减，在单调递增；所以函数在上有且仅有一个极值点；综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．18.已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.（1）求等轴双曲线的方程；（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由椭圆焦点得双曲线的定点，再根据可得解；（2）设，，,,设直线的方程为，直线的方程为，分别与椭圆联立得韦达定理，进而可表示弦长，联立直线和可得焦点，代入双曲线化简得，进而得展开利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由椭圆可得，所以等轴双曲线的顶点为，设等轴双曲线为，所以，所以等轴双曲线的方程为；（2）设，，,,设直线的方程为，直线的方程为，由得：，所以显然成立，所以，同理可得，所以，，联立直线和：，解得，所以，因为在双曲线上，所以，解得，所以，.当且仅当，即时，取得最小值.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键有两个，一个是联立直线和得，代入双曲线得，另一个是处理最值时用到了基本不等式，由，展开利用基本不等式.19.交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为．（1）证明：；（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题干所给交比的定义即可证；（2）把交比转化成面积之比，在利用面积公式把面积之比转化为边之比；（3）把三点共线问题转化为其中一个点在另外两个点所构成的直线上.再利用第（2）问的结论得到两组交比相等，根据逆命题也成立即可证明三点共线.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】设与交于，与交于，与交于，连接，与交于，与交于，与交于，欲证，，三点共线，只需证在直线上．考虑线束，，，，由第（2）问知，再考虑线束，，，，由第（2）问知，从而得到，于是由第（2）问的逆命题知，，，交于一点，即为点，从而过点，故在直线上，，，三点共线．【点睛】思路点睛：本题考查射影几何中交比