2024-2025学年高中数学 第三章 指数运算与指数函数 3 指数函数 3.3.1-2 指数函数的概念 指数函数的图象和性质教案 北师大版必修第一册

2024-2025学年高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数3.3.1-2指数函数的概念指数函数的图象和性质教案北师大版必修第一册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析本节课为人教版高中数学必修一第三章第二节“指数函数的概念指数函数的图象和性质”，内容涵盖了指数函数的定义、性质及其图象。本节课是学生在学习了指数幂的运算、指数函数的定义和性质等知识的基础上进行学习的，对于学生理解和掌握指数函数的知识具有重要意义。

本节课的教学目标有三个：一是使学生理解指数函数的概念，能正确判断一个函数是不是指数函数；二是使学生掌握指数函数的性质，能运用指数函数的性质解决一些简单问题；三是使学生了解指数函数的图象特征，能正确画出一些指数函数的图象。

为达成上述目标，本节课的教学重点是指数函数的概念和性质，教学难点是指数函数的图象特征。在教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，掌握指数函数的知识，提高学生的数学素养。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑推理、数学建模、直观想象和数据分析核心素养。首先，通过学习指数函数的概念和性质，学生能够发展逻辑推理能力，理解并能够运用指数函数的性质解决一些简单问题。其次，通过分析指数函数的图象，学生能够提高数据分析能力，认识和理解指数函数的图象特征。再次，通过探讨指数函数的实际应用，学生能够培养数学建模能力，将指数函数的知识应用到实际问题中。最后，通过观察和绘制指数函数的图象，学生能够提升直观想象力，形成对指数函数图象的直观认识。总之，通过本节课的学习，学生将能够在核心素养方面得到提升，为后续学习打下坚实的基础。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了指数幂的运算、函数的基本概念和性质等知识。这些知识为本节课学习指数函数的概念和性质提供了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：根据对学生的了解，他们对数学具有较强的兴趣，尤其是那些喜欢探索数学规律和解决实际问题的学生。在学习能力方面，大部分学生具备一定的逻辑思维能力和数据分析能力，能够理解和掌握指数函数的相关概念和性质。在学习风格上，学生中有visuallearners、auditorylearners和kinestheticlearners等不同类型，因此在教学过程中需要采用多种教学方法以满足不同学生的需求。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习本节课的过程中，学生可能对指数函数的概念和性质的理解存在困难，尤其是对于指数函数的单调性和特殊点的记忆。此外，学生可能对指数函数图象的特征和绘制方法不够熟悉，导致在实际应用中遇到困难。还有一些学生可能对如何将指数函数应用于实际问题感到困惑，需要通过实例分析和讨论来加深理解。四、教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：针对本节课的教学目标和学生的特点，我将采用多种教学方法进行教学。首先，我会运用讲授法，系统地讲解指数函数的概念和性质，为学生提供清晰的知识结构。其次，我会组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享自己的理解和观点，以促进学生的主动学习和合作交流。此外，我还会运用案例研究法和项目导向学习法，通过分析实际问题和项目实践，引导学生将指数函数的知识应用于解决实际问题，提高学生的数学建模能力。

2.设计具体的教学活动：为了促进学生的参与和互动，我将设计一系列教学活动。首先，我会让学生进行自主学习，阅读教材和相关的学习材料，了解指数函数的概念和性质。然后，我会组织学生进行小组讨论，让他们通过交流和合作，共同探讨指数函数的性质和图象特征。接下来，我会邀请学生进行角色扮演，模拟指数函数的图象变化过程，让学生更直观地理解指数函数的性质。最后，我会组织学生进行实验，让他们通过绘制指数函数的图象，加深对指数函数图象特征的理解。

3.确定教学媒体和资源的使用：为了支持教学活动和提高教学效果，我将充分利用现代教学媒体和资源。首先，我会使用PPT来呈现指数函数的知识点和实例，通过图文并茂的方式，帮助学生理解和记忆。其次，我会利用视频资源，播放一些与指数函数相关的动画和实例，让学生更直观地观察和理解指数函数的图象变化。此外，我还会使用在线工具，如数学软件和在线绘图工具，让学生能够实时绘制和观察指数函数的图象，提高他们的直观想象能力。同时，我还会提供一些练习题和案例分析，让学生在课后进行自主学习和巩固知识。五、教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《指数函数的概念指数函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要用到指数函数的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索指数函数的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解指数函数的基本概念。指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是正常数且不等于1。指数函数在数学和自然科学中有广泛的应用，如在物理学中描述放射性物质的衰变等。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了指数函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调指数函数的单调性和特殊点（如x=0时，f(x)=1）这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与指数函数相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示指数函数的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“指数函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了指数函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对指数函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。六、知识点梳理1.指数函数的定义：形如f(x)=a^x的函数，其中a是正常数且不等于1，称为指数函数。

2.指数函数的性质：

（1）当a>1时，指数函数是增函数；

（2）当0<a<1时，指数函数是减函数；

（3）指数函数的图象过点(0,1)和(1,a)；

（4）指数函数的图象是连续的曲线。

3.指数函数的单调性：

（1）当a>1时，指数函数在定义域内单调递增；

（2）当0<a<1时，指数函数在定义域内单调递减。

4.指数函数的特殊点：

（1）当x=0时，f(x)=1；

（2）当x=1时，f(x)=a。

5.指数函数的应用：

（1）描述放射性物质的衰变；

（2）计算贷款的复利；

（3）分析人口增长和衰减；

（4）解决其他实际问题。

6.指数函数的图象特征：

（1）图象是连续的曲线；

（2）图象过点(0,1)和(1,a)；

（3）当a>1时，图象在y轴右侧上升；

（4）当0<a<1时，图象在y轴右侧下降。

7.指数函数的导数：

（1）f'(x)=a^x*ln(a)；

（2）当a>1时，f'(x)>0，函数单调递增；

（3）当0<a<1时，f'(x)<0，函数单调递减。

8.指数函数的反函数：

（1）对于指数函数f(x)=a^x，其反函数是f^-1(x)=log_a(x)（a>0且a≠1）；

（2）反函数的图象是原函数的镜像。

9.指数函数与对数函数的关系：

（1）指数函数和其反函数互为反函数；

（2）指数函数和对数函数共同构成指数对数系统，解决相反类型的方程和不等式。

10.指数函数在数学和自然科学中的应用：

（1）物理学中描述放射性物质的衰变；

（2）经济学中计算经济增长率；

（3）生物学中描述生物种群的增长；

（4）其他领域中的应用。七、内容逻辑关系①指数函数的定义与性质：

-知识点：指数函数的定义、性质

-关键词：指数函数、定义、性质、a、x

-板书设计：

-指数函数定义：f(x)=a^x（a>0且a≠1）

-指数函数性质：

1.单调性：当a>1时，增函数；当0<a<1时，减函数

2.图象特征：过点(0,1)和(1,a)，连续曲线

3.特殊点：x=0时，f(x)=1；x=1时，f(x)=a

②指数函数的图象与性质：

-知识点：指数函数的图象特征、单调性、特殊点

-关键词：指数函数、图象、性质、单调性、特殊点

-板书设计：

-指数函数图象特征：连续曲线，过点(0,1)和(1,a)

-单调性：

1.a>1时，图象在y轴右侧上升

2.0<a<1时，图象在y轴右侧下降

-特殊点：x=0时，y=1；x=1时，y=a

③指数函数的应用：

-知识点：指数函数在实际中的应用

-关键词：指数函数、应用、实际问题

-板书设计：

-放射性物质衰变：描述放射性物质衰变规律

-贷款复利计算：计算贷款的复利

-人口增长分析：分析人口增长和衰减

-其他应用：解决实际问题中的指数函数应用

④指数函数的反函数与导数：

-知识点：指数函数的反函数、导数

-关键词：指数函数、反函数、导数、ln、a

-板书设计：

-反函数：f^-1(x)=log_a(x)（a>0且a≠1）

-导数：f'(x)=a^x*ln(a)

-单调性：

1.a>1时，f'(x)>0

2.0<a<1时，f'(x)<0

⑤指数函数与对数函数的关系：

-知识点：指数函数与对数函数的关系

-关键词：指数函数、对数函数、反函数、增长衰减

-板书设计：

-反函数关系：指数函数与反函数互为反函数

-对数函数：指数函数和对数函数共同构成指数对数系统，解决相反类型的方程和不等式

⑥指数函数在数学和自然科学中的应用：

-知识点：指数函数在数学和自然科学中的应用

-关键词：指数函数、应用、数学、自然科学

-板书设计：

-物理学：描述放射性物质的衰变

-经济学：计算经济增长率

-生物学：描述生物种群的增长

-其他领域：解决其他领域的指数函数问题八、典型例题讲解1.例题1：判断函数f(x)=2^x是否是指数函数。

答案：是。因为f(x)=2^x，其中a=2且a>0且a≠1，所以f(x)=2^x是指数函数。

2.例题2：已知函数f(x)=3^x，求f(2)。

答案：f(2)=3^2=9。

3.例题3：画出函数f(x)=4^x的图象。

答案：图象过点(0,1)和(1,4)，在y轴右侧上升，是增函数。

4.例题4：已知函数f(x)=1.5^x，判断f(x)的单调性。

答案：因为1.5>1，所以f(x)=1.5^x是增函数。

5.例题5：计算贷款的复利，本金为10000元，年利率为5%，求5年后的金额。

答案：复利公式为A=P(1+r/n)^(nt)，其中P为本金，r为年利率，n为每年计息次数，t为时间（年）。

6.例题6：已知人口增长模型为P(t)=1000*2^t，求10年后的人口数量。

答案：将t=10代入公式得P(10)=1000*2^10=102400。

7.例题7：求函数f(x)=(1.2)^x的反函数f^-1(x)。

答案：f^-1(x)=log_1.2(x)。

8.例题8：已知函数f(x)=3^x，求f'(x)。

答案：f'(x)=3^x*ln(3)。

9.例题9：判断函数f(x)=(0.8)^x的单调性。

答案：因为0.8<1，所以f(x)=(0.8)^x是减函数。

10.例题10：已知函数f(x)=(1.1)^x，求f(5)的值。

答案：f(5)=(1.1)^5=1.610512。

11.例题11：求函数f(x)=2^x在区间(0,1)上的最大值和最小值。

答案：因为a=2且a>1，所以f(x)=2^x在区间(0,1)上是增函数，所以最大值为f(1)=2^1=2，最小值为f(0)=2^0=1。

12.例题13：已知函数f(x)=(1.5)^x，求f(2)和f'(2)。

答案：f(2)=(1.5)^2=2.25，f'(2)=(1.5)^2*ln(1.5)。

13.例题14：已知函数f(x)=(1.2)^x，求f(1)和f'(1)。

答案：f(1)=(1.2)^1=1.2，f'(1)=(1.2)^1*ln(1.2)。

14.例题15：已知函数f(x)=(1.1)^x，求f(5)和f'(5)。

答案：f(5)=(1.1)^5=1.610512，f'(5)=(1.1)^5*ln(1.1)。课堂1.提问评价：在课堂上，我会通过提问的方式了解学生的学习情况。我会提问一些关于指数函数的基本概念、性质和应用的问题，以检查学生对知识的掌握程度。同时，我会关注学生的回答，了解他们对知识的理解和应用能力。对于回答正确的学生，我会给予表扬和鼓励，对于回答错误的学生，我会及时给予指导和帮助，帮助他们理解和掌握知识。

2.观察评价：