2024年中考数学复习考前专项训练：四边形的最值

2024年中考数学复习考前专项训练一

四边形的最值

1.如图，正方形ABCD中，点E为边3C的上一动点，作AF1DE交DE、DC分别于尸、F

点，连尸C.

(1)若点£为的中点，求证：F点为。C的中点；

⑵若点E为2C的中点，PE=6,PC=4叵,求尸尸的长;

(3)若正方形边长为4,直接写出PC的最小值________.

2.如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点。作于点尸，连接。E交互于

点尸，点尸恰好为CE的中点.

⑴求证：ADEPSACEB；

⑵如图1,若黑=］，求黑的值;

nC4Ur

(3)如图2,在(2)的条件下，点G、0分别为DP、DE上的动点，若CP=5,请直接写出

GF+GQ的最小值.

图1图2图3

(1)当PELAP交于E时，

①如图1,求证：PA=PE.

②如图2,连接AC交8。于点。，交PE于点、F,试探究线段卓2、尸02、p尸之间用等号

连接的数量关系，并说明理由；

⑵如图3,已知M为BC的中点，PQ为对角线5£(上一条定长线段，若正方形边长为4,随

着P的运动，。+加的最小值为3vL求线段尸。的长.

4.如图，在平行四边形A3CD中，A8=10,AD=16,ZA=60。，尸是射线AD上一点，连接尸员

沿PB将ZViPB折叠，得&APB.

试卷第2页，共12页

DD

P,

⑴如图1所示，当ZDBT=10。时，NA'PB=度;

⑵如图2所示，当3c时，求线段2的长度;

⑶当点尸为AD中点时，点尸是边A3上不与点A,B重合的一个动点，将.APF沿PF折叠,

得到.APF,连接3A,求一b周长的最小值.

5.如图1,在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,8分别在y轴，x轴上，当2在x

轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形A3CD的形状保持不变，其中AB=6,BC=2.

(1)取AB的中点E,连接。E,DE,求OE+DE1的值.

(2)如图2,若以A3为边长在第一象限内作等边三角形，ABP,运动过程中，点尸到原点的

最大距离是多少？

6.在菱形"CD中，AB=4,ZABC=O)°,E是对角线AC上一点，尸是线段BC延长线

上一点，且CF=AE,连接BE、EF.

(1)如图1,若£是线段AC的中点，求所的长；

(2)如图2,若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE=EF.

(3)如图3,若£是线段AC延长线上的一点，CE=^AC,将菱形45co绕着点8顺时针

旋转e。(0<c<360),请直接写出在旋转过程中DE的最大值.

7.等腰直角AACB中，NC=90。，点。为延长线上一点，连接AD,以AD为斜边构造

直角△AED(点E与点C在直线AD的异侧).

(1)如图1,若/EAO=30。，AE=叵,BD=2,求AC的长；

2

(2)如图2,若连接BE,猜想线段BE与线段4。之间的数量关系并证明；

(3)如图3,若AC=4,tan/B4O=；,连接CE,取CE的中点P,连接。P,当线段DP

最短时，直接写出此时APDE的面积.

试卷第4页，共12页

8.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，AC=12,过点E的直线分别交A。,

2C于点M,N.

(1)当MN13C时，的长为,AAEMs；

(2)已知EC=2AE.

①若MN=9,求此时40的长；

②当E,尸为AC的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足PE+Eb=9的情况?

如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由.

9.问题提出

(I)如图(1),已知..ABC中，ZB=30°,ZC=45°,BC=2+2«,求点A到BC的最短

距离.

问题探究

(2)如图(2),已知边长为3的正方形ABCD,点E、尸分别在边AD和3C上，且AE=gAD,

CF=1BC,连接BE、DF,若点〃、N分别为E、£)尸上的动点，连接MN,求线段MN

长度的最小值.

问题解决

(3)如图(3),已知在四边形ABCD中，AB=AD=3,CB=CD=2,ZABC=60°,连接

BD,将线段8。沿方向BA平移至ME,点。的对应点为点E,点N为边8上一点，且

DN=BM,连接MN,MN的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请

说明理由.

图2

图3

试卷第6页，共12页

10.已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC.

(D如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到ACBE.

①求证：APBE是等边三角形；

②若BC=5,CE=4,PC=3,求NPCE的度数；

(3)连结BD交AC于点O,点E在OD上且DE=3,AD=4,点G是△ADE内的一个动点如

图②，连结AG,EG,DG,求AG+EG+DG的最小值.

11.如图，在RSABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,点E是斜边AB上的一个动点,

连接CE,过点B,C分别作BD〃CE,CD〃:BE,BD与CD相交于点D.

(1)当CELAB时，求证：四边形BECD是矩形；

(2)填空:

①当BE的长为时，四边形BECD是菱形；

②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP,EP,则AP+EP的最小值为.

12.如图1,在等腰梯形ABC。中，AB//CO,E是A。的中点，过点E作跖〃OC交8C

于死A0=4,0C=6,NAOC=60。.现把梯形ABC。放置在平面直角坐标系中，使点。与原

点重合，0C在无轴正半轴上，点A,B在第一象限内.

(1)求点E的坐标及线段AB的长；

(2)点尸为线段上的一个动点，过点P作尸交0C于点M,过M作MN〃A。

交折线ABC于点N,连结PN,设PE=x.APMN的面积为S.

①求S关于x的函数关系式；

②的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值；

(3)另有一直角梯形EDGH(H在EF上,OG落在0C上，ZEDG=9Q°,DG=3,HG//BC.

现在开始操作：固定等腰梯形ABC。，将直角梯形EDGW以每秒1个单位的速度沿0C方向

向右移动，直到点。与点C重合时停止(如图2)•设运动时间为t秒，运动后的直角梯形

为如图3);试探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形重合部分

的面积y与时间t的函数关系式.

试卷第8页，共12页

13.问题提出

(1)如图1,在菱形ABCD中，DC=3,ZBCD=120°,AELBC,则AE的长为

E~~C

图1

问题探究

(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC上一动点，连接AE,以为

直径的半圆与AE相交于点M,连接MO,MC,求&WDC面积的最小值；

E

图2

问题解决

(3)如图3,有一个菱形花园ABC。，AB=300m,ZABC=60°,点尸是菱形A3CD内一

点，现需在花园内开辟三角形区域APB种植一种红色花卉.在三角形区域PDC种植一种黄

色花卉，其他地方种植绿植.根据设计要求，满足4BP+"CP=90。，同时过点尸修建

四条小路分别是R4,PB,PC,PO供游客参观.若绿植面积每平方米100元，请问当点尸

到AO的距离为多少米时，△APD面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少

元？(殍1.7)

A

'D

14.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的

图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1,以菱形ABCD的一边8为边向外作正方形CDEF,M、N分别是菱形和正方

形的对角线交点，连接MN.

求证：四边形功WCN是“直等补”四边形.

②若=求四边形DMCN的面积.

⑵如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形，其中