向量法求空间角-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第7课时向量法求空间角

［考试要求］1.能用空间向量的方法解简单的线线、线面、面面的夹角问题.2.体

会向量方法在研究几何问题中的作用.

［链接教材•夯基固本］落实主干•激活技能

©梳理•必备知识

1.异面直线所成的角

若异面直线/1,所成的角为仇其方向向量分别是“，V,则cos6=|cos〈“，V〉

|wj_v|

LMM•

2.直线与平面所成的角

如图，直线48与平面a相交于点瓦设直线48与平面a所成的角为仇直线4B

的方向向量为“，平面a的法向量为〃，则sin6=|cos〈“，〃〉尸譬?

|w||n|

A

3.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面.相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。

的二面角称为平面a与平面.的夹角.

若平面a,4的法向量分别是〃1和〃2,则平面a与平面用的夹角即为向量〃1和〃2

的夹角或其补角.设平面a与平面.的夹角为仇则cos0=|cos〈〃i,〃2〉尸需需•

［常用结论］

最小角定理

如图，若。4为平面a的一条斜线，。为斜足，08为CM在平面a内的射影，OC

为平面a内的一条直线，其中。为CM与。。所成的角，均为CM与08所成的角，

即线面角，%为08与。C所成的角，那么cos.6=coS_OicoS—仇.

O激活•基本技能

一'易错易混辨析(正确的打，错误的打“x”)

(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.

(2)直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角的余角就是直线/与平面a所成的

(3)二面角的平面角为仇则两个面的法向量的夹角也是仇()

(4)两异面直线夹角的范围是(0,耳，直线与平面所成角的范围是［0,4，二面角

的范围是［0,兀］.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

二、教材经典衍生

1.(人教A版选择性必修第一册P36例7改编)已知直线/i的方向向量si=(l,0,

1)与直线/2的方向向量S2=(—1,2,-2),则/1和/2夹角的余弦值为()

C［设两直线的夹角为仇所以COS6=|cos〈S1,52〉|=1：1：2］=二一?=’.所以/］

|5I||S2|V2X32

和/2夹角的余弦值为当

2.(人教A版选择性必修第一册P37例8改编)已知两平面的法向量分别为(0,-

1,3),(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为.

孚［设两平面夹角为仇

6

3.(人教A版选择性必修第一册P41练习「改编)二面角a-//的棱上有48两点，

线段ZC,8。分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱/.已知25=1,AC

=2,BD=3,CD=2<2,则平面a与平面W的夹角为.

5［设平面a与平面例勺夹角为e,由而=潟+血+而可得，

________2

CD2=(CA+AB+BD)=CA2+AB2+BD2+2CA•AB+2AB•BD+2CA•~BD

=4+l+9+2|G4||BD|cos(CA,BD)=14-12COS0=(2V2)2.

所以cos6=；,即平面a与平面用的夹角为泉］

4.(人教A版选择性必修第一册P38练习T2改编)E4,PB,尸C是从点尸出发的

三条射线，其中/ZPC=N8PC=45。，ZAPB=60°,则直线0C与平面K48所

成角的余弦值为.

y［过尸C上一点。作。。，平面4P8,如图，

则ZDPO就是直线尸C与平面E45所成的角.

因为ZAPC=ZBPC=45°,

所以点。在N4P5的平分线上，即/。尸£=30。.

过点。作OE±PA,OFLPB,

因为平面APB,则DELPA,DF±PB.

设PE=1,

因为/。尸£=30。，所以。尸=—；7=乎，

cos303

在中，ZDPE=45°,PE=1,贝U尸£>=鱼.

在尸中，。尸=竽，PD=^2,贝可

cosZ/DAPDCO=—0P=—巡.

PD3

即直线尸C与平面PAB所成角的余弦值是日.］

［典例精研•核心考点］重难解惑■直击高考

□考点一异面直线所成的角

［典例1］

(1)如图，在直三棱柱48C-/LBICI中，AB=AC=AAi=V2,BC=2,点、D为BC

的中点，则异面直线幺。与Z1C所成的角为()

B

(2)如图所示，在棱长为2的正方体45CD-Z出Cid中，E是棱CG的中点，AF

=AAD(O<A<1),若异面直线。iE和ZF所成角的余弦值为苧，贝以的值为

(1)B(2)|[(1)因为4gz+NGnBC2,所以NA4C=90°.以Z为原点，45,ZC,

441所在直线分别为x轴、y轴、2轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,

0,0),小(0,0,V2),5(72,0,0),C(0,传0),所以£(停,牛，0),所以

而=(亨，亨，0),碇=(0,V2,-V2),所以cos(AD,中〉=篙萧W，

所以〈诟，中〉=今故选B.

(2)以。为坐标原点，以D4,DC,DA所在直线分别为x,j,z轴，建立空间直

角坐标系(图略).

因为正方体的棱长为2则小(2,0,2),£>1(0,0,2),£(0,2,1),2(2,0,0).

所以印=(0,2,-1),A^F=A^A+AF=^M+2AD=(0,0,-2)+2(—2,0,

0)=(—2/1,0,12).

麻•卓|

则|cos〈疗，O>1=,解得7=2=*舍去).］

府H耐2炉五•V510

名师点评用坐标法求异面直线所成角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,即两异面直线所成角的余弦值等于

两向量夹角的余弦值的绝对值.

［跟进训练］

1.(2024•浙江绍兴模拟)“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何

体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个

如图所示的曲池，44」平面48C。，441=4,底面扇环所对的圆心角为］,AD

的长度是筋长度的2倍，CD=1,则异面直线an与8a所成角的正弦值为

()

CD

C［设上底面圆心为下底面圆心为。，连接。01,OC,OB,以。为原点，

分别以OC,OB,所在直线为X轴、y轴、2轴建立空间直角坐标系，由底

面扇环所对的圆心角为⑪的长度是前长度的2倍，CD=1,可知0c=1,

则G(l,0,4),A(0,2,0),B(0,I,0),。(2,0,4),4(0,2,4),

a

则4。1=(2,-2,0),BC1=(1,-1,4),

/—\—尸矛>\i4iPi,BCi41

cos〈4。1,BCi)=,.>,­7=77=———广=一,

11|X1Z)1|•2V2X3V2

\BCr\3'

又异面直线所成角的范围为(0,

故异面直线出。1与BC1所成角的正弦值为，

故选C.］

考点二直线与平面所成的角

［典例2］(2022•北京高考)如图，在三棱柱ABC-AxBxCi中，侧面BCCiBi为正

方形，平面8CC181，平面4B51Z1,AB=BC=2,M,N分别为小囱，ZC的中

点.

(1)求证：ACV〃平面BCCiBi；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线Z5与平面AWN

所成角的正弦值.

条件①：ABLMN-,

条件②：BM=MN.

［解］(1)证明：如图，取5c的中点，连接SO,DN,在三棱柱4BC-ZbBCi

中，A\B\//AB,2闰=45.因为M,N,。分别为4囱，AC,5c的中点，所以

B\M//AB,B\M=^AB,DN//AB,DN=^AB,即BiM〃DN且B\M=DN,所以四

边形SAW。为平行四边形，因此囱。〃〃乂,

又“NO平面8CC181,BbDu平面5CC13,所以"N〃平面BCC/i.

(2)选条件①：

因为侧面BCCbBi为正方形，所以CBLABi,

又因为平面5CC151，平面ABBiAi,且平面BCCiBiC平面ABBiAi=BBi,

所以C5,平面488/1,而48u平面4a814,所以C5L48,

由(1)得8bD〃〃N,"因为ABLMN,所以48，囱。，

而BiDCCB=D,所以48,平面5CC181.

在三棱柱ZBC-ZiBCi中，BA,BC,8囱两两垂直，

故以8为坐标原点，分别以5C,BA,851所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

因为AB=BC=BBi=2,则5(0,0,0),N(l,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

所以丽=(1,1,0),BM=(0,1,2),ZB=(0,-2,0).

设平面的法向量〃=(x,y,z),

•n=0.f%+y=0,K,,

得《令x=2,得〃=(2,-2,1)为平面氏MN的一

•n=0,iy+2z=0,

个法向量.

设直线48与平面BMN所取角为仇

则sin9=|cos<n,荏〉|=•鲁=工=匕所以直线48与平面所成角

M\n\•\AB\3x23

的正弦值为|.

选条件②：

取N8的中点H,连接HM,HN,

因为N,H分别为小Bi,AC,Z8的中点，

所以CB//NH,而CBlBBi,故NHLMH.

又因为4B=8C=2,所以NH=BH=1.

在丛MHB和△MHN中，BM=MN,NH=BH,公共边MH,那么丛MHBm丛MHN,

因此NMHN=/MHB=90°,MH±AB,故BiB_LAB.

在三棱柱45C-Z18C1中，BA,BC,8囱两两垂直,

故以5为坐标原点，分别以8C,BA,881所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

因为AB=BC=BBi=2,则5(0,0,0),N(l,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

所以丽=(1,1,0),JM=(0,1,2),AB=(S>,-2,0).

设平面5MN的法向量〃=(x,y,z),

由_,得|令x=2,得〃=(2,-2,1)为平面BMN的一

IBM,n-0,iy+2z—0,

个法向量.

设直线45与平面BMN所散惫为6,

则sin0=|cos〈〃，AB）尸例=<=J所以直线4B与平面5AW所成角的

\Jn"\,.\AB\3x23

正弦值为|.

名师点评利用空间向量求线面角的解题步骤

2.（2022•浙江高考）如图，已知4BCQ和CDE/都是直角梯形,48〃Z）C,QC〃ER

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸-DC-8的平面角为

60。.设跖N分别为ZE,8c的中点.

(1)证明：FN1AD；

(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

［解］(1)证明：易求得5=28，BC=243.

'：FC±DC,BCLDC,/BCF为二面角F-DC-B的平面角，

/.ZBCF=6Q0,...△5CF为等边三角形.

N为BC的中点、,：.FN±BC.

又平面8cE，:.DCLFN,BCCDC=C,

.•.EN，平面5C£>,：.FN±AD.

⑵如图建系，则8(0,8,0),45,a0),。(3,一8,0),£(1,0,3),同(3,亨，|),

.,.丽=(3,-y,|),AD=(-2,-2V3,0),RE=(-2,V3,3).

设平面4DE的法向量〃=(xo,jo,zo),切攸与平面4DE所成角为

n•AD-0,f—2&—2V3y0—0,也

_z-取x<则yo=-1,zo=V3,

n,DE-02%0+V3y0+3z0-0,

即〃=(8,-1,g)是平面4D£的一个法向量.

.••sin6=|cos(BM,〃〉|=|船|=^4^=等

I阿同尼本迎14

直线AW与平面ADE所成角的正弦值为邑N

14

□考点三平面与平面的夹角《现范解劄

［典例3］(12分)(2023•新高考I卷)如图，在正四棱柱NBCZML8clzh中,AB

=2,44i=4.点幺2,Bz,CI,。2分别在棱ZZi,BBi,CCi,£>£>i±,AA2=1,

BBZ=DD2=2,CC2=3.

CIBi

(1)证明：B2C2//A2D2；

(2)点P在棱BBi上，当二面角P-A2C2-D2为150。时，求BiP.

［解］(1)证明：以点C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线分别为x,y,2轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

G「Bi

则C(0,0,0),C2(0,0,3),&(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1).・2分

・••陪=(0,-2,1),瓦瓦=(0,-2,1).................................................3分

•••瓦瓦〃砌........................................................4分

又82c2,2力＞2不在同一条直线上,一一|失分点|........................5分

：.B2C2//A2D2.....................................................................................................6分

(2)设尸(0,2,Q(0W4W4),一巧设元

则猛=(-2,-2,2),咽=(0,-2,3-A),万益=(-2,0,1),・7分

设平面E42c2的法向量〃=(x,y,z),

则pi•A2C2=-2x-2y+2z=0,

In•PC：=—2y+(3—A)z=0,

令Z=2，得j=3—/,x=2—1L.一关键点，赋值求值

：.n=(2~l,3-2,2)为平面以2。2的一个法向量.....................8分

设平面42。2。2的法向量帆=(a,b,c),

贝必,(m•AoCo)=-2a—2b+2c=0,

Im•D2c2=—2a+c=0,

=

令Q=1,得bl,c=2,

=1,2)为平面42。m2的一个法向量，........................9分

画/以；；：；一关键点，用对公式

=lI----6—cos150。|=£

V6XV4+(A-1)2+(3-A)2112

化简可得22—42+3=0,................................................................................10分

解得2=1或2=3,

・•・尸(0,2,1)或尸(0,2,3),..........................................................................11分

:.B2P=1.12分

名师点评利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤

3.(2023•新高考n卷)如图，三棱锥中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB

=ZADC=60°,E为8c的中点.

(1)证明：BCLDA；

(2)点/满足方=5X求二面角D-AB-F的正弦值.

［解］(1)证明：如图，连接。£,AE,

因为DC=DB,且E为8c的中点，所以。EL8C

因为NAD8=NADC=60。，DA=DA,DC=DB,

所以△4D5m△4DC(SAS).

可得ZC=AB,故ZE,8c.

因为DEC4E=E,DE,Z£u平面ADE,所以平面ADE.

又。Zu平面4DE,所以5CLD4.

y

(2)由(1)知，DELBC,AELBC.

不妨设DA=DB=DC=2,因为NAD8=NADC=60°,所以A8=ZC=2.

由题可知△Z)8C为等腰直角三角形，故DE=EB=EC=®

因为ZEL5C,所以AE=、AB2-EB2=迎.

在中，AE2+ED2=AD2,所以4ELED.

以E为坐标原点，所在直线为x轴，£8所在直线为y轴，EN所在直线为2

轴，建立空间直角坐标系，如图，则。(鱼，0,0),8(0,V2,0),A(0,0,V2),

ol=(-V2,0,V2),BA=(0,-V2,V2).

设F(XF,yp,ZF),因为前=£M,所以(XF,yF,ZF)=(—V2,0,V2),可得网一声，

0,V2),

所以记5=(鱼，0,0).

设平面。48的法向量为阳=(xi,ji,zi),

贝代7n=。，

[BA•m=0,

(—V2%i+V^Zi=0,

即｛——取X1=1,则yi=zi=l,阳=(1,1,1)为平面D4B的一

k-V2y1+V2z1^0,

个法向量.

设平面45尸的法向量为〃=(X2,yi,22),

得X2=0,取J2=l,则22=1,〃=(0,

嘿夕2+V2Z=0,

2

1,1)为平面4&F的一个法向量，所以cos〈〃[,«>=m'=-^j==—

/\m\•\n\73x723

记二面角。-4S-尸的大小为仇则sin。=^jl—cos2(m,n)=J1—倍)

故二面角D-AB-F的正弦值为子.

课时分层作业(四十八)向量法求空间角

[A组在基础中考查学科功底]

1.(2023•北京高考)如图，在三棱锥尸-N8C中，平面NBC,PA=AB=BC

=1,PC=V3.

p

4y、——_->c

B

(1)求证：8C，平面P45；

(2)求二面角Z-PC-8的大小.

［解］⑴证明：因为E4,平面N8C,8Cu平面Z8C,

所以E4L5C,同理E4L48,

所以△E48为直角三角形，

又因为尸8=，P42+"壮2=鱼,BC=1,PC=V3,

所以产序+802=尸〃，则△尸5c为直角三角形，故BCLPB.

又因为5CLK4,PA^PB=P,

所以5C,平面PAB.

⑵由⑴知5C,平面E48,又4Bu平面E48,贝U5CL48,

以幺为原点，Z8为x轴，过Z且与5c平行的直线为y轴，4P为2轴,建立空

间直角坐标系，如图，则幺(0,0,0),0(0,0,1),C(l,1,0),BQ,0,0),

所以Q=(0,0,1),ZC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-

设平面E4C的法向量为〃，=(xi,yi,zi),

m•AP=0,即『二o,

则

m•AC=0,Uq+yi=0,

令X1=L则yi=—l,所以〃i=(l,—1,0)为平面E4C的一个法向量,

设平面P5C的法向量为〃=(X2,yi,Z2),

叱,(n・,B丽C-=。0,，喉(y2-+力0,-2=。,

令X2=l,则Z2=l,所以〃=(1,0,1)为平面P5C的一个法向量,

匕乙八)/\m•n

所以COS〈阳，n)=——=-=—1==-1

|m||n|72x722

又因为二面角Z-PC-8为锐二面角，

所以二面角A-PC-B的大小为今

2.(2023•广东广州二模)如图，在直三棱柱48C-Z山Ci中，AB=AC=AAi=3,

点。是的中点，点£在441上，40〃平面5C1E.

(1)求证：平面5C1E,平面551clC；

(2)当三棱锥B「BCiE的体积最大时，求直线AC与平面BCiE所成角的正弦值.

［解］(1)证明：取5G中点连接EN,MD,如图所示.

:AB=AC,点。是8c的中点，：.ADLBC,

又是8cl的中点，：.DM//CCi,

又,在直三棱柱45C-Z山Ci中，有44i〃CCi,441，平面48C,

：.DM//AE,平面A8C,

平面8C1E,且4Du平面平面4aMEA平面5QE=£攸,

：.AD//ME,

平面48C,且4Du平面48C,

ACCi±AD,

XVCCin5C=C,JLCC1,8Cu平面A51CC,

.•.40,平面BBiCiC.

又,：AD〃ME,平面881clC,

,.•"Eu平面BC\E,

...平面5CiE,平面BB\CxC.

(2)由(1)知"EL平面BBxCiC,

]

•ME,

2

设BC=2a,则&）=Q,AD=^J9—a,S^B1BC1=1x2（7X3=367,

.1R-----za2+9-a29

・・｝句—点送=石・3。•V9—Q2W---=-,

由基本不等式知，当且仅当。=v^二^时等号成立，

即三棱锥51-5C1E的体积最大，此时口=孚.

以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，所在直线为y轴，。河所在直线为z

轴建立空间直角坐标系，如图所示，则有Z（苧，0,0）,C（0,一手，0）,5（0,

苧，0）,E（唳0,Ci（0,一乎，3）,.•.尼=（一苧，-当,0）,印

=（0,3V2,-3）,BE=（^,一学，|）,设平面8C1E的法向量为〃=（X1,J1,

21）,

n•C]B-3近y、—3z1—0,

则有加3夜3V2,3„

n•BE=—%1--71+-Z1-0,

取刈=鱼，解得〃=（0,V2,2）为平面5GE的一个法向量,

设直线NC与平面BCiE所成的角为。，

贝Isin0=|cos〈〃，AC）\=—^==^,

3XV2+46

故直线NC与平面BCiE所成角的正弦值为客.

6

[B组在综合中考查关键能力]

3.（2024•辽宁鞍山模拟）如图所示，在直四棱柱48cLM18CQ中，底面48co

为菱形，ZABC=60°,AB=2,44i=2g,E为线段。d上一点.

⑴求证：AC±BiD；

(2)若平面AB.E与平面ABCD的夹角的余弦值为|,求直线BE与平面AB^E所成

角的正弦值.

［解］(1)证明：连接

:底面ABCD为菱形，：.AC±BD.

又881，平面A5C。，ZCu平面A8C。，：.BBi_LAC.

大BDCBB尸B,BD,BBc平面BDBi,

.•.ZC，平面RD81.又BiDu平面BDBi,：.ACLB\D.

(2)设CD的中点为尸，连接4F,如图.

•.•△/CD为等边三角形，：.AF±CD,

叉CD"AB,贝UAFLZA

又ZZi，平面4BCO,贝U441,4