2024版高考数学总复习：双曲线

第六节双曲线

考试要求：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

2.了解双曲线的简单几何性质.

、必备知识•回顾教材重“四基”二

一、教材概念•结论•性质重现

1.双曲线的定义

平面内与两个定点凡用的距离的差的绝对值等于非零常数（小于区周）的点的轨迹叫做双曲

线，这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

微提醒・・・

集合？=｛勃1加成-1肱引1=20，区凡1=26其中a,c为常数且a>0,oO.

⑴当外c时，点P的轨迹是双曲线.

（2）当a=c时，点P的轨迹是以后，E为端点的两条射线.

⑶当a>c时，点P不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

/X21

熊一京=1滔一京=1

标准方程

（5>0,岳0）30,b>0)

图形

丁B'\A\

范围xNa或xW-a,yERxER,yW-a或yNa

对称性对称轴：坐标轴.对称中心：原点

顶点4（-20）.42（之，。）4(0,—3),4(0,3)

ba

渐近线%土”片土三

性质

离心率e=-,eE(l,+8)其中

a

实轴I4&I=25；

实虚轴虚轴1身房1=2b；

实半轴长且虚半轴长立

a,b,。的关系(?=才+冽6»0,ob>G)

3.双曲线中的几个常用结论

⑴焦点到渐近线的距离为b.

⑵实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.

双曲线为等轴双曲线=双曲线的离心率e=双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).

⑶过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为与(通径).

过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为之；与两支相交所得弦长的最小值

a

为2a.

⑷过双曲线焦点后的弦4?与双曲线交在同支上，则45与另一个焦点石构成的△/昭的

周长为4a+2L4H.

⑸双曲线的离心率公式可表示为e=V77^.

⑹双曲线★一后=l(a>0,加0)的形状与e的关系：国士咛斗在2一1,e越大，即渐

近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔.

(7日一|=l(a>0,6>0)与番一1=1匕>0,人>0)互为共轲双曲线，其离心率倒数的平方和

为L

2222

⑻已知双曲线方程为%-方=130,6>0),与其渐近线相同的双曲线方程可设为%-券=A

(A#0).

二、基本技能•思想•活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“V”，错的画“X”.

⑴平面内到点后(0,4),凡(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.

(x)

(2)方程一进=l(m〃>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(x)

mn

⑶双曲线方程三一马=入(Z77>0,n>0,入W0)的渐近线方程是三一斗=0,即2±*=0.

mnmnmn

(V)

⑷等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于(V)

2.过双曲线*-/=8的左焦点名有一条弦PQ在左支上，若IPQ=7,凡是双曲线的右焦

点，则△小Q的周长是()

A.28

B.14-8V?

C.14+8V?

D.8日

C解析：根据双曲线定义可知，1%1-1朋l=R2IQ图-1。司=41/2所以I咫1+1批1-

\PQ=8V?,所以愿+IQEI+\PQ\=21Pq+8q=14+利2故选C.

22

3.双曲线十一3=1的渐近线方程是（）

A.y=±9/B.y=4

C.y=±3/D,y=±2y

C解析：双曲线写一［=1中，a=3,6=2,双曲线的渐近线方程为尸±1

4.焦点是。±2）,且与双曲线-1=1有相同的渐近线的双曲线的方程是（）

A.B.?-<=1

3J3

C./-/=2D./-/=2

D解析：由已知，得双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线.故选D.

5.经过点力（3,-1）,且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为

解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为马-耳=1,

88a

把43,-1）代入方程得匀一4=1,才=8,所以双曲线的标准方程为［—［=1.

G.Qoo

22

当焦点在了轴上时，设双曲线的标准方程为当-^=1,

aa

把43,-1）代入方程得，一*=1,/=-8（舍）.

故所求双曲线方程为［一］=L

OO

--------、关键能力•研析考点强“四翼”/-----------

考点1双曲线的定义一基础性

「多维训练

1.已知两圆G：（X+4K+/=2,G：（X-4）2+/=2,动圆/与两圆Q,G都相切，则动

圆圆心M的轨迹方程是（）

A.x=0B.—考=l（xN

c-y-^=1D-［-或X=。

D解析：动圆M与两圆G,G都相切，有四种情况：①动圆〃与两圆都外切；②动圆”

与两圆都内切；③动圆M与圆G外切、与圆G内切；④动圆加与圆G内切、与圆G外切.

在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x=0；

在③的情况下，设动圆〃的半径为r,

则IMGI=r+V?,\MC^=r~V?.

故得瓯I-IAO=2V?；

在④的情况下，同理得I加GI-1/卬=242

由③④得眺7GI-几=±242已知IQGI=8,

根据双曲线定义，可知点〃的轨迹是以G（-4,0）,G（4,0）为焦点的双曲线，且a=，2c

=4,^=^-/=14,其方程为9一91.故选D.

2.设过双曲线*-/=9左焦点后的直线交双曲线的左支于点P,Q,若IPQ=7,则△EPQ

的周长为（）

A.19B.26

C.43D.50

B解析：如图所示，

\PF\-\PFJ\=2a,

由双曲线的定义可得｛2

\QF2\-\QF7\=2a,

①+②得I空I+\QF^-\PQ=4a,

所以△EPQ的周长为匹9+IQEI+\PQ

=4a+IPQ+IPQ=4x3+2x7=26.

解题通法

1.定义理解：①距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支.

②2冬1月凡I,否则轨迹是射线或不存在.

2.方程理解：

①求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则V与/的系数会错.

②注意a,b,c的关系易错易混.大小关系oa>0,ob>0；数量关系犬=/+式这两个关系

与椭圆中的均不同，不能混淆.

考点2双曲线的标准方程——综合性

「典例引领

例D⑴已知双曲线。：5-5=1（2>0">0）的一条渐近线方程为尸争,且与椭圆

=1有公共焦点，则c的方程为（）

C.2=1

D-

B解析：椭圆［的焦点坐标为(±3,0),则双曲线的焦点坐标为(±3,0),可得c

=3,双曲线C*£=l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为可得合当即手

=<可得£=［,解得a=2,b=y/5,所求的双曲线C的方程为［一1=1.故选B.

4Qz4D

(2)(多选题)已知曲线GW+Z2/=1,则下列说法正确的是()

A.若m>n>0,则。是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆，其半径为JR

C.若皿<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±'二£丫

D.若团=0,n>0,则C是两条直线

ACD解析：对于A,当s>“>0时，有->3>0,方程化为苧+岑=1,表示焦点在y轴

mn

上的椭圆，故A正确.

对于B,当初=〃>0时，方程化为*+/=(表示半径为的圆，故B错误.

对于C,当m>0,"0时，方程化为苧一当=1,表示焦点在x轴上的双曲线，其中。=吁

mn

b=、—/,渐近线方程为y=±J-;x；当mvO,刀>0时，方程化为当-r=1,表示焦

nm

点在y轴上的双曲线，其中3=4b=、q,渐近线方程为y=±V二拳，故C正确.

对于D,当。=0,刀>0时，方程化为y=±吗，表示两条平行于x轴的直线，故D正确.

同源异考/

将本例⑵的方程变为(m-+=l)(mER),则该方程可以表示哪些曲线？

解：对于方程(m-1)/+m卢=m(m-1),

①当m=l时，方程即/=0,即y=0,表示x轴.

②当m=0时，方程即必=0,即x=0,表示y轴.

22

③当mXl,且mWO时，方程即上+

若m=m-1,即时，方程不可能是圆；

若-1)<0,方程表示双曲线；

若。(/7?-1)>0且1,方程表示椭圆.

解题通法

求双曲线标准方程的一般方法

⑴待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数2,b,。的方程

并求出a,b,c的值；与双曲线看=1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为

=A(A#0)；也可设为+n/=1(/77/7<0).

⑵定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定。的值.

「多维训练」

2

1.若双曲线v*-7=1的焦距为8,则实数初的值是()

A.V?5B.V77

C.15D.17

C解析：由题意知：2c=8,c=4,M=m,"=1,

因为<?=/+次所以16=。+1,解得。=15.故选C.

22

2.已知双曲线%-券=l(a>0,6>0)的一条渐近线平行于直线/：y=2x+10,双曲线的一个

焦点在直线/上，则双曲线的方程为()

Ax?/Rx2y2

A-彳一方=1B'为一7=1

C".空=iD"一空=]

，

C251001U'100251

A解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y='与直线y=2x+10平行，

所以5=2,且左焦点为(-5,0).所以/+严="=25.解得/=5,"=20.

故双曲线方程为1—吗=1.故选A.

OZU

考点3双曲线的几何性质——应用性

「典例引领

考向1双曲线的渐近线

22

例目/已知双曲线C：p-^=l(a>0,6>0)的一个焦点为E点力，5是C的一条渐近线

上关于原点对称的两点，以为直径的圆过/且交C的左支于加N两点.若丽=2,

△力班的面积为8,则C的渐近线方程为()

A.y=土73xB.y=±-x

C.y=±2xD.y=±夕

B解析：设双曲线的另一个焦点为尸,由双曲线的对称性，四边形2曲是矩形，所以

x2+y2w,/b22b2

S2ABF=S»AFF,即命=8,由｛2丫2得V=土]，所以l〃M=：-=2,所以Z^=c,

_x—7cc

a2b2~f

所以6=2,c=4,所以a=2何C的渐近线方程为*±?x.故选B.

解题通法

求双曲线的渐近线的方法

⑴由条件求出a,6的值，根据双曲线焦点的位置写出渐近线方程.

⑵由条件"=a?+"得到关于a,6的方程，构造关于:的方程，通过解方程求：，进而写出

渐近线方程.

考向2双曲线的离心率

例❸，(2022•浙江卷)已知双曲线，-左=l(a>0,&>0)的左焦点为F,过产且斜率为詈的直

线交双曲线于点力(蜀，兄，交双曲线的渐近线于点8X2,及)且X1V0VX2.若I阳=31网I,则双

曲线的离心率是

/-y——(x+c),

乎解析：过万且斜率为2的直线/Ay/(x+c),渐近线片.，联立｛4\

1"。y=r，

得8(三，刍，由I阳=31及1,得4(一今，器，而点Z在双曲线上，于是恁?—《船=L

JXJCLy_zLxoldoICLKJ

解得与a=2~4,所以离心率4e=等.

解题通法

求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)求a,b,c的值，由a日=。a1=1+与a直接求0.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于"=，-/消去力然后转化成关于e的

方程(或不等式)求解.

考向3与双曲线有关的最值和范围问题

例履"若双曲线J-5=1的左焦点为月点P是双曲线右支上的动点，4(1,4),则I杼1+

IK4I的最小值是()

A.8B.9

C.10D.12

B解析：由题意知，双曲线?=1的左焦点尸的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为

B,则3(4,0),由双曲线的定义知I杼I+IR4I=4+I阳+l&l三4+L45=4+

V(4-T)2+(0-4)2=4+5=9,当且仅当4P,歹三点共线且P在4B之间时取等号.

所以I杼1+I&I的最小值为9.

解题通法

与双曲线有关的取值范围问题的解题思路

⑴若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解.

⑵若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决.

「多维训练」

1.已知双曲线%=l(a>0,6>0)的一条渐近线与直线x+J务-4=0垂直，则该双曲线

的离心率为()

.R3「4

A--B.5

C.2D.4

C解析：由题意可知9(一争=-1,所以"何

所以e=?=S+守2=2.故选c.

22

2.已知点厂是双曲线%-左=l(a>0,6>0)的右焦点，点£是该双曲线的左顶点，过万且

垂直于x轴的直线与双曲线交于46两点.若4/殖是钝角，贝I该双曲线的离心率e的取

值范围是()

A.(1+V?,+oo)B.(1,1+V?)

C.(2,+oo)D.(2,1+乃

C解析：因为双曲线关于x轴对称，且直线力吕垂直x轴，

所以445F=2BEF.

因为乙力即是钝角，所以AF>EE

因为尸为右焦点，过/且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点,

所以力b=岂

a

-h2

因为£F=a+c,所以1>a+c,即天一ac-2/>0.

解得£>2或2-1.

aa

双曲线的离心率的范围是(2,+OO),故选C.

拓展考点焦点三角形

椭圆或双曲线上的点只同，冗与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中4用建

为顶角8,后后为底边.

⑴在椭圆中，

①焦点三角形的周长是定值，7=2a+2c.

②△冏片中三边的关系，除定义I朋1+1咫1=2a外，还有余弦定理：

冯为2=|冏产+|坐『-21冏|•|空|•cose.

③冏I♦遇I的最大值为才(当且仅当商=0时取得)，最小值为次当且仅当X。=±a时取得).

7a

=-1/7*11l/Y^lsin3="tan-=djbl,当bI=6,即P为短轴端点时，S^PF7FZ取得

最大值，最大值为be.

⑵在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△冏公，由余

h2

弦定理与定义可得SAPF#2=4=C・%.

tan—

「典例引领

例眇已知凡F2是椭圆《星=l(a>6>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，乙F\PFz=60°.

⑴求椭圆的离心率的取值范围；

(2)求证：△后型的面积只与椭圆的短轴长有关.

⑴解：设I/河=0，I/福=&

|PF，2+|PF2|2—IF7F2I2

在△后咫中，由余弦定理，得cos乙F\PFz

2\PF1\\PF2\'

222222222

[m+n)—2mn—4c4a-4c12(a—c)12(a-c)112c

即cos60----------------------------------二--------------------1N----------]=-----o----1=1--T1-24当且

2mn2mn(m-nya，a，

仅当初=〃时取“="，所以

又e£(0,1),所以eeg,7).

⑵证明：由⑴，知颉6。。=小吟鬻丝=学-1,所以皿=/

所以5.后2=如5也60°=高机

即巩的面积只与椭圆的短轴长有关.

22

例呼如图所示，已知凡凡分别为双曲线点一当=l(a>0,6>0)的左、右焦点，点〃为

双曲线上一点，并且乙后加芭=6,求△姐E的面积.

解：在△姐E中，由余弦定理，得旧尸产+阳乙产-21炳IT加阿•cos氏①

因为巴凡『=4X\MF^+\MF^=(\MF^-\MF^+2\MF^•\MF?\=4/+2\MF^-

所以①式化为4/=4/+21儿阴I-IMR>I(1-cos6»),

所以I炳I•I加码~

b^-Psin^-cos^标

所以5.尸必=加网.I幽・sin”寒I

7-(7-2sin2^)tan?

、一题N解-深化综合提“素养”才

「试题呈现

22

已知4F,P分别为双曲线点-方=l（a>0,加0）的左顶点、右焦点以及右支上的动点.若

乙期4=24以尸恒成立，则双曲线的离心率为（）

A.V?B,V5

C.2D.1+V5

［四字程序］

读想算思

1.双曲线的离心率的设乙双尸=

A,b分别是双曲

表达式是什么？«,建立

线的左顶点和右数形

2.如何把几何条件2K4户和

焦点，P是双曲线结合

乙质4=22K4尸转化乙上4之间的

右支上的动点

为代数式联系

1.e=-=y/1+%.利用特殊值法或

aa，tanA.PFA=

乙PFA=22PAF,

转化为直线的倾斜tan2a=者代数运算，都要

求双曲线的离心2.

角，进而用直线的斜率2tana结合图形解决问

率

表示二者之间的关系7-tan2a题

「一题多解

解法IB

思路参考：特殊值法，不妨设4小4=90°求解.

C解析：因为乙咫4=24K4「恒成立，

不妨令乙加4=90°,则乙K4F=45°.

在双曲线a-方=1中，令X=C,易得尸(c,±^-).

因为tanZK4尸=1,所以2=a+c,

a

所以，-ac-2/=0,

所以(c+®(c-2a)=0,

解得c=2a,即e=2.

解法顺

思路参考：利用诱导公式表示出直线K4,即之间斜率的关系求解.

—2tana—2kj

C解析：T§LAPAF=a,APFA=2akpA-k\,kpF=k2,k2=tan(or-2a)=7—tan2a7—k5

22

设点K蜀,jb),故*-相=1.①

因为k?=J。,ki=J：,

XQ—CXQ~FO.

_2yo(xo+a).

所以看(xo+a)2_近L

联立①②消去为得:

(4—%)+(45-2c)Ab+c2-Zac=0,(*)

c2

4一L

当且仅当Qa_2c=0,时，(*)式恒成立,

c2—2ac=0

此时6=9=2.

a

解法顺

思路参考：构造相似三角形，结合平面几何知识求解.

C解析：如图1,2ACB=2乙ABC,由平面几何知识,

丛ACDs丛BAD,故白品

所以，-"=a6,反之亦然.

b-»D

图1

在双曲线中，设点凡电用,

过点尸作为让力公如图2.

图2

因为乙次财=2乙现公

同理可得1"4|2_|阳2=|月川•出凡

2

XI/MI-I阳2=(3明2+I协2)_。防2+|协2)=(9M+|同乂口的_\MP\)=\AF\•(2商+a-c),

所以I阳=2商+a-c.

由双曲线的焦半径公式知，\PR=ex0-a,

所以2即+a-c=函一a,此时e=?=2.

解法0

思路参考：设出点Am,n),利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解.

C解析：如图，作加工力尸于点M

设424尸="，APFA=2a,设点H",n).

在RtZ\K44/中，tana='—,

在中，tan2ar=—.

2tana

因为tan2a

7—tan2a)

所以q=芝噢，

c—m(m-z-a)—nz

所以2(m+a)(c-㈤=(m+/-4，

所以2(m+M(c-m)=(m+a)2—(勺-D艮

所以-24+2(c-a)m+2ac=(7-1),+2am+，恒成立.

b2

-2滔，

所以｛c—a=a,所以e=?=2.

2a=c,

「思维升华

1.本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a,c的关系

式.

2.基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公

式.本题的解答体现了数学运算的核心素养.

3.基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的

统一.

「类题试练

已知双曲线C：p-p=l(a>0,加0)的离心率为42则点(4,0)到C的渐近线的距离为()

A.V?B,2

C.哼D.2V?

D解析：(方法一)由离心率e=?=，2得又"=才-/,得6=a,所以双曲线C的

渐近线方程为y=±x由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为高

=242

(方法二)离心率e="的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y=±x,所以点(4,0)到双

曲线C的渐近线的距离为$=242

V1+1

课时质量评价(四十八)

A组全考点巩固练

1.已知动圆/与圆G：(x+4产+卢=2外切，与圆G：(X-4y+/=2内切，则动圆圆心〃

的轨迹方程为()

A.5■一勺=1我三份B.三一勺=l(xW-dZ

C.孑+%=l(x与2D.5+卷=l(xW-乃

A解析：设动圆M的半径为r,由题意可得"GI=r+'21Ao=r-42所以M7GLI

=2q=2a,故由双曲线的定义可知动点〃在以Q(-4,0),0(4,0)为焦点，实轴长为2a

=242的双曲线的右支上，即a=<2,c=4=/^=16-2=14,故动圆圆心711的轨迹方程为彳—

与=1(心心

22

2.已知双曲线G:一标=1S>。)，A凡分别为。的左、右焦点，过凡的直线/分别交

。的左、右支于点4B,且弘司=1班I,则L4H=()

A.4B.8

C.16D.32

C解析：由双曲线定义知L4EI-L4/=2a,I班1-1即1=2a,由于凶R=l班I,所以两式相

加可得L4国-I却引=4a,而1451=\AF^-\BF^,

所以L4H=4a,由双曲线方程知a=4,所以L45=16.故选C.

22

3.已知双曲线与一左=1（岳0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的

两条渐近线相交于4B,C,。四点，四边形月方磔的面积为26,则双曲线的方程为（）

^_^1

A.=B.=1

4443

x2/1

C.D.

D解析：根据对称性，不妨设/在第一象限，A（x,力

4

x2+y2=4,x

所以{_b={4b

y=，xy=w，

所以灯=色.2=9"=12,故双曲线的方程为9一*L故选D.

4.设后，凡是双曲线C必-（=1的两个焦点，。为坐标原点，点P在C上且1⑪=2,

则△冏片的面积是（）

A.-2B.3

C.jD.2

B解析：由题意可得a=l,b=73,c=2,

所以I及码=2c=4.

因为IOfl=2,

所以区国，所以△冏后为直角三角形，

所以PFJPR,

所以I冏E+I型|2=4，=16.

因为II朋l-l%ll=2a=2,

所以I冏F+\PF^-217^17率I=4,

所以I冏I•1%1=6,

所以△冏石的面积为5=夕狎・1%1=3.故选B.

22

5,已知凡凡是双曲线右一片=l（a>0,6>0）的两个焦点，点P在双曲线上，△冏凡是等

腰三角形且底角的余弦值为则该双曲线的离心率为（）

A.-B.-

33

C.34D.2

D解析：不妨设点P在第一象限，如图，I型l=2c,I阳l=2c+2a,

所以需=誓=］所以?=2.（当冏=后石时不成立）

\rr2\NC4CL

w^/o\FX

6.（多选题）已知双曲线石9=1（勿>0）的一条渐近线方程为x+3y=0,则下列说法正

确的是（）

A,双曲线E的焦点在x轴上

4

B.m=-

C.双曲线£的实轴长为6

D,双曲线E的离心率为呼

AD解析：由m>0,可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得2=负

aVm

=g所以"=36,故B错误；双曲线£的实轴长为W京=12,故C错误；双曲线£的离

心率e=?=’禽4=与,故D正确.故选AD.

22

7.已知尸为双曲线G点一方=l（a>0,6>0）的右焦点，/为C的右顶点，8为C上的点，

且反垂直于x轴.若力笈的斜率为3,则C的离心率为

2解析：如图，2（a,0）.

由卸Ux轴且力8的斜率为3,知点5在第一象限，且双C,%,

--0

贝!J以/=^2^=3,即Z^=3ac-3/.

又因为"=/+严，即〃="—/所以/―3四+2才=0,

所以3e+2=0.解得e=2或e=1（舍去）.故e=2.

8.（2022•全国甲卷）若双曲线/-^=1（。>0）的渐近线与圆M+/-4y+3=0相切，贝ijm=

y解析：双曲线的渐近线为y=±5，即X土my=0,不妨取x+my=0,圆

/+/-4y+3=0,即V+(y-2)2=l,所以圆心为(0,2),半径r=l,依题意圆心(0,2)到渐

近线x+叫=0的距离cf=~^==1,解得m=日或m=-§(舍去).

Vl+m233

9.已知中心在原点的双曲线。的右焦点为(4,0),实轴长为W3

⑴求双曲线。的标准方程；

(2)若直线/：*依+26与双曲线。的左支交于48两点，求左的取值范围.

22

解：⑴设双曲线。的方程为，一色=l(a>0,b>0).

由已知得3=2-3,c=4,再由才+"=

得匹4,所以双曲线。的标准方程为［一展1.

⑵设4必，％),B(XB,疥将片Ax+2上与4一9=1联立，得(1-3的12北打-36=

0.

7-3k2*0,

4=(-72y/~2k)24x(7-3k2)x36>0,

由题意知｛.J2y/~2kn

X4+XR=——<0,

ABl-3k2'

-36八

X.X=——-7>0,

ABRl-3k2’

解得¥<*<1.

所以当学<左<1时，/与双曲线左支有两个交点.

B组新高考培优练

v2

10.(多选题)已知双曲线GA(A<0),贝！J()

A.双曲线。的实轴长为定值

B.双曲线C的焦点在y轴上

C.双曲线C的离心率为定值

双曲线。的渐近线方程为y=土争

D.

222

BCD解析：由曲线G^-/=A(A<0),整理可得看一3=1(A<0),所以曲线表示焦点

z—A—zA

在y轴上的双曲线，且成=-4(4<0),不是定值，所以A不正确，B正确；离心率e=(

=斤毛=犷弓/为定值，所以C正确；渐近线的方程为1=即尸士今所以D

正确.故选BCD.

22

11.已知双曲线%-标=l(a>0,6>0)的一个焦点落在直线y=x-2上，双曲线的焦点到渐

近线的距离为1,则双曲线的方程为()

C.—=1D.^-/=1

D解析：依题意得，直线y=x-2与x轴的交点（2,0）是双曲线的一个焦点，于是有/+Z^

=4.又双曲线的焦点到渐近线的距离为6=1,因此有才=3,故双曲线的方程为^-^=1.

22

12.已知双曲线力一点=l（a>0,6>0）的离心率eE（l,2],则其经过第一、三象限的渐近

线的倾斜角的取值范围是（）

A.（。,