超几何分布 (典型题型归类训练)原卷版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题02超几何分布(典型题型归类训练)

一、必备秘籍

1、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表

示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X=k)=/N-Mk=m,m+l,m+2,---r

C"N

其中"，N,MwN*，M<N,n<N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},则称随机变

量X服从超几何分布.

2、公式P(X=k尸M中个字母的含义

CN

N一总体中的个体总数

M一总体中的特殊个体总数(如次品总数)

n一样本容量

友一样本中的特殊个体数(如次品数)

注意：

(1)“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；

(2)不放回抽样；

(3)注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.

二、典型题型

题型一：超几何分布的概率问题

1.(2024上•浙江湖州•高三统考期末)杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会

之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.

某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观众设置了两轮"庆亚运、

送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台

会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X(幸

运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人).

(1)已知小杭是这前N名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为q，求N的值;

(2)当尸(X=20)取到最大值时，求N的值.

2.（2023•上海普陀•统考一模）我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，"延迟退休"已成

为公众关注的热点话题之一,为了了解公众对“延迟退休"的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调

查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.

⑴经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；

⑵经统计年龄在［50,59）的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选

取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）

3.（2023•全国•高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外其余均相

同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到

2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率.

4.（2022上•上海虹口•高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批"件产品的次品率为2%,现从中任

意地依次抽出3件进行检验.

⑴当“=500,"=5000,"=50000,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

（2）当“=500,M=5000,n=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

⑶（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.

题型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差

1.(2024上•山东德州•高二统考期末)为落实"双减"政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护

工作.现随机抽取该小学三年级的8个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：

班级代号12345678

需看护学生人数2022273025233221

⑴若将上述表格中人数低于25人的班级两两组合进行看护，求班级代号为1、2的两个班合班看护的概率;

(2)从已抽取的8个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数低于25人的班级数为X,

求X的分布列及数学期望.

2.(2024上•广东潮州•高三统考期末)2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，

首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又

一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查(满分100分)，这100名

游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所

示.

上频率/组距

0.045----------

0.020-------------

0.010-1-

0.005;---------------1

。「5：06’07’08’0力0务数

⑴根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表)；

(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组[50,60),[60,70),

[80,90)的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于[80,90)的人数g的分布列和

数学期望.

3.（2024上•广东揭阳•高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动,

记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成［6,10）,［10,14）,［14,18）,［18,22）,［22,26］这5组,

并得到如下频率分布直方图：

（1）估计全班同学的平均进球个数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

⑵现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在［10,14）,［14,18）,［22,26］内的同学中抽取8人进行培

训，再从中抽取3人做进一步培训.

（i）记这3人中进球个数在［14,18）的人数为X,求X的分布列与数学期望；

（ii）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率.

4.（2023上•河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司

对该地区〃名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间［0.5,1.1］内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a,b,c,d满足

d=c+Q.5=b+1=a+1.5,且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

⑵现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，

①求在各组应该抽取的人数；

②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X,求随机变量X的分布列与

数学期望.

5.（2023上•甘肃白银•高三甘肃校联考阶段练习）某商家2023年1月至7月A商品的月

销售量的数据如下图所示，若月份无与A商品的月销售量V存在线性关系.

⑴求月份x与A商品的月销售量了的回归直线方程；

（2）若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于50的视为良好，记5分，月销售量

不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.

n__

盯7

参考公式：回归直线方程f=八+&,其中力=3-宸,方=三---------1344,3=43.

,x；-nx~1=1

i=l

三、专项训练

1.（2024上•湖南常德•高三常德市一中校考阶段练习）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，

针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率x%对每年顾客投诉次数y

（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率X%和每年顾客投诉次数V的数据作了

初步处理，得到下面的一些统计量的值.

8888

和，Sz£（王-可2

Z=1Z=1Z=1Z=1

60059243837.293.8

⑴求V关于x的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为84%,试估算2024年顾客对火车站投诉的

次数；

（2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀"，2年为"良好"，若从这8

年中随机抽取3年，记其中评价“良好"的年数为X,求X的分布列和数学期望.

附：经验回归直线J=%+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

、£%％一〃孙

b=-n--------------，a=y-bx

ED2

i=l

2.（2023•陕西西安•统考一模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对

照组（不加药物）和实验组（加药物）.

⑴设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数机，并完成下面2x2列联表:

<23.4>23.4合计

对照组

实验组

合计

（ii）根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用

n（ad-bc^甘上77

附：K2=7-------―w——-------------7，其中n=a+b+c+d.

2

P(K>k0)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

3.（2023上•内蒙古呼伦贝尔・高二海拉尔第二中学校考期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球

2

有小个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为二.

（1）求加的值；

⑵现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为X,求X的分布列和数学期望.

4.（2023,全国•模拟预测）为落实节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调

查统计，随机抽取A型和8型设备各100台，得到如下频率分布直方图.

⑴将使用寿命

超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表，并根据小概率值c=0.001的独立性检验，判

断使用寿命是否超过2500小时与型号有没有关联，说明理由.

使用寿命

型号合计

超过2500小时不超过2500小时

A型

B型

合计

（2）用分层抽样的方法从使用寿命不超过2500小时的A型和8型设备中共抽取16台，再从这16台设备中随机

抽取2台，设其中A型设备有X台，求X的分布列和后（刀2）.

⑶现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间若设备损坏，则立即更换同型

号设备（更换设备的时间忽略不计）.A型和8型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设

备每台每小时分别耗电2度（1度=1千瓦时）和6度，电价为0.75元/度.用频率估计概率，只考虑设备的成

本和电费，你认为应选择哪种型号的设备？说明理由.

附：_______"(ad-bcg____

其中〃=〃+6+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（/温）0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

5.(2023・全国-IWJ二课堂例题)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随

机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

⑴分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；

⑵分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率:

6.(2022上•上海嘉定•高二校考期中)已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3

轮发出，每轮随机发出5张卡.

⑴求事件"第1轮无红色卡牌”的概率Pi;

⑵求事件"第1轮有至少3张红色卡牌"的概率°?；

⑶求事件"每轮均有红色卡牌”的概率2.

7.(2022•北京・景山学校校考模拟预测)4月23日是联合国教科文组织确定的"世界读书日为了解某地

区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学

生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

0.15...............................

a................................

SO5

SO4

O3

O.2

O.O1

O.

.OO246

81012141618日平均阅读时间/小时

⑴从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在

（12,14］,（14,16］,（16,18］三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3

人，记日平均阅读时间在。4,16］内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

⑶以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用尸化）表示这10名学生中恰有

4名学生日平均阅读时间在（8,12］内的概率，其中左=0,1,2,10.当尸（左）最大时，写出发的值.（只

需写出结论）

8.（2020•福建福州•统考模拟预测）某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，

物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将

每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,£共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、

35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地

理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分丫服从正态分布M75836）.若Y〜N（g,令匕幺，则

请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多

少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记J为被

抽到的原始分不低于71分的学生人数，求尸4=k）取得最大值时k的值.

附：若〃~N（0,l）,则尸（〃0.8）~0.788,尸（〃1.04）^0.85.

9.（2020•安徽安庆•统考二模）某小区为了加强对"新型冠状病毒"的防控，确保居民在小区封闭期间生活不

受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民

户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.

①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在［3,4）（单位：kg）的概率是多少？

②若抽取的5户中购买量在［3,6］（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3

户中需求量在［3,6］（单位：kg）的户数为九求J的分布列和期望；

（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该居

民户称为“迫切需求户"，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.

10.（2020上•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考

"3+1+2"中的"2"要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋

分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从

高到低划分为48,C