2024年新高考数学一轮复习：直线平面垂直的判定与性质（教师版）

第41讲直线、平面垂直的判定与性质（达标检测）

[A组]一应知应会

1.三棱锥「一中，侧面F7BCi底面NBC,ZABC=45°,VA=VB,AC=AB,则（）

v

A.AC1BCB.VBLACC.E41BCD.VC1AB

【分析】由题易知，AABC为等腰直角三角形，且N/C8=N48C=45°,即选项/错误；

过点厂作忆。工3。于。，连接ON,由面面垂直的性质定理可证得91平面48C,即修在底面48C上的

投影为点。，从而得H018C;由以=9和％。1平面48c可推出。4=。5,ZOAB=AOBA=45°,即

OALBC,结合线面垂直的判定定理得BCi平面-。/,从而得以L8C,即选项C正确；

由三垂线定理可知选项8和。均错误.

【解答】解：..//3C=45。，AC=AB,；.AABC为等腰直角三角形，且N/C3=N4BC=45。，

,/C与BC不垂直，即选项/错误；

A

过点片作-。工台。于。，连接。/,

;侧面rBCL底面NBC,面面Z8C=8C,.•JO1面48C,即忆在底面N2C上的投影为点。,

WCu面4BC,VOLBC.

'：VA=VB,OA=OB,ZOAB=AOBA=45°,OA1BC,

：V0,O/u面VOC\OA=O,5C1VOA,

,「以＜=面n0/,VALBC,即选项C正确；

由三垂线定理知，^VB1AC,VCLAB,贝IJ3C1/C,BCLAB,这与N/C8=N/BC=45。相矛盾，即

选项3和。均错误.

故选：c.

2.在如图，在以下四个正方体中，直线与平面COE垂直的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】对四个图，分别运用异面直线所成角的定义和线面垂直的性质定理和判定定理，即可得到结论.

【解答】解：对于①，由4D//CE,且48与CE成45。的角，不垂直，则直线43与平面CDE不垂直；

对于②，由于/3LDE,ABi.CE,由线面垂直的判定定理可得1平面CDE；

对于③，43与CE成60。的角，不垂直，则直线与平面COE不垂直；

对于④，连接BF,由正方形的性质可得i2尸，而/尸_L平面EFDB，可得4F1DE,则DE1平面ABF,

即有DE1AB,

同理可得N31CE,所以平面CD瓦

综上，②④满足题意.

故选：B.

3.已知N3是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于N,5的一点，D为下底面圆周上一点，且

AD1圆柱的底面，则必有（）

A,平面ABC1平面BCDB,平面BCD1平面ACD

C,平面ABD1平面ACDD.平面BCD1平面ABD

【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可.

【解答】解：因为43是圆柱上底面的一条直径，所以/C13C,又/。垂直圆柱的底面，

所以因为=

所以BC1平面/CD,因为BCu平面BCD,

所以平面BCD1平面ACD.

4.在长方体中，AB=^2AD,£为棱CO的中点，则（）

A.AXE1DDiB.AXE1DBC.AXE1DXCXD.A.E1DBX

ARAr)f—

【分析】连结ZE,BD,则——=——=V2,l^ABD^^DAE,仄而NDAE=NABD,进而/E18。，BD1

ADDE

平面AXAE,由此得到AXE1DB.

【解答】解：连结NE.BD,

lARAV)f—

因为48=a4D,所以〃一=—=也，

ADDE

所以AIBDSAZME,所以NDAE=ZABD,

所以N£AS+N/5O=90。，BPAELBD,

所以3DL平面

所以4E1DB.

故选：B.

5.如图，垂直于以为直径的圆所在平面，。为圆上异于4,3的任意一点，/£!尸。垂足为£,

点尸是P5上一点，则下列判断中不正确的是（）

A

A.BC±平面PACB.AE1EF

C.AC1PBD,平面AEF1平面PBC

【分析】在/中，推导出3C1/C,PA1BC,从而3cl平面尸NC,可得正确；

在3中，由BC1平面P/C,可证8cl/E,又AE1PC,可证/£1平面P3C,即可证明4E1£尸，可

得正确；

在C中，由NC18C,得若/C1P8,则NCL平面网C,与/C1尸N矛盾，可得错误；

在D中，由/£1平面尸BC,/Eu面4E7"即可证明平面4EF1平面P3C,可得正确.

【解答】解：在《中，7C为圆上异于/,3的任意一点，

BC1AC,

'：PALBC,PAC\AC=A,BCiPAC,故/正确；

在3中，平面P/C,/Eu平面尸/C,BCVAE,

'：AE1PC,PCC\BC=C,AE1PBC,

:Mu平面尸BC,AELEF,故8正确；

在C中.•.若/C1尸2,则/Cl平面P3C,贝IJ/C1PC,与/CiP/矛盾，故/C与尸5不垂直,

故C错误；

在。中，..•/£1平面尸3C,4Eu面4EF,r.平面4EF1平面E8C,故。正确.

6.已知直线。和平面a、/?有如下关系：①a_L£,②a//£,③al/?,④a//a,则下列命题为真的是

)

A.①③n④B.①④n③C.③④=①D.②③=④

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个选项得答案.

【解答】解：对于/,由。上万，,可得a//a或aua,故/错误；

对于3,由al/?,alia,可得au/5或。//万或。与/?相交，故3错误；

对于C,由a//a,过。作平面/与a相交，交线为6,贝l]a//6,

'.'a1/3,:.b/3,而6ua,可得al£,故C正确；

对于。，由a//£,a【B,可得a_La,故。错误.

故选：C.

7.已知三棱锥P-48C中，若P4,PB,尸C两两互相垂直，作PO1平面/2C,垂足为。，则点。是AA8C

的（）

A.外心B.内心C,重心D.垂心

卜分析】由题意分析可证得8E工/C、ADVBC,符合这一性质的点。是AABC垂心.

【解答】解：连结工。并延长，交8C与。连结8。并延长，交4c与E；

因尸/_L尸3,PA1PC,故尸N1面PBC,故P/_L8C；

因尸。1面NBC,故尸O1BC,故BC1面7M。，故/O1BC,即4DiBC；

同理：BE1AC；故。是AABC的垂心.

故选：D.

8.把边长为4的正方形45CD,沿对角线8。折成空间四边形/BCD,使得平面45。上平面BCD,则空

间四边形48。的对角线/C的长为（）

A.4B.4>/2C.2D,272

【分析】根据题意画出图形，结合图形求出空间四边形N8CD的对角线/C的长.

c

【解答】解：如图所示，3

取的中点。，连接/0、CO,则/O1AD,COVBD,

由平面ABD1平面BCD,且平面ABDC平面BCD=BD,

所以乙4。。=90。；

XAO=CO=-BD=-x472=272,

22

所以3=/。2+。。2=8+8=16,

所以/C=4.

即空间四边形ABCD的对角线AC=4.

故选：A.

9.如图1,已知尸48c是直角梯形，ABUPC,ABLBC,。在线段尸C上，AD1PC.将APN。沿/D折

起，使平面1平面/3CD,连接PB,PC,设PB的中点为N,如图2.对于图2,下列选项错误的是

()

P_?_c

I

AB

图1图2

A,平面PAB1平面PBCB.BC1平面PDC

C.PD1ACD.PB=2AN

【分析】由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD1平面ABCD,判定C正确；进一步得到平面PCD1平

®ABCD,结合8cle。判定2正确；再证明N31平面尸/D,得到AP/8为直角三角形，判定。正确；

由错误的选项存在可知A错误.

【解答】解：如图，

pD

II

'、I/jx***^yZ

4B彳“B

图l图2

图1中40J.尸C,则图2中PD_L40,

又「平面PAD1平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,

PD1ABCD,则尸。INC,故选项C正确；

由尸D1平面ABCD,PDu平面PDC,得平面PDC1平面ABCD,

而平面尸DCC平面48cz)=CD,BCu平面48cD,BC1CD,

.•.8C1平面包(C,故选项8正确；

'：AB1AD,平面PAD1平面ABCD,且平面PADC平面ABCD=AD,

1平面尸4D,则481R4,即"43是以PB为斜边的直角三角形，

而N为P5的中点，则P2=2ZN,故选项。正确.

因此错误的只能是4.

故选：A.

10.已知四棱锥S-48co中，四边形4BC。为等腰梯形，ADUBC,ABAD=120°,△54D是等边三角形，

且S/=/3=26,若点P在四棱锥S-/BCD的外接球面上运动，记点P到平面A8CD的距离为若平

面SAD1平面ABCD,则d的最大值为()

A.V13+1B,V13+2C,V15+1D,V15+2

【分析】依题意，NAfflC=4,取8C的中点E,作OE1平面NBC。，OF1平面S48,则。是人锥S-Z8C。

3

的外接球的球心，且。尸==3,AF=2,设四棱锥S-ABCD的外接球半径为R,则R2=SF2+OF2=13,

OE=DF=1,由此当四棱锥S-ABCD的体积最大时，能求出当d的最大值.

【解答】解：依题意，ZWC=1,取8C的中点E,

则E是等腰梯形/BCD外接圆的圆心，F是ASAD的外心，

作OE1平面4BC。，。-1平面

则O是人锥S-ABCD的外接球的球心，且OF=DE=3,AF=2,

设四棱锥S-ABCD的外接球半径为R,

贝1JR2=SF2+OF2=13.

贝IJOE=DF=\,

：.当四棱锥S-ABCD的体积最大时,

八=夫+。£=而+1

故选：A.

1L（多选）在四棱锥尸中，底面488是正方形，侧棱底面4BC，PD=DC,E是棱PC

的中点，作斯上网交居于点尸，则有（）

A.异面直线尸工与2。所成角大小为幺

3

B.平面尸/C1平面尸

C.PB1平面EFD

D.BD1ED

【分析】连结NC,BD,交于点0,连结OE,推导出P///OE,从而NE0C是异面直线PN与所成角，

推导出O£=OC=£C,从而求出异面直线尸/与2。所成角大小为土；推导出PDl/C，ACLBD,从而

3

NC1平面/BCD,由此得到平面尸/Cl平面PD5；推导出PO1BC,BCLCD,DELPC,从而。El

平面PBC,进而PBLDE,再由EFiPB,得至ljPB1平面EFD；由。£1平面PBC,知DE1EB.

【解答】解：如图，连结/C,BD,交于点。，连结OE,

,「底面N8CZ）是正方形，.【。是/C中点，

是棱尸C的中点，：.PAHOE,

：.ZEOC是异面直线PA与BD所成角，

...底面N8CD是正方形，侧棱尸D1底面N8CD,PD=DC,

OE=OC=EC,ZEOC=-,

3

.•.异面直线P/与8。所成角大小为故N正确；

7PD1平面/BCD,:.PD1AC,

又AC工BD,PDCDB=D,PDu平面尸D8,3Du平面尸3。，

AC15F®ABCD,又/Cu平面尸NC,平面尸/C1平面PD2,故3正确；

,：PD1^^ABCD,PDLBC,

由底面ABCL•是正方形，得BCLCD,

：PD=DC,E是尸C的中点，DELPC,：PC(yBC=C,.,.。£1平面「2。，

7P8u平面尸3C,PBIDE,又EF1PB,DE^\EF=E,PB1EFD,故C正确;

由。Ei平面PBC,知DE1E2,故。错误.

故选：ABC.

12.（多选）如图所示，在四个正方体中，/是正方体的一条体对角线,点M,N,尸分别为其所在棱的中

点，能得出/I平面〃八？的图形为（）

]

APj

斗

,fSy-----J

C.D.

【分析】根据正方体的性质即可判断出结论.

【解答】解：对于4D.根据正方体的性质可得：ILMN,ILMP,可得/±平面必VF.

而3c无法得出/1平面MAP.

故选：AD.

13.若直线口垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于N,8的一点，有下列关系：

（X）PA1BC-,②BC1平面尸/C；@AC1PB；@PC1BC.

其中正确的是^一.

【分析】①由直线尸/垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BCu以4g为直径的圆所在的平面,得尸/1BC-,

②由AC1BC,PA1BC,得BC1平面PAC-,

③由/Cl3C,但/C与尸。相交且不垂直，得/C与必不垂直；

④由BC1平面尸/C,得尸C18C.

【解答】解：:直线尸/垂直于以为直径的圆所在的平面，

C为圆周上异于4,3的一点，

.^.BCu以45为直径的圆所在的平面，.•.P/lBC,故①正确；

7是圆的直径，C为圆周上异于8的一点，

AC1BC,又PA1BC,ACQPA=A,

.•.8C1平面尸/C,故②正确；

..ZCiBC,但/C与尸C相交且不垂直，二/C与尸8不垂直，故③错误；

IBCl平面尸/C,尸Cu平面尸/C,PCLBC,故④正确.

故答案为：①②④.

14.在四棱锥S-/3C。中，底面四边形4SCD为矩形，ML平面/BCD,P,。别是线段8S,4D的中

点，点R在线段5D上.若4s=4,AD=2,AR1PQ,贝ij/火=.

【分析】取取的中点£,连接PE,QE.由已知证明尸结合已知4R1P。，可得/R1平面尸EQ,

得到/R1E。，进一步得到NR1S。，在直角三角形弘。中，由等面积法求解

【解答】解：取&4的中点E,连接尸£,QE.

二”1平面N8CD,48<=平面/80),SAIAB,

而481/。，AD(^SA=A,.•.481平面S4D,故PE1平面S4D,

又/Ru平面SAD,PELAR.

又：4R1PQ,PEC\PQ=P,...NRl平面尸EQ,

「EQu平面PEQ,ARLEQ.

,:E,。分别为分,4D的中点，.・.E0//SD,JU!]ARLSD,

在直角三角形/SD中，AS=4,AD=2,可求得SO=2石.

由等面积法可得/R=W

15.已知四边长均为2G的空间四边形NBC。的顶点都在同一个球面上，若NBAD」,平面N8O1平面

3

CBD,则该球的体积为

【分析】根据题意画出图形，结合图形得出A48。与A5C。均为等边三角形，求出四面体/2C®外接球的半

径，再计算外接球的体积.

【解答】解：如图所示,

设E是M.BD的外心，F是A5co的外心,

过£,尸分别作平面/AD与平面BCD的垂线OE、OF,相交于。；

由空间四边形43CD的边长为23，ABAD=-,

3

所以MBD与KBCD均为等边三角形；

又平面ABD1平面C5。,

所以O为四面体ABCD外接球的球心；

又/£=袁（2回2_（何=2,OE=\,

所以外接球的半径为R==V5；

所以外接球的体积为V=程=yx后="手.

20岳

故答案为:

-3-

16.在正方体中，M,N分别是/禺的中点，P在4D上，若平面CW1平面&AP,

则2

AD

【分析】当尸为4。中点时，可得心1面7WC,即可得平面CMN1平面45尸，从而求得批.

AP

【解答】解：N分别是其耳的中点，.•.N/J/TW.

根据正方体的性质可得MN1面N8C。，即可得〃N_LP3.

当尸为中点时，CMLPB,又CM「\MN=M.

尸81面NMC,

即可得平面CMN1平面&BP.

则£=2.

17.已知四边形48CD是矩形，AB=4,AD=3,沿/C将MDC向上折起，使。为。，且平面40cl

平面48C,尸是4D，的中点，£是NC上一点，给出下列结论:

①存在点E,使得跖//平面BCD

②存在点£,使得跖1平面N8C

③存在点E,使得。E1平面45C

④存在点E,使得NCL平面

其中正确结论的序号是—.

【分析】①存在AC中点E,则EFIICD',利用线面平行的判定定理可得斯//平面BCD'；

②由平面NOC1平面N8C,可知只需所1AC即可使得跖1平面/8C；

③。E1/C,利用面面垂直的性质，可得。E1平面/BC；

④因为4BCD是矩形，48=4,40=3,所以3,。'在/C上的射影不是同一点，所以不存在点E,使得

AC1平面BD'E.

【解答】解：①存在/C中点E,则EF//C。，利用线面平行的判定定理可得所//平面BC。，正确；

②由平面/DC1平面N8C,可知只需所1/C即可使得跖1平面/8C,故正确；

③OE1/C,利用面面垂直的性质，可得。£1平面4BC,正确；

④因为ABC。是矩形，48=4,40=3,所以B,。'在/C上的射影不是同一点，所以不存在点E,使得

/。1平面8。上，故不正确；

故答案为：①②③.

18.如图所示，在四棱锥P-/BCD中，底面/BCD是菱形，ZDAB=g侧面尸/D是等边三角形，且平面

PF

PAD1ABCD,E为棱PC上一点，若平面平面/5C。，则——=.

/；

【分析】取/。的中点。，连接。c交3。于尸点，推导出/C=20F.尸。1平面N8CD,OP//EF,由此

能求出结果.

【解答】解：取/。的中点。，连接。C交3。于尸点，连结EF,

'：OD//BC,BC=2OD,FC=2OF.

;平面尸AD1平面ABCD,POLAD,

PO1平面ABCD,

又7平面BDE1平面ABCD,

19.如图，已知六棱锥P-N5CDM的底面是正六边形，尸/_L平面48C,PA=2AB,则下列结论中:

①PB1AE；②平面48CJ,平面P3C；③直线3C//平面尸/£；④NPD4=45°.

其中正确的有—（把所有正确的序号都填上）.

【分析】①由尸/上平面/3C,及正六边形的性质易得：/£1平面尸/2,所以/E1P8,①正确;

②由尸/I平面48C,易得平面尸481平面/BC,所以平面/BC1平面尸3c不成立，②错；

③由正六边形的性质得2C//4D,但是4D与平面尸/E相交，所以③错；

④由尸/I平面/3C,可得又因为尸/=2/2,所以NPD/=45。，④正确.

【解答】解：对于①、由尸/±平面/BC,N£u平面/BC,得尸

又由正六边形的性质得/E1,PAC\AB=A,得NE1平面尸48,又PBu平面

AELPB,①正确;

对于②、又平面尸工平面/8C,所以平面N8C1平面尸3C不成立，②错；

对于③、由正六边形的性质得8C//N。，又NDu平面尸二台。//平面P/D,.•.直线8C//平面尸4E也

不成立，③错；

对于④、在RtAPAD中，PA=AD=2AB,ZPDA=45°,.,.④正确.

故答案为：①④

20.如图，在正方体48CD-4⑸G。中，M,N分别是4D1,4月的中点.证明：

(1)M2V//平面8DD百；

(2)4。_1平面/耳2.

【分析】(D推导出MN/ABQi，由此能证明MN//平面8。2瓦.

(2)连结4G，4。，推导出CQ1,从而瓦。1平面4GC,进而用314c,同理

AD,14c,由此能证明4c1平面/月2.

【解答】证明：(1),N分别是/〃，典的中点，耳2，

,:BRiu平面BDDtBt,MN<t平面BDDlBl,

MN//平面BDRBi.

(2)连结4G，仲,

由正方体的性质知44GA是正方形，则4G1BQ-

由正方体的性质可知CGI平面431G2，

CCj1BQi，

,.,cqn4cLG,BXDX1平面4G。，

,「4Cu平面4G。，用2iAfi,

同理可证4214c,

'：BiDir\ADl=Dt,Afi1平面4BR.

21.如图，四棱锥尸一/BC。中，AB//CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,AABC=90°,S.PB=PC.

(1)求证：平面PN。1平面/BCD；

(2)求点。到平面尸2C的距离.

【分析】(D取40、3c的中点分别为〃、E,连结PW,PE,ME,由已知可证PELBC,

利用线面垂直的判定定理可证3c1平面PME,利用线面垂直的性质可证PM1BC,又PMLAD,可证

PM1平面ABCD,利用面面垂直的判定定理可证平面PAD1平面ABCD.

(2)由(1)及题意知为三棱锥的高，设点。到平面P2C的距离为队利用等体积法，三角

形的面积公式可求〃的值，即可得解.

【解答】解：⑴取4D、3c的中点分别为M、E,连结9,PE,ME,

'：AB//CD,AB=3CD=3,

二.四边形N3CD为梯形，

又、E为4D、8C的中点，

.•・"石为梯形的中位线，，龙////8,

又..2/2。=90°,

MELBC,

'：PB=PC,£为8C的中点

PELBC,

丈：PECME=E,PEu平面尸ME,腔(=平面产田£,

:.BC1平面PME,

又,「PA/u平面尸1BC,

由尸/=PD,M为4D中点，PMLAD,

又：4D,5C不平行，必相交于某一点，且2。都在平面/BCD上，

PM1平面ABCD,

由PMu平面PAD,则平面PAD1平面ABCD.

(2)由⑴及题意知，PAf为三棱锥P-3CD的高，40=2及，ME=2,PM=母,故PE=屈,

・：S/BC=：BCxPE=：x2x^=屈,且％⑺=15CxCD=1x2xl=l,

设点D到平面PBC的距离为h,

由等体积法知」…=%”小心义PM>…hJ2叵十屈小

cA

解得a=发，所以点。到平面PBC的距离为—.

33

22.如图，在三棱锥O-/8C中，已知ASCD是正三角形，工平面BCD,AB=BC=a,E为8C的中

点，厂在棱NC上，且/尸=3FC.

(1)求证：AC1DEF；

(2)若“为8。的中点，问NC上是否存在一点N,使"V//平面DE尸？若存在，说明点N的位置；若

不存在，请说明理由.

【分析】(D取NC的中点“，推导出B81/C,EFIIBH,贝ijEFl/C,再求出。ELBC,ABiDE,

从而DEI平面48C,进而。E1/C,由此能证明NC1平面。斯.

(2)连结CM,设CNnr)£=O,连结。尸，推导出存在这样的点N,当CN=-C4时，MN//平面DEF.

8

【解答】解：(1)证明：取NC的中点..ZBuBC,.•.381/C,

'：AF=3FC,尸为C"的中点，

7E为BC的中点，，/为CH的中点，

为8c的中点，EF//BH,则所INC,

7ASCD是正三角形，DELBC,

'：AB1平面BCD,ABLDE,

'：AB^\BC=B,DE1平面ABC,DELAC,

'：DEC\EF=E,AC1DEF.

3

(2)存在这样的点N,当CN=-C4时，MN//平面DEF.

8

连结CM,设连结。尸，

2

由条件知。为ASCD的重心，CO=-CM,

3

2

.•.当CF=—CN时，MN//OF,

3

313

：.CN=—x—CA=—CA.

248

[B组]—强基必备

1.在正四面体48CD中，已知E,尸分别是48,CD上的点（不含端点），贝版）

A.不存在E,F,使得昉1C。

B.存在E,使得DELCD

C.存在£,使得DEI平面/3C

D.存在£,F,使得平面CD£上平面48/

【分析】对于N,。两项：当E,尸分别是A8,。的中点时，易证M1CD,且平面CDE1平面/3斤.

对于3：可利用E在4g上移动时，NCOE的范围判断.

对于C：可将。看成三棱锥的顶点，则过。做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C.

【解答】解：⑴对于4D选项，取£,尸分别为N3,CD的中点如图：

因为/-8。是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形.

所以CE=DE,所以Ml。，同理可证跖1AS.故/错误；

又因为48iCE,ABLDE,且C£r|DE=E,故48工平面C£D,又48u平面/AF,

所以平面_L平面CED.故。正确.

(2)对于5选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当£在48上移动时，NCOE的最小值为直线C。与平

面NAD所成的角，即(1)中的NCOE,显然为锐角，最大角为N