专题2.1 直线的倾斜角与斜率-解析版

专题2.1直线的倾斜角与斜率【知识点1直线的倾斜角与斜率】1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．【知识点2两条直线平行的判定】1．两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示【知识点3两条直线垂直的判定】1．两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【注】判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．【题型1求直线的倾斜角】【例1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解出的斜率，然后根据求解出倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，因为，所以且，所以，故选：C.【变式1-1】（2023-2024·高二上·山东名校联盟·期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解.【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，因为，所以.故选：A.【变式1-2】（2023-2024·高二上·山东菏泽·期中）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________．【答案】【解析】【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.故答案为：.【题型2求直线的斜率】【例2】（2022-2023·高二上·山东烟台·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率.【详解】直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为，所以直线的倾斜角为，斜率为.故选：A【变式2-1】（2023-2024·高二上·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可.【详解】由题意知，该直线的斜率为，解得.故答案为：.【变式2-2】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）经过两点的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；故选：A【变式2-3】（2023-2024·高二下·山东泰安·期末）已知直线l与x轴的夹角为30∘，则直线lA．33 B．3 C．33或−33 【答案】C【分析】分直线l与x轴正方向和负方向的夹角为30∘两种情况讨论，从而确定直线l【详解】①当直线l与x轴正方向的夹角为30∘时，此时倾斜角为30∘，斜率为②当直线l与x轴负方向的夹角为30∘时，此时倾斜角为150∘，斜率为综上，直线l的斜率为33或−故选：C.【题型3已知直线的倾斜角或斜率求参数】【例3】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据斜率公式求解．【详解】由题意，解得，故选：C．【变式3-1】（2023-2024·高二上·山东普大联考·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________.【答案】【解析】【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值．【详解】过两点的直线的倾斜角为，则，又.故答案为：1.【变式3-2】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为【答案】【分析】由斜率公式建立方程求解即可.【详解】由直线过点，，得直线的斜率，又直线过点和，得直线的斜率，因为两条直线的斜率相等，所以，解得.故答案为：.【变式3-3】（2022-2023·高二上·山东聊城·阶段练习）（多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为（

）A．(3，0) B．(－3，0)C．(0，－3) D．(0，3)【答案】AC【分析】设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)，解方程＝＝1，即得解.【详解】解：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).故选：AC【变式3-4】（2023-2024·高二上·山东烟台·期中）设直线：，则的倾斜角的范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数图像求出倾斜角的范围.【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则，由正切函数图像可知.故选：B.【题型4直线与线段的相交关系求斜率范围】【例4】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知点，经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．或 B．C． D．【答案】A【分析】根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求解.【详解】

根据题意，，，根据图象可得直线的斜率的取值范围是或.故选：A【变式4-1】（2021-2022·高二上·山东济宁·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．k≥1或 B．k≥1或 C． D．【答案】B【解析】【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：因为，所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或，故选：B【变式4-2】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，因此直线的倾斜角的取值范围是．故选：C【变式4-3】（2023-2024·高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出图像，求斜率范围即可.【详解】若与线段有公共点，分析必过，且，，则.故选：B【题型5两条直线平行的判定】【例5】（2022-2023·高二上·山东菏泽·阶段练习）“直线l1与l2平行”是“直线l1与lA．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【解题思路】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.【解答过程】充分性：直线l1与l2平行，但是l1和l2都没有斜率，即当l1和l2都垂直于x轴时，l1必要性：直线l1与l2的斜率相等，则直线l1综上，“直线l1与l2平行”是“直线l1故选：D.【变式5-1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合【答案】D【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系.【详解】直线可化为，所以当时，两直线重合；当时，两直线相交.故选：D【变式5-2】（2023-2024·高二上·山东招远·阶段测试）（多选）已知直线，则（

）A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150°C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行【答案】BCD【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D.【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对；显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对；由，故与平行，D对.故选：BCD【题型6由两直线平行求参数】【例6】（2023-2024·高二上·山东·期中）已知直线，，若，则的值为（）A. B.6 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】因为，所以，故选：C.【变式6-1】（2023-2024·高二上·山东菏泽·12月月考）已知直线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】根据直线平行的条件求解即可.【详解】由两直线平行，得，解得.当时，直线与直线平行，故.故选：B.【变式6-2】（2023-2024·高二上·山东青岛·期中）设，则“直线与直线平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据一般式中两直线平行满足的条件，即可求解.【详解】若直线与直线平行，则，解得或，故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件，故选：B【题型7两条直线垂直的判定】【例7】（2022-2023·高二上·山东济潍坊·期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（）A. B.C.与相交但不垂直 D.与的位置关系不确定【答案】B【解析】【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案.【详解】设直线的斜率分别是，依题意，所以.故选：B【变式7-1】（2022-2023·高二上·山东菏泽·阶段测试）以点，，为顶点的三角形是（

）．A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】求出三边所在直线的斜率，由斜率判断．【详解】由题意，同理，，，，三角形是直角三角形．故选：B．【变式7-2】（2022-2023·高二上·山东济南·阶段测试）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确；对于D,若，不妨取，则，不满足，不垂直，D错误，故选：【题型8由两直线垂直求参数】【例8】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段测试）若直线l的方程为，若直线l与直线m：垂直，则．【答案】1【分析】分别求出两直线的斜率，根据垂直关系斜率相乘等于得出结果.【详解】直线l的方程为的斜率为，直线m：的斜率为，由已知两直线垂直得出，解得.故答案为：1.【变式8-1】（2023-2024·高二上·山东烟台·阶段测试）已知直线，互相垂直，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】根据两一般式直线相互垂直求的值，注意验证求得的值是否满足直线方程.【详解】因为直线，互相垂直，所以，所以或，当