专题1.1 集合的概念-解析版

专题1.1集合的概念【基本知识梳理】【知识点1集合的概念】1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点2元素与集合的关系】1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR【知识点3集合的表示法】1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．3．图示法图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.【题型1：对集合概念的理解】【例1】（23-24高一上·新疆·月考）下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【答案】A【解析】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；B：，方程根确定，可构成集合；C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选：A【变式1-1】（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列各组对象能构成集合的是（）A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B.小于5的正整数C.2023年高考数学难题 D.所有无理数【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；对于B，小于5正整数明确可知，可以构成集合；对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；对于D，无理数明确可知，可以构成集合.故选：ABD【变式1-2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（

）A．不超过20的质数B．π的近似值C．方程x=D．函数y=x,x∈R【解题思路】根据集合中元素的性质逐项判断即可.【解答过程】对于A，不超过20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合；对于B，π的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合；对于C，方程x=对于D，函数y=x,x∈R故选：B.【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）(多选)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点【答案】ACD【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD【题型3判断是否为同一集合】【例2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.故选：D.【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·阶段测试）（多选）下列各组中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；选项B中，与表示不同的点，故；选项C中，，，故；选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.故选：ABD.【变式2-2】（23-24高一上·河北承德·阶段测试）已知集合，则下列与相等的集合个数为（

）①②③④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果.【详解】对于①，；对于②，中解得，故；对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，，所以；对于④，.所以与M相等的集合个数有2个.故选：C.【变式训练2-3】（23-24高一上·山东威海·期中）下面关于集合的表示正确的个数是（）①；②；③；④．A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；

{（x，y）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立；

由集合的性质知③④正确．

故选C．【题型3集合中元素特性的求参问题】【例3】（23-24高一上山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1【答案】B【解析】【分析】根据集合的元素不重复可解得.【详解】因为，所以或，解得，或或，当时，，又集合中不能有相同的元素，所以故选：B【变式训练3-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，且，则（）A． B．或 C．3 D．【答案】D【分析】利用元素与集合的关系建立方程，求解并验证即得.【详解】由集合，得，解得且，显然，由，得，而，解得，当时，，符合题意，所以.故选：D【变式训练3-2】（23-24高一上·陕西西安·阶段测试）已知集合若，则______.【答案】【解析】【分析】先通过集合相等以及集合中元素互异性求出，然后计算即可.【详解】，，，且，得..故答案为：.【变式训练3-3】（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是()A．或B．且C．或 D．且【答案】D【分析】根据集合元素的互异性，即可求解.【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且，所以实数的取值范围为且.故选：D.【题型4判断元素与集合的关系】【例4】（23-24高一上·山东泰安·阶段测试）（多选）下列四个命题：其中不正确的命题为（

）A．是空集 B．若，则；C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断.【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误；对于B：当时，，则，故B错误；对于C：只有一个元素，故C正确；对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误.故选：ABD.【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段测试）（多选）设集合，集合，则下列是集合B中元素的是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】ABC【分析】写出集合B中的所有元素，再对照选项逐一判断即可.【详解】解：因为集合，集合，所以，故选：ABC.【变式训练4-2】（23-24高一上·上海浦东·期中）已知集合，则集合A中的元素（

）A．除以3余数为； B．除以3余数为1；C．除以3余数为2； D．能被3整除.【答案】C【分析】根据集合的定义与整除的概念判断.【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2，故选：C.【变式训练4-3】（23-24高一上·江西吉安·期中）（多选）已知集合，，，且，，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可.【详解】因为，可设，，，选项A，，则，故A正确；所以，则，故B正确；所以，其中，则，故C错误；所以，其中，则，故D正确.故选：ABD.【题型5根据元素与集合的关系求参数】【例5】（23-24高一上·河南郑州·校级期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围.【详解】由题意.故选：D【变式5-1】（24-25高一上·福建三明·阶段测试）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（

）A．34<m≤32 B．34≤m<32 C．【答案】A【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.【详解】由题意可得，解得.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂莒南·期中）已知集合P有三个元素−1,2a+1,a2−1.若0∈P，则实数aA．−12 B．1 C．−12【解题思路】根据0∈P，分类讨论结合元素的互异性求解即可.【解答过程】因为0∈P，所以2a+1=0或a2当2a+1=0即a=−12时，当a2−1=0即若a=1，则P=−1,3,0，满足题意；若a=−1，则P=综上，实数a的值为−1故选：C.【变式5-3】（23-24高一上·湖北鄂北六校·期中）已知集合，若，则实数的值为____.【答案】/0.5【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可.【详解】因为，，所以或，解得或.当时，，不符合元素的互异性，舍；当时，，符合题意.综上，.故答案为：【题型6集合中的元素个数问题】【例6】（24-25高一上·福建三明·阶段测试）（多选）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】分类讨论：，然后求解出的取值即可.【详解】当时，，满足条件；当时，若中仅有一个元素，则，此时，若，则，满足，若，则，满足，故选：ABD.【变式训练6-1】（23-24高一上·浙江温州·期中）（多选）已知集合为单元素集，则的可能取值为（）A.0B.2C.-1D.4【答案】ABC【变式训练6-2】（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合A=1,2,3，B=3,5，则A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可.【解答过程】由题意，x=2a+b，当a=1,b=5⇒x=7，当a=1,b=3⇒x=5，当a=2,b=5⇒x=9，当a=2,b=3⇒x=7，当a=3,b=5⇒x=11，当a=3,b=3⇒x=9，由集合中元素满足互异性，所以C=5,7,9,11故选：B.【变式训练6-3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合.(1)若是空集，求的取值范围；(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合；(3)若中至多有一个元素，求的取值范围【答案】(1)(2)的值为或，当时，当时(3)a=0或a≥【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根；（3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.【详解】（1）A是空集，且，，解得，的取值范围为：（2）当时，集合，当时，，，解得，此时集合，综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合；（3）由可知，当中至多有一个元素时，或，的取值范围为：或【题型7集合的表示方法】【例7】（23-24高一上·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为.【答案】【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由可知为的约数，所以，因为，所以，此时，集合为.故答案为：.【变式训练7-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，用列举法表示为.【答案】【解析】.【变式训练7-2】（23-24高一上·北京西城·期中）集合可化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得或，又因为，所以，所以集合可化简为.故选：C【变式训练7-