二次根式三种类型的化简求值（解析版） 八年级数学下册专题训练

专题1二次根式三种类型的化简求值（解析版）类型一代入求值方法技巧：1.分母有理化；2.由x＝a＋，得x－a＝典例1问题：已知a=12+3，求2a2小明是这样分析与解答的：∵a=12+3∴a﹣2=−3，∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：12022+2021=（2）若a=110−3，求3a2【思路引领】（1）直接找出分母有理化因式，进而化简得出答案；（2）直接找出分母有理化因式，再将原式变形，进而化简得出答案．【解答】解：（1）1=2021=2021故答案为：2021−（2）∵a==10=10∴3a2﹣18a+5＝3（a2﹣6a）+5＝3[（a﹣3）2﹣9]+5＝3（a﹣3）2﹣22，＝3（10+3﹣3）2＝3×10﹣22＝8．【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．针对训练1．（2023春•滨州期末）计算：已知x＝2+3，求代数式(7−4【思路引领】先求出x2＝7+43，再根据二次根式的乘法进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可．【解答】解：∵x=2+3∴x2＝（2+3）2＝4+3+43=7+4∴(7−4=(7−43=49−48+3−4−3=−3【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．2．已知a﹣b=5−3，b﹣c=3−2，设m为1a−c的整数部分，【思路引领】首先利用已知得出a﹣c的值，再利用二次根式的性质化简进而求出m，n的值，进而求出即可．【解答】解：∵a﹣b=5−3，b﹣∴a﹣b+b﹣c＝a﹣c=5=5∵m为1a−c∴1a−c∵2＜5∴m＝4，∵n为1a−c∴n=5+2﹣4∴5m+n2=45+【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简以及估计无理数，得出a﹣c的值是解题关键．3．（2023春•新会区校级期末）小明在解决问题：已知a=12+3，求2a2∵a=1∴a−2=−3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简13（2）若a=1①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝2；2a2【思路引领】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；（2）将a分母有理化得a=2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，对①，【解答】解：（1）原式==1＝5；（2）①∵a=1∴a−1=2∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a+1＝4；②∵a3﹣3a2+a+1＝a3﹣2a2﹣a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+1，a2﹣2a＝1，∴原式＝a﹣a2+a+1＝﹣（a2﹣2a）+1＝﹣1+1＝0；∵2aa2﹣2a＝1，∴原式＝2﹣0＝2．故答案为：0，2．【总结提升】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，解题的关键是变形各式后利用a2﹣2a＝1来求解．4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2=11+62；(1−（2）把4+23写成（a+b）2的形式为（1+3）2（3）已知a=7−1，求代数式a2+2【思路引领】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；（2）用完全平方公式可得答案；（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．【解答】解：（1）（3+2）2＝9+62+2＝11+62，（1−5）2＝1﹣25故答案为：11+62，6﹣25；（2）4+23=1+23+（3）2＝（1+3故答案为：（1+3）2（3）∵a=7∴a+1=7∴a2+2a+1＝7，∴a2+2a+3＝9．【总结提升】本题考查完全平方公式和二次根式变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式．5．（2022秋•闵行区期中）已知x=23−1，求代数式x2【思路引领】先分母有理数求出x=3【解答】解：∵x=2∴x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣1﹣1＝（3+1−1）2＝3﹣2＝1．【总结提升】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，能求出x的值是解此题的关键．类型二对称式求值方法技巧：讲代数式化为两数的和或差，两数的积的形式，再求值。典例2（2023春•江汉区期中）已知x＝2−3，y＝2+（1）1（2）(7+4【思路引领】（1）根据x、y的值计算出x+y、xy的值，代入原式=x+y（2）将x、y的值代入原式后，根据二次根式的运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）∵x＝2−3，y＝2+∴x+y＝2−3+2xy＝（2−3）（2−则原式=x+y（2）原式＝（7+43）（2−3）2+（2+3）（2−＝（7+43）（7﹣43）+4﹣3+＝49﹣48+1+＝2+3【总结提升】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式和平方差公式．针对训练1．已知a+b＝6，ab＝4，求ab【思路引领】首先化简二次根式，再通分计算二次根式的加法，然后再代入a+b＝6，ab＝4即可得到答案．【解答】解：ab当a+b＝6，ab＝4时，原式=6×【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确把二次根式进行化简计算．2．已知a+b＝﹣6，ab＝3，求ab【思路引领】首先得出a，b的符号，进而开平方化简求出即可．【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝3，∴a，b都小于0，∴ab+ba=【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用已知条件化简是解题关键．3．（2021秋•船山区校级期末）已知：x=1（1）x2+y2；（2）yx【思路引领】（1）先求出x=3−2，y=3+2（2）先通分，再将x+y=23【解答】解：∵x=3∴x+y=23（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（23）2﹣2×1＝10；（2）y=10＝10．【总结提升】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．4．（2021秋•雨花区校级期末）已知x＝3+7，y＝3−（1）x2+y2；（2）yx【思路引领】（1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后利用二次根式加减法和平方差公式求得x+y与xy的值，从而代入求值；（2）原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．【解答】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，∵x＝3+7，y＝3−∴x+y＝（3+7）+（3−7）＝3+7xy＝（3+7）（3−∴原式＝62﹣2×2＝36﹣4＝32；（2）原式=y当xy＝2，x2+y2＝32时，原式=32【总结提升】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．5．（2023春•黄渤海新区期中）已知：x=7+5，（1）x2﹣xy+y2；（2）xy【思路引领】（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：（1）∵x=7+5，∴x+y＝（7+5）+（7−5）＝27，x﹣y＝（7+xy＝（7+5）（∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝28﹣6＝22；（2）xy−y【总结提升】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．类型三配方法求值方法技巧：抓中间项，配成完全平方式，从而求值典例3已知a﹣b=5+3，b﹣c=5−3，求a2+b2+c2﹣【思路引领】由a﹣b=5+3，b﹣c=5−3，得出a﹣c＝25，把原式变形得到原式=12（a2+b2﹣2ab）+12（b2+c2﹣2bc）+12（a2+c2﹣2ac），再利用完全平方公式得到原式=12（a﹣b）2+【解答】解：∵a﹣b=5+3，b﹣∴a﹣c＝25，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=12（a2+b2﹣2ab）+12（b2+c2﹣2bc）+12（a2=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）=12（8+15＝18．【总结提升】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解的应用，利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单的数量关系，再利用整体思想解决问题．针对训练1．（2022秋•象山区校级月考）已知a，b满足等式a2+6a+9+b−13=0，则aA．2 B．﹣3 C．0 D．1【思路引领】先将原式变形，求出a，b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．【解答】解：∵a2∴(a+3)∴a+3＝0，b−1∴a＝﹣3，b=1∴a2021b2020=(−3)故选：B．【总结提升】本题考查了完全平方公式，平方以及算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a，b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．2．