2025年高考数学一轮复习-1.2 集合间的基本关系【课件】

1．2集合间的基本关系明学习目标知结构体系课标要求1．理解集合之间的包含与相等的含义．2．能识别给定集合的子集．3．能使用Venn图表达集合的关系．4．了解空集的含义．重点难点重点：集合间包含与相等的含义．难点：对相似概念及符号的理解．例如，区别元素与集合，属于与包含等概念及其符号表示.(一)子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等的相关概念

定义符号表示图形表示子集如果集合A中的

元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集

(或

)真子集如果集合A⊆B，但存在元素

，就称集合A是集合B的真子集

(或

)任意一个A⊆BB⊇Ax∈B，且x∉A

定义符号表示图形表示集合相等如果集合A的

元素都是集合B的元素，同时集合B的

__________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等_______任何一个任何一个A＝B2．Venn图用平面上

的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的

，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么

.封闭曲线子集A⊆C(1)集合A是集合B的子集的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如，{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A中存在不属于集合B的元素，那么集合A不含于集合B(或集合B不包含集合A)，记作

(或B⊉A)，读作“A不含于B”(或“B不包含A”)．例如，A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}，集合A中的元素0不属于集合B，说明集合A不是集合B的子集，即集合A不含于集合B.[即时小练]1．用“⊆”或“∈”填空： {0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．

答案：⊆

∈2．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为_____．答案：4(二)空集定义

的集合叫做空集记法记作____规定空集是

的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；(2)若A≠∅，则_____

不含任何元素∅任何集合(1)0，{0}，∅与{∅}之间的关系(2)在子集的定义中，若A＝∅，则集合A中不含集合B中的任何元素，此时我们也说集合A是集合B的子集．[即时小练]1．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m<x<m}；(4){x|a＋2<x<a}；(5){x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们都不是空集．对于集合(3)，当m<0时，m>3m，此集合不是空集．在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集．对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故集合(5)是空集．答案：(4)(5)[方法技巧]判断集合间关系的常用方法列举观察法当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系数形结合法利用数轴或Venn图．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法[对点训练]1．集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则

(

)A．B∈A

B．A⊆BC．B⊆A D．A＝B解析：∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，∴B⊆A.答案：C

解析：由题意知，Y＝{∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}}，所以{1}∈Y，故A错误，易知B、C、D正确．答案：BCD

答案：A

[题点二]集合的子集与真子集[典例]

填写下表，回答后面的问题：集合元素个数所有子集子集个数真子集个数{a}1

{a，b}2

{a，b，c}3

{a，b，c，d}4

[解]

填表：集合元素个数所有子集子集个数真子集个数{a}1∅，{a}21{a，b}2∅，{a}，{b}，{a，b}43{a，b，c}3∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}87{a，b，c，d}4∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}1615(1)“子集个数”是2的“元素个数”次方．(2)能，这个集合的子集个数为2n个．(3)A的个数是集合{3,4,5}的子集的个数，即23＝8个．[方法技巧]1．确定有限集子集、真子集的三个关键点(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．常用结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个．

[对点训练]1．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有非空子集的元素之和为________．解析：集合A的非空子集分别是：{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到集合A中的每个元素都会出现在集合A的4个子集中，即集合A中的每个元素在集合A的所有非空子集的元素之中出现4次．故所求和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：36解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．[题点三]根据集合的关系求参数的范围[典例]

已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B

A，求实数m的取值范围.[拓展]1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．答案：{m|m<3}[方法技巧]已知集合间的关系求参数问题的解题策略(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集．

[对点训练]1.

已知集合A＝{x|ax＝x2}，B＝{0,1,2}，若A⊆B，则实数a的值为

(

)A．1或2

B．0或1C．0或2 D．0或1或2解析：当a＝0时，A＝{0}，满足A⊆B，当a≠0时，A＝{0，a}，若A⊆B，∴a＝1或a＝2，综上所述，a＝0,1或2.答案：D

2．已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1≤x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(

)A．a<－1 B．a>2C．a≥2 D．－1<a<2解析：由图可知a≥2.答案：C

答案：D

2．集合{－1,0,1}共有________个子集．解析：由于集合中有3个元素，因此该集合共有23＝8(个)子集．答案：8内化素养

直观想象利用数轴求解，注意端点值是否能取到逻辑推理求子集个数时，注意应用结论二、在导向训练中品悟核心价值

发展理性思维1．设集合A＝{1,0}，B＝{2,3}，M＝{x|x＝b(a＋b)，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为

(

)A．7

B．12C．16 D．15解析：当a＝1，b＝2时，x＝6；当a＝1，b＝3时，x＝12；当a＝0，b＝2时，x＝4；当a＝0，b＝3时，x＝9.故M＝{4,6,9,12}．故M的真子集的个数为24－1＝15.故选D.答案：D

2．设集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，－b2}．若A⊆B，则a－b＝

(

)A．－2 B．2C．－2或2 D．0答案：C

答案：AB

4．若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{ai1，ai2，…，ain}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2in－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________